បណ្តុំកន្សោមរ៉ាឌីកាល់

ក្នុងពិជគណិត បណ្តុំកន្សោមរ៉ាឌីកាល់គឺជា​កន្សោមរ៉ាឌីកាល់​ដែលមាន​កន្សោរ៉ាឌីកាល់​ផ្សេងទៀត។ ឧទាហរណ៍

$\sqrt{5-2\sqrt{5}\ }$

$\sqrt{5+2\sqrt{6}\ },$

កន្សោមស៊ាំញ៉ាំ

$\sqrt[3]{2+\sqrt{3}+\sqrt[3]{4}\ }$

ការផ្តាច់រ៉ាឌីកាល់​ចេញពីកន្សោម​ត្រូវបានគេចាត់ទុកទូទៅថាជាបញ្ហាមួយដ៏​ស្មុគស្មាញ។ ក្នុងករណីពិសេសនៃបណ្តុំកន្សោមរ៉ាឌីកាល់​អាចត្រូវបានគេផ្តាច់រ៉ាឌីកាល់​ដោយសន្មតរ៉ាឌីកាល់​ដែលបានបញ្ចេញជាផលបូកនៃពីរចំនួនអសនិទាន។

$\sqrt{a+b \sqrt{c}\ } = \sqrt{d}+\sqrt{e}$

$a+b \sqrt{c} = d + e + 2 \sqrt{de}$

វាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយរូបមន្តរករឹសនៃសមីការដឺក្រេទី២ ហើយដាក់ផែ្នកដែលមានរ៉ាឌីកាល់ និងផ្នែកដែលគ្មានរ៉ាឌីកាល់នៅលើអង្គទាំងពីរនៃសមីការអោយស្មើគ្នា។

បណ្តុំកន្សោមរ៉ាឌីកាល់អនន្ត

រឹសការ៉េ

ឧទាហរណ៍៖

គេមាន $2=\sqrt{2+2}$ ហើយអាចបំលែងជា $2=\sqrt{2+\sqrt{2+2}}$ គេបាន

$2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}$

$3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}}$

$4=\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\cdots}}}}$

ជាទូទៅ បើ $r\,$ ជាចំនួនពិតធំជាង១ គេបាន

$r =\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\cdots}}}}$

ក្នុងលក្ខខណ្ឌច្បាស់លាស់ បណ្តុំរឹសការ៉េអនន្តដូចជា

$x = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}$

តំណាងអោយចំនួនសនិទាន។ ចំនួនសនិទាននេះអាចត្រូវបានគេរកឃើញដោយអោយ x ចូលទៅក្នុងរ៉ាឌីកាល់ដែលបង្ហាញដូចសមីការខាងក្រោម៖

$x = \sqrt{2+x}$

ប្រសិនបើយើងធ្វើការដោះស្រាយសមីការនេះ យើងរកឃើញចំលើយ x = ២ (ចំលើយទី២គឺ x = −១ ប៉ុន្តែចំលើយមិនផ្ទៀថផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌទេដោយរឹសការេជាចំនួនវិជ្ជមាន) ។ ប្រសិនបើ n > 0 នោះគេបាន

$\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\cdots}}}} = \frac{1 + \sqrt {1+4n}}{2}$

តាមវិធីដូចគ្នាយើងបាន

$\sqrt{n-\sqrt{n-\sqrt{n-\sqrt{n-\cdots}}}} = \frac{-1 + \sqrt {1+4n}}{2}$

វិធីនេះនឹងផ្តល់នូវតំលៃចំនួនសនិទាន x ចំពោះគ្រប់តំលៃនៃ n ដែល

${n} = {x^2} + {x} \,$

រឹសគូប

ករណីប្រាកដជាក់លាក់ បណ្តុំរឹសគូបអនន្តដូចជា

$x = \sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\cdots}}}}$

អាចតំណាងអោយចំនួនសនិទានផងដែរ។ ដោយកំនត់អោយកន្សោមទាំងមូលស្ថិតនៅខាងក្នុងវាខ្លួនឯង យើងបានសមីការ

$x = \sqrt[3]{6+x}$

ប្រសិនបើយើងដោះស្រាយសមីការនេះ យើងរកឃើញចំលើយ x = 2 ។ យើងឃើញថា

$\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n+\cdots}}}}$ គឺជារឹសពិតនៃសមីការ$x^3-x-n=0 \,\!$ ចំពោះគ្រប់ n ដែល n > 0 ។

តាមវិធីដូចគ្នា យើងបាន

$\sqrt[3]{n-\sqrt[3]{n-\sqrt[3]{n-\sqrt[3]{n-\cdots}}}}$ ជារឹសពិតនៃសមីការ $x^3+x-n=0 \,\!$ ចំពោះគ្រប់ n និង x ដែល n > 0 និង |x| ≥ 1 ។