អនុគមន៍សនិទានឆិប៊ីសេវ

ចំនុចដៅនៃ​អនុគមន៍សន្និទានឆិប៊ីសេវ​ចំពោះ n=0,1,2,3 និង 4 ចំពោះ x នៅចន្លោះ0.01 និង 100

ក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍សនិទានឆិប៊ីសេវ (Chebyshev rational functions) គឺជាស្វ៊ីតនៃអនុគមន៍ទាំងសនិទាន និង អសនិទាន។ អនុគមន៍សន្និទានឆិប៊ីសេវនៃដឺក្រេ n កំណត់ដោយ

$R_n(x)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ T_n\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$

ដែល $T_n(x)$ គឺពហុធាឆិប៊ីសេវនៃប្រភេទទី១។

លក្ខណៈនៃអនុគមន៍សនិទានឆិប៊ីសេវ

លក្ខណៈជាច្រើនអាចត្រូវបានទាញចេញពីលក្ខណៈនៃពហុធាឆិប៊ីសេវនៃប្រភេទទី១។ លក្ខណៈផ្សេងទៀតគឺមានលក្ខណៈតែមួយចំពោះអនុគមន៍ខ្លួនវា។

ទំនាក់ទំនងរវាងតួជាប់គ្នា (Recursion)

$R_{n+1}(x)=2\,\frac{x-1}{x+1}R_n(x)-R_{n-1}(x)\quad\mathrm{for\,n\ge 1}$

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

$(x+1)^2R_n(x)=\frac{1}{n+1}\frac{d}{dx}\,R_{n+1}(x)-\frac{1}{n-1}\frac{d}{dx}\,R_{n-1}(x) \quad\mathrm{for\,n\ge 2}$

$(x+1)^2x\frac{d^2}{dx^2}\,R_n(x)+\frac{(3x+1)(x+1)}{2}\frac{d}{dx}\,R_n(x)+n^2R_{n}(x) = 0$

អរតូកូណាល់

ចំនុចដៅនៃតំលៃដាច់ខាតនៃលំដាប់ទី៧ (n=7) អនុគមន៍សន្និទានឆិប៊ីសេវ​ចំពោះ x នៅចន្លោះ 0.01 និង 100 ។

$\omega(x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{1}{(x+1)\sqrt{x}}$

អរតូកូណាល់នៃអនុគមន៍សនិទានឆិប៊ីសេវអាចត្រូវបានគេសរសេរ

$\int_{0}^\infty R_m(x)\,R_n(x)\,\omega(x)\,dx=\frac{\pi c_n}{2}\delta_{nm}$

ដែល $c_n \,$ ស្មើ ២ ចំពោះ n=0 និង $c_n \,$ ស្មើ ១ ចំពោះ $n \ge 1 \,$ និង $\delta_{nm} \,$ គឺជាអនុគមន៍ដែលតាក្រូនិកឃើ (Kronecker delta function) ។

ការពន្លាតអនុគមន៍

ចំពោះអនុគមន៍ $f(x)\in L_\omega^2$ ទំនាក់ទំនងអរតូកូណាល់អាចត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីពន្លាតអនុគមន៍ $f(x)$:

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty F_n R_n(x)$

ដែល

$F_n=\frac{2}{c_n\pi}\int_{0}^\infty f(x)R_n(x)\omega(x)\,dx$

លំលៃពិសេស

$R_0(x)=1\,$

$R_1(x)=\frac{x-1}{x+1}\,$

$R_2(x)=\frac{x^2-6x+1}{(x+1)^2}\,$

$R_3(x)=\frac{x^3-15x^2+15x-1}{(x+1)^3}\,$

$R_4(x)=\frac{x^4-28x^3+70x^2-28x+1}{(x+1)^4}\,$