អាំងតេក្រាលមិនកំនត់

អាំងតេក្រាល=Integral

រូបមន្តអាំងតេក្រាលមិនកំនត់មួយចំនួន

C​ ជាចំនួនពិត

រូបមន្តអាំងតេក្រាលមិនកំនត់សំខាន់ៗ

        $(1). \int e^x\, dx \,\! = e^x+ C$
        $(2). \int a^x\, dx \,\! = \frac{1}{\ lna}~a^x + C$
        $(3). \int \frac{1}{\ x}~dx = ln |x| + C$
        $(4). \int x^p\, dx \,\! = \frac{1}{\ p+1} x^{p+1} + C \quad ($ដែល​ p​ ជាចំនួនពិត)
        $(5). \int \frac{1}{\ {x^2-a^2}}\, dx \,\! = \frac{1}{\ {2a}}ln| \frac{x^2 - a^2} {x^2 + a^2}| +C \quad (a \neq 0)$
        $(6). \int \frac{1}{\ {x^2+a^2}}\, dx \,\! = \frac{1}{\ {a}}tan^{-1} \frac{x} {a} +C \quad (a \neq 0)$

        $(7). \int sin x\, dx \,\! = -cos x+ C$
        $(8). \int cos x\, dx \,\! = sin x+ C$
        $(9). \int \frac{1}{\ cos^2x}\, dx \,\! = tan x + C$
        $(10). \int \frac{1}{\ sin^2x}\, dx \,\! = -cot x+ C$
        $(11). \int tan x\, dx \,\! = -ln |cos x | + C$
        $(12). \int \frac{1}{ \sqrt{a^2 - x^2}}\, dx \,\! = sin^{-1} \frac{x}{a} +C \quad(a > 0)$
        $(13). \int \frac{1}{ \sqrt{x^2-A}}\, dx \,\! = ln|x+ \sqrt{x^2+A}| +C \quad (A \neq 0)$
        $(14). \int \sqrt{a^2-x^2}\, dx \,\! = \frac{1}{\ {2}}(x \sqrt{a^2-x^2}+a^2sin^{-1} \frac{x} {a} )+C \quad (a > 0)$
        $(15). \int \sqrt{x^2 + A}\, dx \,\! = \frac{1}{\ {2}}(x \sqrt{x^2 + A} + Aln|x+ \sqrt {x^2 + A}|) +C$

អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក

$(1). \int f(x) g'(x)\, dx \,\! = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x)\, dx \,\!$
$(2). \int f(x)\, dx \,\! = x f(x) - \int x f'(x)\, dx \,\!$
$(3). \int lnx\, dx \,\! = x lnx - x + C$

ឧទាហរណ៏ៈគណនាអាំងតេក្រាល
$(1) \int x sin x\, dx \,\!$

• របៀបគិត: តាង $\color{Red}f(x)=x , g'(x)=sin x$ រួចប្រើរូបមន្តអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក គេបាន
  

$\int x sin x\, dx \,\! = \int x (-cos x)'\, dx \,\! = x(-cos x)- \int (x)' (-cos x)\, dx \,\!$
                $=-xcos x + \int cos x\, dx \,\! = -xcos x + sin x +C$

$(2) \int x ln x\, dx \,\!$
តាង​ $\color{Red} f(x)=ln x ,g'(x)=x$ គេបាន
$\int x ln x\, dx \,\! = \int ln x (\frac{1} {2} x^2)'\, dx \,\! = ln x(\frac{1} {2}x^2)- \int (ln x)' (\frac{1} {2}x^2)\, dx \,\!$
                $=\frac{1} {2}x^2 ln x - \frac{1} {2} \int x\, dx \,\! = \frac{1} {2}x^2 ln x - \frac{1} {4}x^2 + C$

អាំងតេក្រាលប្តូរអថេរ

គេមានអនុគមន៏ $\varphi (x) = t$ គេបាន
$\color{blue}\int f( \varphi (x) ) \varphi '(x)\, dx \,\! = \int f(t) \frac{dt}{dx}\, dx\,\! = \int f(t)\, dt \,\!$

ឧទាហរណ៏ៈគណនាអាំងតេក្រាល
$(1) \int sin^2x cos x\, dx \,\!$

វិធីសាស្រ្តកំនត់មេគុណ

• ក/ ករណីធម្មតា

• របៀបទី១

ឧទាហរណ៍ $\frac{1}{(x+3)(x+2)(x+5)}\,\! = \frac{A}{x+3}\,\! + \frac{B}{x+2}\,\! + \frac{C}{x+5}\,\!$

តំរូវភាគបែង រួចប្រៀបធៀបមេគុណរួមដឺក្រេនៃ $x\!$

• ​​ របៀបទី២

គុណអង្គទាំងពីរនឹង $x+3\!$ រួចយក $x=-3\!$ គេបាន $A=-\frac{1}{2}\!$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង $x+2\!$ រួចយក $x=-2\!$ គេបាន $B=\frac{1}{3}\!$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង $x+5\!$ រួចយក $x=-5\!$ គេបាន $C=\frac{1}{6}\!$

• ខ/ ករណីភាគបែងមានរឹសពិត

ឧទាហរណ៍ $\frac{x^{2}+1}{(x+1)(x-2)(x+7)}\,\! = \frac{A}{x+1}\,\! + \frac{B}{x-2}\,\! + \frac{C}{x+7}\,\!$

គុណអង្គទាំងពីរនឹង $x+1\!$ រួចយក $x=-1\!$ គេបាន $A=-\frac{1}{9}\!$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង $x-2\!$ រួចយក $x=2\!$ គេបាន $B=\frac{5}{27}\!$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង $x+7\!$ រួចយក $x=-7\!$ គេបាន $C=\frac{25}{27}\!$

• គ/ ករណីភាគបែងមានរឹសលំដាប់ខ្ពស់

ឧទាហរណ៍ $\frac{x+2}{(x+3)^3(x-1)}\,\! = \frac{A}{(x+3)^3}\,\! + \frac{B}{(x+3)^2}\,\! + \frac{C}{x+3}\,\! + \frac{D}{x-1}\,\!$
យក$x=0\!$ គេបាន​$B=-\frac{3}{16}\,\!$

គុណអង្គទាំងពីរនឹង $(x+3)^3\!$ រួចយក $x=-3\!$ គេបាន $A=\frac{1}{4}\!$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង $x-1\!$ រួចយក $x=1\!$ គេបាន $D=\frac{3}{64}\!$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង $x+3\!$ រួចយក $x \to +\infty\,\!$
គេបាន $0 = C + D  ; C=-\frac{3}{64}\,\!$

យក $x=0\!$ គេបាន $B=-\frac{3}{16}\,\!$

• ឃ/​ ករណីភាគបែងមានរឹសកុំផ្លិច

ឧទាហរណ៍ $\frac{x+1}{(x-2)(x^{2}+1)}\,\! = \frac{A}{x-2}\,\! + \frac{Bx+C}{x^{2}+1}\,\!$

គុណអង្គទាំង២ នឹង $x-2\!$ គេបាន $A=\frac{3}{5}\,\!$
គុណអង្គទាំង២​ នឹង $x^{2}+1\!$ រួចយក​ $x=i\!$

គេបាន $B=-\frac{3}{5}\,\ ; \,C=-\frac{1}{5}\,\!$

• ង/​ ករណីភាគបែងមានរឹសកុំផ្លិចលំដាប់ខ្ពស់

ឧទាហរណ៍ $\frac{4}{x^{4}+1}\,\! = \frac{Ax+B}{x^2-\sqrt{2}x+1}\,\! + \frac{Cx+D}{x^2+\sqrt{2}x+1}\,\!$
ដោយ $f(x)=\frac{4}{x^4+1}\,\!$ ជាអនុគមន៍គូ គេបាន

$\frac{Ax+B}{x^2-\sqrt{2}x+1}\,\! + \frac{Cx+D}{x^2+\sqrt{2}x+1}\,\! = \frac{-Ax+B}{x^2+\sqrt{2}x+1}\,\!+\frac{-Cx+D}{x^2-\sqrt{2}x+1}\,\!$

គេបាន​ $A=-C \ ; \, B=D\!$
គុណអង្គទាំង២នឹង $x^2-\sqrt{2}x+1\!$ រួចយក $x=i\!$ គេបាន $A=-\sqrt{2}\,\  ; \,C=\sqrt{2}\!$

យក $x=0\!$ គេបាន $B=D=2\!$

វិធីសាស្រ្តOSTROGRADSKI

ប្រើសំរាប់គណនាអាំងតេក្រាលអនុគមន៍ប្រភាគសនិទានដែលភាគបែងមានឫសលំដាប់ខ្ពស់ ។

• បើ $\frac{P(x)}{Q(x)}\!$ មានឫសលំដាប់ខ្ពស់ច្រើន គេបាន៖

$\color{blue} \int\frac{P(x)}{Q(x)}\, dx \,\! = \frac{X(x)}{R(x)}\,\! + \int\frac{Y(x)}{S(x)}\, dx \,\!$
ដែល $R(x) = PGCD [Q(x);Q^'(x)]\!$
$S(x) = \frac{Q(x)}{R(x)}\!$
$X(x)\!$​ និង $Y(x)\!$ ជាពហុធាមានមេគុណត្រូវកំនត់ហើយមានដឺក្រេរៀងគ្នា តូចជាង $R(x)\!$ និង $S(x)\!$ មួយឯកតា

ឧទាហរណ៍​ : គណនា $I=\int\frac{1}{(x^3-1)^2}\, dx \,\!$

• ក/ តាមប្រភាគសនិទាន

$\frac{1}{(x^3-1)^2}\,\! = \frac{1}{(x-1)^2(x^2+x+1)^2}\,\! = \frac{A}{(x-1)^2}\,\! + \frac{B}{x-1}\,\! + \frac{Cx+D}{(x^2+x+1)^2}\,\! + \frac{Ex+F}{x^2+x+1}\,\!$

• ខ/​ តាម OSTROGRADSKI

គេបាន​ $Q(x)=(x^3-1)^2 ; Q^'(x)=6x^2(x^3-1) ; R(x)=PGCD[Q(x) ; Q^'(x)]=x^3-1 ; S(x)=\frac{Q(x)}{R(x)}\,\! = \frac{(x^3-1)^2}{x^3-1}\,\! = x^3-1\!$

$\Rightarrow I=\int\frac{1}{(x^3-1)^2}\, dx \,\! = \frac{ax^2+bx+c}{x^3-1}\,\! + \int\frac{a^'x^2+b^'x+c^'}{x^3-1}\, dx \,\!$
ដេរីវេអង្គទាំង២ គេបាន $\frac{1}{(x^3-1)^2}\,\! = \frac{(2ax+b)(x^3-1)-3x^2(ax^2+bx+c)}{(x^3-1)^2}\,\! + \frac{(a^'x^2+b^'x+c^')(x^3-1)}{(x^3-1)^2}\,\!$
តំរូវភាគបែង រួចប្រៀបធៀបមេគុណរួមដឺក្រេនៃ$x\!$ គេបាន​​ $a=0 ; b=-\frac{1}{3}\,\! ; c=0 ; a^'=0 ; b^'=0 ; c^'=-\frac{2}{3}\!$
$\Rightarrow I=\int\frac{1}{(x^3-1)^2}\, dx \,\! = \frac{-\frac{1}{3}\,\!x}{x^3-1}\,\! + \int\frac{-\frac{2}{3}\,\!}{x^3-1}\, dx \,\!$

អាំងតេក្រាលអនុគមន៍អសនិទាន

• ១/​ អាំងតេក្រាលរាង

$\color{blue} I=\int f(x^\frac{m}{n}\,\! ; x^\frac{p}{q}\,\! ; ......)\, dx \,\!$
គេត្រូវតាង $x=t^k\!$ ដែល $k\!$ ជាភាគបែងរួមនៃប្រភាគ $\frac{m}{n}\,\! ; \frac{p}{q}\,\! ; ......\!$

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}\,\! + \sqrt[4]{x}}\, dx \,\! = \int\frac{x^\frac{1}{3}}{x^\frac{1}{2}\,\! + x^\frac{1}{4}}\,\!$
តាង $x=t^{12}\!$

• ២/ អាំងតេក្រាលរាង

$\color{blue} I=\int f \left[\left (\frac{ax+b}{cx+d}\,\! \right )^\frac{m}{n}\,\! ; \left (\frac{ax+b}{cx+d}\,\! \right )^\frac{p}{q}\,\! ; ......\right]\, dx \,\!$
គេតាង $\frac{ax+b}{cx+d}\,\! = t^k\!$ ដែល $k\!$ ជាភាគបែងរួមនៃប្រភាគ $\frac{m}{n}\,\! ; \frac{p}{q}\,\! ; ......\!$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\, dx \,\! = \int\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^\frac{1}{2}\, dx \,\!$
តាង $\frac{1-x}{1+x}\, = \, t^2 \,\! \Leftrightarrow \, x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\!$

វិធីសាស្រ្តប្តូរអថេរEULER

សំរាប់អាំងតេក្រាលមានរាង

$\color{blue} I=\int f \left( x ; \sqrt{ax^2+bx+c} \right )\, dx \,\!$

• ក/ បើ Δ<0 ; a>0 តាង $\sqrt{ax^2+bx+c}\, = \, \sqrt{a}x+t\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int\frac{1}{x\sqrt{x^2-x+3}}\, dx \,\!$
តាង $\sqrt{x^2-x+3}\, = \, x+t \, \Rightarrow x= \frac{3-t^2}{1+2t}\,\!$

• ខ/ បើ Δ<0 ; c >0 តាង $\sqrt{ax^2+bx+c}\, = \, xt+\sqrt{c}\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int\frac{(1-\sqrt{1+x+x^2})^2}{x^2 \sqrt{1+x+x^2}}\, dx \,\!$
តាង $\sqrt{1+x+x^2}\, = \, xt+1 \Rightarrow x=\frac{1-2t}{t^2-1}\,\!$

• គ/ បើ Δ>0 គេបាន $\sqrt{ax^2+bx+c}\, = \, \sqrt{a(x-x_1)(x-x_2)}\,\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int\frac{\sqrt{x^2+2x}}{x}\, dx \,\!$
តាង $\sqrt{x^2+2x}\, = \, xt \Rightarrow x=\frac{2}{t^2-1}\,\!$

អាំងតេក្រាលរាង$\color{blue} I=\int\frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\, dx \,\!$

គេបំលែង $\color{Red} I=\int\frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\, dx \, = \, P_{n-1}(x)\sqrt{ax^2+bx+c}\, + \, \lambda \int\frac{1}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\, dx \,\!$
$P_{n-1}(x)\!$ ជាពហុធាដឺក្រេ $n-1\!$ មានមេគុណត្រូវកំនត់ ហើយគេអាចគណនាមេគុណទាំងនោះ​ ដោយដេរីវេអង្គទាំងពីរ រួចប្រៀបធៀមេគុណរួមដឺក្ររេនៃះ$x\!$ ។

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int\frac{x^3+2x^2+3x+4}{\sqrt{x^2+2x+2}}\, dx \,\!$
គេបាន : $I=\int\frac{x^3+2x^2+3x+4}{\sqrt{x^2+2x+2}}\, dx \, = \, (ax^2+bx+c)\sqrt{x^2+2x+2}\, + \,\lambda \int\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}}\, dx \,\!$

អាំងតេក្រាលអនុគមន៍ទ្វេធាឌីផេរ៉ង់ស្យែល

$\color{blue} I=\int x^m(a+bx^n)^p\, dx \,\!$
គេអាចគណនាតាមបីករណី៖

• ករណីទី១​:

បើ $p\in\mathbb{Z}\!$
តាង​ $x=t^k\!$ ដែល $k\!$ ជាភាគបែងរួមនៃប្រភាគ $m ; n\!$

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt[4]{x}+1)^{10}}\, dx \, = \,\int x^{-\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{4}} + 1)^{-10}\, dx \,\!$
តាង $x=t^4\!$

• ករណីទី២:

បើ $p\not \in\mathbb{Z}\, ; \frac{m+1}{n}\in\mathbb{Z}\,\!$
តាង $a+bx^n=t^k ; k\!$ ជាភាគបែងរួមនៃ$p\!$

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int\frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}}{\sqrt{x}}\, dx \, = \, \int x^{-\frac{1}{2}}(1+x^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{3}}\, dx \,\!$
តាង $1+x^{\frac{1}{4}}=t^3\, \Leftrightarrow x=(t^3-1)^4\,\!$

• ករណីទី៣:

បើ​ $p\not \in\mathbb{Z}\, ; \frac{m+1}{n} \not\in\mathbb{Z}\, ; \frac{m+1}{n}+p \in\mathbb{Z}\,\!$

តាង $a+bx^{-n}=t^k\!$​​ ឬ $\frac{a+bx^n}{x^m}\!$ ដែល​ $k\!$ ជាភាគបែងរួមនៃ$p\!$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $\int\frac{1}{x^4\sqrt{1+x^2}}\, dx \, = \,\int x^{-4}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\, dx \,\!$
តាង $1+x^{-2}=t^2\, \Leftrightarrow x=(t^2-1)^{-\frac{1}{2}}\,\!$

អាំងតេក្រាលដោយផ្នែកដែលមាន៤រាង

ប្រើរូបមន្តអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក $\int udv \, = \, uv\, - \, \int vdu\!$

• ១/ រាង $\color{blue} \int P(x)sinax dx\, ; \, \int P(x)cosax dx\, ; \, \int P(x)e^{ax} dx\,\!$
  

ដែល $P(x)\!$ ជាពហុធា​ $; \, a$​ ជាចំនួនថេរ គេតាង $u=P(x)\!$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $\int xsin2xdx\!$ តាង $u=x \Rightarrow du=dx\!$

• ២/ រាង $\color{blue} \int P(x)log_ax\!dx$ តាង $u=log_ax\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $\int x^2log_2xdx\!$ តាង $u=log_2x\!$

• ៣/​ រាង $\color{blue} \int e^{ax}sinax dx\, ; \, \int e^{ax}cosax dx\!$
  តាង $u=e^{ax}\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $\int e^xcos3x dx\!$ តាង $u=e^x\!$

• ៤/ រាង $\color{blue} \int P(x)arcsinxdx\ ; \, \int P(x)arccosxdx\, ; \, \int P(x)arctanxdx\!$ តាង $u=arcsinx\, ; \, u=arccosx\, ; u=arctanx\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $\int xarctanxdx\!$ តាង $u=arctanx \Rightarrow\, du=\frac{1}{1+x^2}\, dx \,\!$

• ៥/ រាង $\color{blue} \int cosmxcosnx dx\, ; \, \int sinmxsinnx dx\, ; \, \int sinmxcosnx dx\!$
  

ប្រើរូបមន្ត នូឌុប

$cosacosb\, = \, \frac{1}{2}[cos(a+b)+cos(a-b)]\!$
$sinasinb\, = \, \frac{1}{2}[cos(a-b)-cos(a+b)]\!$
$sinacosb\, = \, \frac{1}{2}[sin(a+b)+sin(a-b)]\!$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $\int sin4xsin3xdx\!$

អាំងតេក្រាលរាង​ $\color{blue} I=\int sin^mxcos^nxdx\, ; \, (m;n \in \mathbb{N}^*)\!$

• ១/​ បើ $m\!$ សេស តាង $t=cosx\!$
  
• ២/ បើ $n\!$​ សេស តាង $t=sinx\!$
  
• ៣/ បើ $m\, ; \, n \!$ គូ ប្រើវិធីបន្ថយដឺក្រេ $cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}\, ; \, sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int sin^3xcos^4xdx\!$ តាង $t=cosx\!$

អាំងតេក្រាលរាង$\color{blue} I=\int sin^mxcos^nxdx\, ; \, (m<0 ;n<0)\!$

គេតាង​ $t=tanx \Rightarrow\, dt=(1+tan^2x)dx\, \Leftrightarrow dx=\frac{1}{1+t^2}\,dt\!$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int sin^{-\frac{3}{2}}xcos^{-1}xdx\, = \,\int \frac{1}{sin^{\frac{3}{2}}cosx}\, dx \,\!$
បំលែង​ $\frac{1}{sin^{\frac{3}{2}{cosx}}}\,=\,(1+\frac{1}{tan^2x})^{\frac{3}{4}}(1+tan^2)^{\frac{1}{2}}\!$
តាង $t=tanx\, \Leftrightarrow dx=\frac{1}{1+t^2}\, dt\,\!$ គេបាន $I=\int t^{-\frac{3}{2}}(1+t^2)^{\frac{1}{4}}\, dt\!$
តាង $1+t^{-2}=k^4\!$

អាំងតេក្រាលរាង$\color{blue} I=\int cos^mxdx\, ; \, \int sin^nxdx\!$

• បើ $m\!$ សេស $(\!$រៀង$n\!$​សេស$)\!$​ ចូរប្រើរូបមន្ត $cos^2x+sin^2x=1\!$
  
• បើ $m\!$ គូ $(\!$រៀង$n\!$គូ$)\!$ ចូរប្រើរូបមន្ត $cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}\ ; \, sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int cos^5xdx\, = \, \int cos^4x cosxdx\, = \, \int (1-sin^2x)^2cosxdx\!$
តាង $t=sinx\!$

អាំងតេក្រាលរាង$\color{blue} I=\int tan^mxdx\ ; \, J=\int cot^nxdx\!$

គេប្រើវីធីបន្ថយដឺក្រេ ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int tan^5xdx\, = \,\int tan^3xtan^2xdx\, = \, \int [tan^3x(tan^2x+1)-tan^3x]dx\!$

អាំងតេក្រាលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ $\color{blue}I=\int R(sinx\, ; \, cosx)\, dx \,\!$

ជាទូទៅ គេតាង$t=tan\frac{x}{2} \Rightarrow x=2arctant \Rightarrow dx=\frac{2}{1+t^2}dt\!$
$sinx=\frac{2t}{1+t^2}\, ; \, cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}\, ; \, tanx=\frac{2t}{1-t^2}\!$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int \frac{1}{1+sinx}\, dx \,\!$
តាង​ $t=tan\frac{x}{2}\!$

• ករណីពិសេស

• ក/​ បើ $\color{blue} R(-sinx ; cosx)=-R(sinx ; cosx)\!$ តាង $t=cosx\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int \frac{sin^3x}{cosx+sin^2x+1}\, dx \,\!$
$t=cosx \Rightarrow dt=-sinxdx\!$

• ខ/ បើ $\color{blue} R(sinx ; -cosx)=-R(sinx ; cosx)\!$ តាង​ $t=sinx\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int \frac{cos^5x}{sin^3x+cos^2x-sinx}\, dx \,\!$
$t=sinx \Rightarrow dt=cosxdx\!$

• គ/ បើ $\color{blue} R(-sinx ; -cosx)=R(sinx ; cosx)\!$ តាង​ $t=tanx \Rightarrow x=arctant \Rightarrow dx=\frac{1}{1+t^2}dt\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int\frac{cos^2x}{sin^2x+4sinxcosx}\, dx \,\!$
តាង $t=tanx\!$

វិធីប្តូរអថេរត្រីកោណមាត្រ

• ក/​ បើអនុគមន៍ក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាលមានរ៉ាឌីកាល់$\sqrt{a^2-x^2}\!$ គេត្រូវ តាង$x=acost\!$ ឬ $x=asint\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int\sqrt{2-x^2}\,dx\, =\, \int\sqrt{\sqrt{2^2}-x^2}\,dx\,\!$
តាង $x=\sqrt{2}sint \Rightarrow dx=\sqrt{2}costdt\, ; \, t=arcsin\frac{x}{\sqrt{2}}\!$

• ខ/ បើអនុគមន៍ក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាលមានរ៉ាឌីកាល់​ $\sqrt{x^2-a^2}\!$ គេត្រូវតាង​ $x=\frac{a}{cost}\!$ ឬ $x=\frac{a}{sint}\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int\frac{x^3}{\sqrt{x^2-4}}\, dx \, \!$
តាង $x=\frac{2}{cost} \Rightarrow dx=\frac{2sint}{cos^2t}dt\, ; \ t=arccos\frac{2}{x}\!$

អាំងតេក្រាលរាង $\color{Blue} I=\int\frac{a^'sinx+b^'cosx}{asinx+bcosx}\, dx \,\!$

គេត្រូវបំលែង​ : $\color{Red} a^'sinx+b^'cosx=A(asinx+bcosx)+B(acosx-bsinx)\!$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int\frac{sinx-cosx}{sinx+2cosx}\, dx \,\!$
ដោយ $sinx-cosx=A(sinx+2cosx)+B(cosx-2sinx)=(A-2B)sinx+(2A+B)cosx\!$
$\Rightarrow A=-\frac{1}{5} \, ; \, B=-\frac{3}{5}\!$

អាំងតេក្រាលរាង​ $\color{Blue} I=\int\frac{a^'sinx+b^'cosx}{(asinx+bcosx)^2}\, dx \, \!$

គេត្រូវបំលែង $\color{Red} a^'sinx+b^'cosx=A(asinx+bcosx)+B(acosx-bsinx)\!$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int\frac{sinx-cosx}{(2sinx+cosx)^2}\, dx \,\!$
ដោយ $sinx-cosx=A(2sinx+cosx)+B(2cosx-sinx)=(2A-B)sinx+(A+2B)cosx\!$
គេបាន $A=\frac{1}{5} \, ; \, B=-\frac{3}{5}\!$

អាំងតេក្រាលរាង​ $\color{Blue} I=\int\frac{a^'sinx+b^'cosx+c^'}{asinx+bcosx+c}\, dx \,\!$

គេត្រូវបំលែង $\color{Red} a^'sinx+b^'cosx+c^'\, = \, A(asinx+bcosx+c) + B(acosx-bsinx) + C\!$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $\color{Blue} I=\int\frac{sinx-2cosx+3}{sinx+2cosx-3}\, dx \,\!$
ដោយ $sinx-2cosx+3\, = \, A(sinx+2cosx-3) + B(cosx-2sinx) + C\, = \, (A-2B)sinx + (2A+B)cosx-3A+C\!$
គេបាន $A=-\frac{3}{5} \, ; \, B=-\frac{4}{5}\, ; \, C=\frac{6}{5}\!$

អាំតេក្រាលរាង$\color{blue} I=\int\frac{a^'sin^2x + 2b^'sinxcosx + c^'cos^2x}{asinx + bcosx}\, dx \,\!$

គេត្រូវបំលែង $\color{Red} a^'sin^2x + 2b^'sinxcosx + c^'cos^2x \, = \, (asinx + bcosx)(Asinx+Bcosx) + C(sin^2x + cos^2x)\!$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int\frac{sin^2x - 2sinxcosx + 3cos^2x}{sinx - cosx}\, dx \,\!$
ដោយ $sin^2x - 2sinxcosx + 3cos^2x \, = \, (sinx - cosx)(Asinx+Bcosx) + C(sin^2x + cos^2x)\, = \, (A+C)sin^2x + (B-A)sinxcosx + (C-B)cos^2x\!$
គេបាន $A=0\, ; \, B=-2\, ; \, C=1\!$

មើលផងដែរ

• អាំងតេក្រាលកំនត់
• អាំងតេក្រាលឌុប
• អាំងតេក្រាលត្រីគុណ
• អាំងតេក្រាលខ្សែកោង
• អាំងតេក្រាលផ្ទៃ