អេលីប

អេលីប

អេលីបគឺជាសំនុំចំនុច​$P(x;y)\,$ នៅក្នុងប្លង់ដែលមានផលបូកនៃចំងាយរវាងចំនុច ​$P(x;y)\,$ ទៅនឹងចំនុចនឹងពីរជាចំនួនថេរ(ស្មើនឹង $2a\,$​) ។ ចំនុចនឹងពីរនោះហៅថាកំនុំ ។

ទំរង់ស្តង់ដានៃសមីការអេលីប

អេលីប

ទ្រឹស្តីបទ

តំរង់ស្តង់ដានៃសមីការអេលីបដែលមានផ្ចិត $(h;k)\,$ ហើយអ័ក្សធំមានប្រវែងស្មើនឹង $2a\,$ និងអ័ក្សតូចមានប្រវែងស្មើនឹង $2b \,; \, a>b>0\,$ មានសមីការ៖

ក. $\frac{(x-h)^2}{a^2}\, + \, \frac{(y-k)^2}{b^2}\, = \, 1\,$ បើអ័ក្សធំជាអ័ក្សដេក។

ខ. $\frac{ (x-h)^2}{b^2}\, + \, \frac{(y-k)^2}{a^2}\, = \, 1\,$ បើអ័ក្សធំជាអ័ក្សឈរ។

កំនុំទាំងពីរស្ថិតនៅលើអ័ក្សធំចំងាយ $c\,$ ឯកតាពីផ្ចិត ហើយ $c^2 = a^2 - b^2\,$ ។

ទំរង់ទូទៅរបស់សមីការអេលីប

ទំរង់ទូទៅរបស់សមីការអេលីបមានរាង $Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0\,$ ដែល $A \ne 0\,$ និង $B \ne 0\,$ ។

អេលីប

សមីការអេលីបដែលមានផ្ចិតស្ថិតចំគល់អ័ក្ស

បើផ្ចិតរបស់អេលីបស្ថិតនៅចំគល់អ័ក្ស គេបានទំរង់ស្តង់ដានៃសមីការអេលីបដែលមាន ៖

ក. $\frac{x^2}{a^2}\, + \, \frac{y^2}{b^2}\, = \, 1 \,$ បើអ័ក្សធំជាអ័ក្សដេក។

ខ. $\frac{x^2}{b^2}\, + \, \frac{y^2}{a^2}\, = \, 1\,$ បើអ័ក្សធំជាអ័ក្សឈរ។

សមីការប៉ារ៉ាមែត្រ

ចំពោះអេលីបដែលមានផ្ចិតទូទៅ

$x=h+a\,\cos t\!$

$y=k+b\,\sin t\!$

ដែល $t\,$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ $-\pi\leq t\leq\pi$ ។

ចំពោះអេលីបដែលមានផ្ចិតត្រង់គល់អ័ក្ស

$\begin{cases}x = a\cos t \\ y = b\sin t \end{cases} \quad t \in\R$

សមីការប៉ូលែរ

$r = \frac{p}{1+e \cos \theta} \qquad \theta \in\R$

ឬ

$r^2 = \frac{b^2}{1-e^2 \cos ^2 \theta} \qquad \theta \in\R$

ផ្ទៃអេលីប

បើគេមានសមីការអេលីបរាង $\frac{x^2}{a^2}\, + \, \frac{y^2}{b^2}\, = \, 1 \,$ នាំអោយ

$y= b \sqrt{1 - \left(\frac xa\right)^2}$

ចំពោះ $x$ ក្នុងចន្លោះ $[0,a]$។

គេបាន :$I = \int_0^a b \sqrt{1-\left(\frac xa\right)^2}\,\mathrm dx = ab \int_0^1 \sqrt{1- t^2}\,\mathrm dt = ab \int_0^{\frac\pi2} \cos^2 u\,\mathrm du$

ដោយប្តូរអថេរ $u \mapsto \sin u = t$ ក្នុងចន្លោះ $[0,\pi/2]$ លើ $[0,1]$

$I= ab \int_0^{\frac\pi2} \frac{1+ \cos 2u}2\,\mathrm du = \frac{\pi ab}4$ ជា$\frac{1}{4}\,$ នៃផ្ទៃរបស់អេលីប។

ចំពោះគ្រប់អេលីប :$S= \pi a b \,$ ។

ចំនាំ ៖ បើ $a=b\,$ នោះផ្ទៃរបស់អេលីបក្លាយជាផ្ទៃរង្វង់។