ទ្រឹស្តីបទរូទ

ក្នុងធរណីមាត្រ ទ្រឹស្តីបទរូទ (Routh's theorem) ពោលដូចខាងក្រោមៈ

តាង ABC ជាត្រីកោណដែលមានក្រលាផ្ទៃ $A_{ABC} \,$ ។ តាង F, D និង E គឺជាចំនុចនៅលើជ្រុងរៀងគ្នា AB, BC និង AC ដែលផលធៀប $\frac{AF}{BF} = r , \quad \frac{BD}{CD}=s, \quad \frac{CE}{AE}=t$

និងតាង I, G និង H ជាចំណោលរៀងគ្នានៃ AD និង CF, AD និង BE, និង BE និង CF ដែល

$I=AD\cap CF, \quad G= AD \cap EB$ និង $H=BE\cap CF$

នោះគេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ GHI កំនត់ដោយ

${\color{Violet} A_{GHI}} ={\color{magenta} \frac{(rst-1)^2}{(st+s+1)(rt+t+1)(rs+r+1)}} {\color{Fuchsia}A_{ABC}}$

បំណកស្រាយទ្រឹស្តីបទ

តាមទ្រឹស្តីបទមេនេឡូស យើងបាន

$\frac{s}{1}\cdot \frac{t+1}{1}\cdot \frac{EG}{GB}=1\Longleftrightarrow EG: GB=1: st+s$

ហេតុនេះ

$\frac{A_{GAB}}{A_{ABC}}=\frac{AE}{AC}\cdot \frac{BG}{BE}=\frac{1}{t+1}\cdot \frac{st+s}{st+s+1}=\frac{s}{st+s+1}$

$\Rightarrow {\color{RoyalBlue}A_{GAB}}=\frac{s}{st+s+1}\cdot A_{ABC} \qquad \color{Violet}(i)$

ដូចគ្នាដែរ

$\frac{A_{HBC}}{A_{ABC}}=\frac{t}{tr+t+1}\qquad \Rightarrow {\color{RoyalBlue}A_{HBC}} = \frac{t}{tr+t+1} \cdot A_{ABC}\qquad \color{Violet}(ii)$

$\frac{A_{ICA}}{A_{ABC}}=\frac{r}{rs+r+1}\qquad \Rightarrow {\color{RoyalBlue}A_{ICA}} = \frac{r}{rs+r+1} \cdot A_{ABC}\qquad \color{Violet}(iii)$

គេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ GHI កំនត់ដោយ

$A_{GHI}=A_{ABC}-(A_{GAB}+A_{HBC}+A_{ICA}) \qquad \color{magenta} (*)$

ជំនួស $\color{Violet} (i) , (ii) , (iii) \,$ ក្នុង $\color{magenta} (*) \,$ គេបាន

$\begin{align} A_{GHI}&=A_{ABC}-\{\frac{s}{st+s+1}\cdot A_{ABC}+\frac{t}{tr+t+1} \cdot A_{ABC}+ \frac{r}{rs+r+1} \cdot A_{ABC}\}\\ &=\{1-\frac{s}{st+s+1}- \frac{t}{tr+t+1}-\frac{r}{rs+r+1}\}\cdot A_{ABC}\\ &=\frac{(st+s+1)(tr+t+1)(rs+r+1)-s(tr+t+1)(rs+r+1)-t(st+s+1)(rs+r+1)-r(st+s+1)(tr+t+1)}{(st+s+1)(tr+t+1)(rs+r+1)} \cdot A_{ABC} \end{align}$

ពន្លាតកន្សោមភាគយក គេបានទ្រឹស្តីបទរូទ (Routh's theorem)

${\color{Violet} A_{GHI}} ={\color{magenta} \frac{(rst-1)^2}{(st+s+1)(rt+t+1)(rs+r+1)}} {\color{Fuchsia}A_{ABC}}$