រូបមន្តអយល័រ-ម៉ាក្លូរីន

ក្នុង​គណិតវិទ្យា រូបមន្តអយល័រ​-​ម៉ាក្លូរីន (Euler–Maclaurin formula) (ឬ​ហៅថា​រូបមន្តផលបូកអយល័រ) គឺជា​ទំនាក់ទំនង​រវាង​អាំងតេក្រាល​និង​ផលបូក។ វា​សំដែង​ជាផ​លបូក​នៃ​ស៊េរី​។ វា​ត្រូវបានគេ​ប្រើប្រាស់​ដើម្បី​គណនា​រក​តំលៃប្រហែលនៃ​​អាំងតេក្រាល​​ដោយ​ផលបូក​កំនត់​មួយ ឬ ច្រាស់​មក​វិញ​វា​ត្រូវ​បានគេ​ប្រើ​ប្រាស់​ដើម្បីរក​​ផល​បូក​នៃស៊េរី​កំនត់​​និង​​មិន​កំនត់​ដោយ​ប្រើ​អាំងតេក្រាល​និង​​ម៉ាស៊ីន​​សំរាប់​​គណនា។ រូបមន្ត​នេះ​ត្រូវ​បាន​រក​ឃើញ​យ៉ាង​ឯករាជ​ដោយ​គណិតវិទូស្វ៊ីស លេអូណា អយល័រ និង គណិតវិទូស្កុត កូលីន ម៉ាក្លូរីន ប្រហែលជាឆ្នាំ​១៧៣៥​។ អយល័រ​​បាន​ត្រូវ​ការ​វា​ដើម្បី​គណនា​ស៊េរីអនន្ត​​ដែល​ម៉ាក្លូរីន​​បាន​ប្រើវា​ដើម្បី​គណនា​​អាំងតេក្រាល​។

រូបមន្ត

គេ​មាន​ពីរ​ចំនួនគត់ p និង q ។ ចំពោះ​អនុគមន៍ f ជាអនុគមន៍ជាប់​និង​មាន​ដេរីវេ 2k ដងលើចន្លោះ $\ [p, q]$ គេបាន​រូបមន្តអយល័រ-ម៉ាក្លូរីន​សំដែងដោយ

$\frac{f\left( p\right) +f\left( q\right) }{2}+\sum_{j=p+1}^{q-1}f\left( j\right) =\int_p^q f(x)\,dx +\sum_{j=1}^k\frac{b_{2j}}{(2j)!}\left(f^{(2j-1)}(q)-f^{(2j-1)}(p)\right)+R$

ដែល

$R = - \int_p^q f^{(2k)}(x) {B_{2k}(x-\lfloor x \rfloor) \over (2k)!}\,dx$

$\ B_i(x)$ តំណាងអោយ​ពហុធាប៊ែរនូយី​ទី​$\ i$ និង $B_i(x-\lfloor x \rfloor)$ គឺជាអនុគមន៍ខួប​។ $\ b_i$ តំណាងអោយ​ចំនួនប៊ែរនូយី​​៖

$b_1=-\frac{1}{2},b_2=\frac{1}{6},b_3=0,b_4=-\frac{1}{30},b_5=0,b_6=\frac{1}{42},b_7=0,b_8=-\frac{1}{30},b_9=0,b_{10}=\frac{5}{66},\cdots$

$B_0(x)=1,B_1(x)=x-\frac{1}{2},B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6},B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x,B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30},\dots$

វិធីប្តូរអថេរ​អាច​ទទួល​បាន​រូបមន្ត​ដូចគ្នា​ចំពោះ​អនុគមន៍​មួយ​កំនត់​នៅ​លើ​ចន្លោះ​អង្កត់​មួយ។

សំរាយបញ្ជាក់

យើងនឹងស្រាយបញ្ជាក់រូបមន្តនេះនៅចន្លោះ $\ [n, n+1]$ ដែល $n \in \mathbb{Z}$ ។

គេ​មាន​អនុគមន៍ $\ g$ មួយ​ជាប់​និង​មាន​ដេរីវេ​លើ $\ [n, n+1]$ ។ ដោយ​ប្រើ​លក្ខណៈ​​ពហុធាប៊ែរនូយី : $\forall k \in \mathbb{N} B_{k+1}' = \left(k+1\right) B_{k}$

ដោយប្រើ​អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក គេបាន $\int_n^{n+1} g \left( t \right) B_k \left( t-n \right) dt = \left[ \frac{g \left( t \right) B_{k+1} \left( t-n \right)}{k+1} \right]_n^{n+1} - \frac{1}{k+1} \int_n^{n+1} g' \left( t \right) B_{k+1} \left( t-n \right) dt$

ដោយដឹងថាចំពោះ $k \ge 2$ គេបាន $B_k \left( 1 \right) = B_k \left( 0 \right) = b_k$ គេទាញបាន:

$\int_n^{n+1} g \left( t \right) B_k \left( t-n \right) dt = \frac{b_{k+1}}{k+1} \left( g \left( n+1 \right) - g \left( n \right) \right) - \frac{1}{k+1} \int_n^{n+1} g'\left( t\right) B_{k+1} \left( t-n \right) dt$

តាមទំនាក់ទំនងរវាងតួតគ្នាលើ k ពី $\ 0$ ទៅ $\ 2p$ ដោយយក$\ g = f^{(2p)}$ គេទាញបាន:

$\int_n^{n+1} f \left( t \right) dt = \frac{f\left( n\right) +f\left( n+1\right) }{2}+\sum_{k=2}^{2p} \frac{\left( -1 \right)^{k-1} b_k}{k!} \left( f^{(k-1)}\left(n+1\right) - f^{(k-1)}\left(n\right) \right) + \frac{1}{(2p)!} \int_n^{n+1} f^{(2p)} \left( t\right) B_{2p} \left( t-n \right) dt$

ចុងបញ្ជប់តាមលក្ខណៈ : $\forall k \ge 1 , b_{2k+1} = 0$ គេទាញបាន :

$\int_n^{n+1} f \left( t \right) dt = \frac{f\left( n\right) +f\left( n+1\right) }{2}+\sum_{k=2}^{\lfloor \frac{p}{2} \rfloor} \frac{b_{2k}}{(2k)!} \left( f^{(2k-1)}\left(n+1\right) - f^{(2k-1)}\left(n\right) \right) + \frac{1}{(2p)!} \int_n^{n+1} f^{(2p)} \left( t\right) B_{2p} \left( t-n \right) dt$