វិសមភាពតូលេមី

វិសមភាពតូលេមី (Ptolemy's inequality) ជាវិសមភាពសិក្សាពីចំងាយរវាងបួនចំនុច​ក្នុងលំហអាហ្វីនអឺគ្លីដ។

ពំនោលនៃវិសមភាព

គេមានបួនចំនុច A B C និង D ក្នុងលំហអាហ្វីនអឺគ្លីដ។ គេបាន

$\color{magenta}AB\cdot CD \leq AC\cdot BD+AD\cdot BC$

សំរាយបញ្ជាក់

វិសមភាពនេះគឺអាចត្រូវបានគេទាញដោយផ្ទាល់ពី​វិសមភាពត្រីកោណដោយប្រើ Involution ។

តាង a b និង c ជារង្វាស់រៀងគ្នានៃ AB AC និង AD ។

យើងគណនា

${\left\|\frac{b}{\|b\|^2}-\frac{c}{\|c\|^2}\right\|}^2 = \frac{1}{\|b\|^2}-2\frac{<b|c>}{\|b\|^2\|c\|^2}+\frac{1}{\|c\|^2} =\frac{\|b-c\|^2}{\|b\|^2\|c\|^2}$

$\left\|\frac{b}{\|b\|^2}-\frac{c}{\|c\|^2}\right\| =\frac{\|b-c\|}{\|b\|.\|c\|}$

ដោយអនុវត្តវិសមភាពត្រីកោណចំពោះ $\frac{b}{\|b\|^2} , \qquad \frac{c}{\|c\|^2},\qquad \frac{d}{\|d\|^2}$ គេបាន:

$\frac{\|d-c\|}{\|c\|.\|d\|} \leq \frac{\|d-b\|}{\|b\|.\|d\|}+\frac{\|b-c\|}{\|b\|.\|c\|}$

គុណវិសមភាពនេះនឹង $\|b\|.\|c\|.\|d\|$ គេបាន:

$\|b\|.\|d-c\|\leq \|c\|.\|d-b\|+\|d\|.\|b-c\|$

រូបភាពនៃវិសមភាពតូលេមី

ករណីពិសេស

នៅពេលបួនចំនុចរៀងគ្នា A B C និង D បង្កើតបានជាចតុកោណប៉ោង គេបានវិសមភាព​នេះផ្ទៀងផ្ទាត់ លុះត្រាតែ​ចតុកោណប៉ោងនោះមិនមែនជាចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់។

សូមមើលផងដែរ

• ទ្រឹស្តីបទតូលេមី