អនុគមន៍ដឺក្រេទី៣

ក្រាបនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី៣។ រឺសជាចំនុចប្រសព្វរវាងអ័ក្សអាប់ស៊ីស $(x'0x)\!$ និងខ្សែកោង (y = 0)។ វាមានចំនុចរបត់២។

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍ដឺក្រេទី៣ (Cubic function) ជាអនុគមន៍ដែលមានទំរង់

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\,$

ដែល a ជាចំនួនមិនសូន្យ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី៣ជាអនុគមន៍ដឺក្រេទី២។ អាំងត្រេក្រាលនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី៣ជាអនុគមន៍​ដឺក្រេ​ទី​បួន​។

ប្រសិនបើអ្នកអោយ $f(x)=0 \,$ នោះអ្នកនឹងទទួលបានទំរង់សមីការដឺក្រេទី៣

$ax^3+bx^2+cx+d=0 \,$

ដែល

$a\ne 0 \,$

(ប្រសិនបើ a = 0 នោះគេវានឹងក្លាយទៅជាសមីការដឺក្រេទី២)

ឫសនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី៣

លក្ខណៈនៃឫស

យោង​តាម​ទ្រឹស្ដី​បទតម្លៃ​កណ្ដាល គ្រប់សមីការដឺក្រេទី៣ដែលមានមេគុណជាចំនួនពិត មានឫសយ៉ាងហោចណាស់មួយជាចំនួនពិត។ យើងអាចបែងចែកតាមរយៈឌីស្គ្រីមីណង់(Discriminant)

$\Delta = -4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 + 18abcd - 27a^2d^2. \,$

ករណីខាងក្រោមត្រូវការពិចារណា

• បើ Δ > 0 នោះសមីការមានឫស៣ជាចំនួនពិតផ្សេងគ្នា។
• បើ Δ < 0 នោះសមីការមានឫស១ជាចំនួនពិត និង មានឫស២ផ្សេងទៀតជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់។
• បើ Δ = 0 នោះសមីការមានឫសដូចគ្នាយ៉ាងហោចណាស់២។

វិធីសាស្រ្តកាដាណូ(Cardano)

ចំលើទាំងនេះអាចត្រូវគេរកតាម វិធីសាស្រ្ត Scipione del Ferro និង Tartaglia ដែលបោះពុម្ភនៅឆ្នាំ១៥៤៥។

យើងដាក់សមីការស្តង់ដាជារាង :$x^3 + ax^2 + bx +c = 0 \qquad (1)$

ជំនួស$x = t - a/3$​ ហើយលុបបំបាត់តួដែលមានដឺក្រេទី២​ យើងបាន

$t^3 + pt + q = 0\, , \,$ $p = b - \frac{a^2}3 \,$ ហើយ $q = c + \frac{2a^3-9ab}{27} \qquad (2)$

តាម Thomas Harriot(១៥៦០-១៦២១): ដោយជំនួស $t=y-{p\over 3y}$ ហើយគុណអង្គទាំង២នឹង $y^3$ រួចធ្វើការលុបបំបាត់ផ្នែកខ្លះ នោះ $y^6+q y^3-{p^3\over 27}=0$ ។ ការព៌ណនាខាងក្រោមគឺជាប្រភពដើមនៃCardano និង Tartaglia ដែលមាននៅក្នុងសៀវភៅរហូតដល់សព្វថ្ងៃ។

ឧបមាថា យើងអាចរកចំនួន $u\,$ និង $v\,$ ដែល

$-u^3-v^3 = q \,$ ហើយ $-uv = \frac{p}{3} \quad (3) \,$

ចំលើយចំពោះសមីការគឺអោយដោយ

$t = v + u\,$

ដែលអាចត្រូវគេពិនិត្យតាមរយះ ជំនួសតំលៃនេះដោយត្រង់ចំពោះ $t\,$ ក្នុង (2)​ ។

$(v+u)^3-3uv(v+u)+(-u^3-v^3)=0 \$

ប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានដោះស្រាយ ដោយដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី២ ចំពោះ v

$v = -\frac{p}{3u}$

ដោយជំនួស v ទៅក្នុងសមីការដំបូង ក្នុង(3)

$- u^3 + \frac{p^3}{27u^3} = q$

ដោយប្តូរទីតាំងនៃ q ហើយគុណនឹង 27u³ នោះ

$27u^6 + 27qu^3 - p^3 = 0\,$

នេះជាសមីការដឺក្រេទី២ ចំពោះ u³។ បើយើងដោះស្រាយសមីការនេះ គេឃើញថា

$u^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}$

$u=\sqrt[3]{-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}} \quad (4)$

ចូរចាំថា មាន៦របៀបក្នុងការគណនា u ជាមួយ (4) ។ វាមានចំលើយ២ចំពោះឫសការេ($\pm$) ហើយ ចំលើយជាចំនួនកុំផ្លិច៣ ចំពោះឫសគូប ។ គុណចំលើយគោលនឹង $\tfrac{-1}{2} \pm i\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សញ្ញានៃឫសការេ(បូក ឬ ដក) មិនប៉ះពាល់ដល់ចំលើយចុងក្រោយទេ។ ដំបូង បើ p = 0 នោះ ឫសមួយអាចត្រូវជ្រើសរើសឫសការេអវិជ្ជមាន ដែលនាំអោយ u មិនស្មើសូន្យ ឧទាហរណ៍​ $u = -\sqrt[3]{q}$ ។ ទី២ បើ p = q = 0 នោះយើងមានឫសពិត៣ x = −a/3 ។

សង្ខេប ចំពោះសមីការដឺក្រេទី៣​

$x^3 + ax^2 + bx +c = 0\$

ចំលើយ ចំពោះx ផ្តល់អោយ

$x=-\frac{p}{3u}+u-{a\over 3}$

ដែល

$p = b - \frac{a^2}3$

$q = c + \frac{2a^3-9ab}{27}$

$u=\sqrt[3]{-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}$

បើទោះបីជាវិធីសាស្រ្តនេះធម្មតានិងឥតខ្ចោះក៏ដោយ វាខុសចំពោះឫសពិត៣ ឧទាហរណ៍ ពេល  :$D < 0, D = \left ({q \over 2} \right )^2 + \left ({p \over 3} \right )^3$

ចំពោះករណីនេះ ទ្រឹស្តីបទផ្សេងទៀតត្រូវគេយកមកប្រើ ។

តាមពិត វិធីសាស្រ្តនេះអាចប្រើបានចំពោះករណីដែល D < 0 ហើយគ្រប់ករណីផ្សេងទៀតទាំងអស់ បើយើងប្រើឫសគូប៣ នៃ u និង v​ ខាងលើ ទោះបីជា ចំនួនពិត ឬ កុំផ្លិច។ វាជាប្រវត្តិដ៏មានសារៈសំខាន់ព្រោះការរកចំលើយតាមរបៀបនេះ​ ធ្វើអោយគេទទួលយកចំនួនកុំផ្លិច ។ ប៉ុន្តែជាសំណាងអាក្រក់ អ្វីៗគឺសាំញ៉ាំបន្តិច។

យើងដឹងថា $\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }u^{3}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}~~~~~~~\,$ ឬ $-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}$

តែដោយ $u\,$ និង $v\,$ ត្រូវតែផ្ទៀងផ្ទាត់ $\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-u^{3}-v^{3}=q~~~~~~~~$ ហើយ $-uv=\frac{p}{3}$

នោះគេអាចបង្ហាញថាបើ

$\text{ }~~~~~~u^{3}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}~~~~then~~~~v^{3}=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}$

ឬផ្ទុយទៅវិញ វាមិនមានបញ្ហាក្នុងការជ្រើសរើសវិធីសាស្រ្តទេ។

ដោយសរសេរឫសទាំង៣នោះចេញគេបាន

$u=\left\{ \begin{align} & \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ & \left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ & \left( -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ \end{align} \right.~~~and~~~v=\left\{ \begin{align} & \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ & \left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ & \left( -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ \end{align} \right.$

ចំណាំ $~t=u+v~$ យើងទទួលយកតំលៃដែលអាចតែ៣ប៉ុណ្ណោះសំរាប់ t ពីព្រោះការបូកផ្សំគ្នា៣នៃ u និង v អាចទៅរួចបើ$-uv=\frac{p}{3}$ គឺត្រូវតែរក្សាសុពលភាពក្នុងនាមជា - ដូចនេះ

$t=\left\{ \begin{align} & \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ & \left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ & \left( -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ \end{align} \right.$

ហើយដោយ

$x=t-\frac{a}{3}$

តំលៃដែលអាច៣នៃ x គឺ

$x=\left\{ \begin{align} & \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}-\frac{a}{3} \\ & \left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}-\frac{a}{3} \\ & \left( -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}-\frac{a}{3} \\ \end{align} \right.$

ហើយសមីការដឺក្រេទី៣ត្រូវគេដោះស្រាយ តាមរយះ $D=\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}$ វិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន ឬ សូន្យ

បើ D វិជ្ជមាន នោះវាមានចំនួនពិតមួយ និងចំនូនកុំផ្លិចពីរជាឫស ។

បើ D អវិជ្ជមាន នោះវាមានឫស៣ជាចំនួនពិត។

បើ D = 0 នោះវាមាន ឫសមួយជាចំនួនពិត(ឫសដូចគ្នាទាំងបី) ឬ ឫសពីរជាចំនួនពិត(ឫសមួយ​ ឬ ឫសឌុប)។