ចំនួនកុំផ្លិច

ចំនួនកុំផ្លិច（complex number） ជាចំនួនដែលអាចសំដែងជាទំរង់ $a + bi \,$ ដែល $a \,$ និង $b \,$ជាចំនួនពិត និង $i\,$ជាឯកតានិមិ្មត ($i= \sqrt{\color{Red}-1} ,\quad i^2= -1$)។

និយមន័យ

• ឯកតានិមិ្មត $i= \sqrt{\color{Red}-1} ,\quad i^2= -1$

$Z=a + bi. \,$

a ជាផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច Z (Real Part)

b ជាផ្នែកនិម្មិតនៃចំនួនកុំផ្លិច Z (Imaginary part)

ប្រមាណវិធី

$i= \sqrt{\color{Red}-1} ,\quad i^2= -1$៖

• ផលបូក: $\,(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$
• ផលដក: $\,(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$
• ផលគុណ: $\,(a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i$
• ផលចែក: $\,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\,$

ផ្លង់កុំផ្លិច

លក្ខណៈធរណីមាត្រនៃ$z$ និងចំលាស់របស់វា$\bar{z}$ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច

តំលៃដាច់ខាតនៃចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់

$\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}$

$\overline{z\cdot w} = \bar{z}\cdot\bar{w}$

$\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}$

$\bar{\bar{z}}=z$

$\bar{z}=z$   ប្រសិនបើ z ជាចំនួនពិតសុទ្ធ

$\bar{z}=-z$   iប្រសិនបើ z ជាចំនួននិម្មិតសុទ្ធ

$|z|=|\bar{z}|$

$|z|^2 = z\cdot\bar{z}$

$z^{-1} = \bar{z}\cdot|z|^{-2}$   ប្រសិនបើ z មិនស្មើសូន្យ

ប្រភាគនៃចំនួនកុំផ្លិច

$\begin{align} {a + bi \over c + di}& = {(a + bi) (c - di) \over (c + di) (c - di)} = {(ac + bd) + (bc - ad) i \over c^2 + d^2}\\ & = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + i\left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right).\, \end{align}$

ទំរង់ប៉ូលែរ

កូអរដោនេប៉ូលែក្នុងតំរុយដេកាត

$x = r \cos \varphi$

$y = r \sin \varphi$

ផ្ទុយមកវិញ

$r = \sqrt{x^2+y^2}$

$\varphi = \arg(z) = arctan\frac{y}{x}$

$x + iy = re^{i\varphi}\!$

ទំរង់ត្រីកោណមាត្រ និង​ម៉ូឌុលចំនួនកុំផ្លិច

$a+bi = r(cos\alpha+isin\alpha) \!$, ដែល $r \!$ ជាម៉ូឌុលនៃ​ $a+bi \!$ ។
$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\!$

$cos\alpha = \frac{a}{r} ; sin\alpha = \frac{b}{r}\!$

ទ្រឹស្តីបទ :

បើគេមានទំរង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកំផ្លិច $z_1\!$ និង $z_2\!$ ដែល $z_1 = r_1(cos\alpha_1 + isin\alpha_1)\!$ និង $z_2 = r_2(cos\alpha_2 + isin\alpha_2)\!$គេបាន​

ក)​ $z_1z_2 = r_1r_2[cos(\alpha + \alpha) + isin(\alpha_1 + \alpha_2)]\!$

ខ) $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[cos(\alpha_1 - \alpha_2) + isin(\alpha_1 - \alpha_2)]\!$

ទ្រឹស្តីបទ :

បើ $z\!$ ជាចំនួនកុំផ្លិចគេបាន $|z|^2 = z \cdot \bar{z}\!$ ។

លក្ខណៈ

គេអោយ $w\!$ និង $z\!$ ជាចំនួនកុំផ្លិចគេបាន

ក)​ $|wz| = |w| \cdot |z|\!$
ខ) $|\frac{w}{z}| = \frac{|w|}{|z|} ; z\ne0\!$
គ) $|w + z| \le |w| + |z|\!$

ស្វ័យគុណទី​ $n\!$​ នៃចំនួនកុំផ្លិច

គេមាន $Z=r(cos\alpha + isin\alpha)\!$ ។

តាមរូបមន្ត $Z_1Z_2 = r_1r_2[cos(\alpha_1+\alpha_2)+isin(\alpha_1+\alpha_2)]\!$

គេបាន $ZZ = rr[cos(\alpha+\alpha)+isin(\alpha+\alpha)]\!$

$Z^2 = r^2(cos2\alpha+isin2\alpha)\!$

$Z^3=Z^2 \cdot Z = (r^2\cdot r)[cos(2\alpha+\alpha)+isin(2\alpha+\alpha)] = r^3(cos3\alpha+isin\alpha)\!$

........................................................................................

$Z^n = Z^{n-1} \cdot Z = r^n(cosn\alpha+isin\alpha)\!$

ជាទូទៅ :​

$Z^n = [r(cos\alpha + isin\alpha)]^n = r^n(cosn\alpha + isinn\alpha)\!$ គ្រប់ $n \in \mathbb{Z}\!$ គេទាញបាន $(cos\alpha + isin\alpha)^n = (cosn\alpha + isinn\alpha) \!$ហៅថា ទ្រឹស្តីបទដឺម័រ។

ឧទាហរណ៍​: គណនា​ $(1+i)^{50}\!$

តាង $z=1+i\!$ គេបាន $z=\sqrt{2}(cos\frac{\pi}{4} + isin\frac{\pi}{4})\!$
តាមទ្រឹស្តីបទដឺម័រ

$(i+i)^{50} = \sqrt{2}^{50}[cos(50 \cdot \frac{\pi}{4}) + isin(50 \cdot \frac{\pi}{4})] = 2^{25}(cos\frac{25\pi}{2} + isin\frac{25\pi}{2}) = 2^{25}[cos(12\pi+\frac{\pi}{2}) + isin(12\pi+\frac{\pi}{2})] = 2^{25}(cos\frac{\pi}{2} + isin\frac{\pi}{2}) \!$

ដូចនេះ $(1+i)^{50}= 2^{25}i = 33554432i\!$

រឹសទី $n\!$ នៃចំនួនកុំផ្លិច

បើចំនួនកុំផ្លិចមេនសូន្យ Z​ មានរឹសទី n គឺ W គេបាន $W^n = Z\!$​។ ទំរង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច Z និង W គឺ $Z = r(cos\theta+isin\theta)\!$ និង $W = s(cos\alpha+isin\alpha)\!$

គេបាន $W^n = s^n(cosn\alpha+isinn\alpha)\!$

ដោយ $W^n = Z\!$ គេបាន $s^n(cosn\alpha+isinn\alpha) = r(cos\theta+isin\theta)\!$

ចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា ម៉ូឌុលរបស់វាក៏ស្មើគ្នាដែរ។

ដូចនេះ $s^n = r\!$ ។ ដោយ $s>0\!$ និង $r>0\!$ នាំអោយ $s = \sqrt[n]{r}\!$ ។

$cosn\alpha + isinn\alpha = cos\theta + isin\theta\!$

គេបាន $cosn\alpha = cos\theta\!$ នាំអោយ $n\alpha = \theta + 2k\pi \ ; \ \alpha = \frac{\theta + 2k\pi}{n} \ ; \ k \in \mathbb{Z}\!$។

ជំនួស $\alpha = \frac{\theta + 2k\pi}{n}\!$ និង $s = \sqrt[n]{r}\!$ ក្នុងទំរង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច $W$ គេបាន $w = \sqrt[n]{r}[cos(\frac{\theta + 2k\pi}{n}) + isin(\frac{\theta + 2k\pi}{n})]\!$ ។

បើ​គេជំនួស $k=0;1;2;...;n-1$ គេបាន n រឹសទី n​ ផ្សេងៗគ្នានៃ Z​ ។

​

ទ្រឹស្តីបទ :

បើ $Z = r(cos\theta + isin\theta)\!$ ជាចំនួនកុំផ្លិចមិនសូន្យ​ ហើយ​ n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាននោះ Z មានរឹសទី n គឺ​ :

$w_k = \sqrt[n]{r}[cos(\frac{\theta + 2k\pi}{n}) + isin(\frac{\theta + 2k\pi}{n})]\!$ បើ k=0;1;2;...;n-1 នោះ Z មានរឹសទី n គឺ $w_0;w_1;w_2;...;w_{n-1}\!$​ ។

ឧទាហរណ៍ :​ គណនារឹសទី 6 នៃ -1

តាង Z = -1 + 0i គេបាន $r = \sqrt{1} = 1$ ។

$cos\theta = \frac{a}{r} = -1$ និង $sin\theta = \frac{b}{r} = 0$ នាំអោយ $\theta = \pi$។

$Z = -1 + 0i = (cos\pi + isin\pi)\!$

n = 6 យើងគណនារឹសទី 6 នៃ​ Z = -1 + 0i ។

$w_k = cos(\frac{\pi + 2k\pi}{6}) + isin(\frac{\pi + 2k\pi}{6})\!$

$w_k = cos(\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}) + isin(\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3})\!$ បើ k=0;1;2;3;4;5 គេបាន

k=0​ នាំអោយ $w_0 = cos\frac{\pi}{6} + isin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\!$

k=1 នាំអោយ $w_1 = cos\frac{\pi}{2} + isin\frac{\pi}{2} = i$

k=2 នាំអោយ $w_2 = cos\frac{5\pi}{6} + isin\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

k=3 នាំអោយ $w_3 = cos\frac{7\pi}{6} + isin\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$

k=4 នាំអោយ $w_4 = cos\frac{3\pi}{2} + isin\frac{3\pi}{2} = -i$

k=5 នាំអោយ $w_5 = cos\frac{11\pi}{6} + isin\frac{11\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{1}{2}i$

សូមមើលផងដែរ

• ផ្នែកនិម្មិត
• ផ្នែកពិត
• កុំផ្លិចឆ្លាស់
• ឯកតានិម្មិត