ប៉ារ៉ាបូល

ប៉ារ៉ាបូល

អ្នកគណិតវិទ្យាជនជាតិក្រិចបានរកឃើញជំពូកកោនិចនៅចន្លោះ៣០០ឆ្នាំ និង ៦០០ឆ្នាំមិនគ.ស ហើយក៏បានរកឃើញមុនគេបង្អស់ពីលក្ខណៈធរណីមាត្ររបស់កោនិច។​ នៅដើមសតវត្សទី១៧ ការអនុវត្តកោនិចបានចាប់ផ្តើមឡើងលើសកលលោក ហើយមានតួនាទីសំខាន់ក្នុងការអភិវឌ្ឍផ្នែកគណនា។ ផ្នែកមូលដ្ឋានគ្រឹះរបស់កោនិចគឺរង្វង់ ប៉ារ៉ាបូល អេលីប និង អ៊ីពែរបូល។

និយមន័យ

ប៉ារ៉ាបូលគឺជាសំនុំចំនុច $M(x,y)\!$ ក្នុងប្លង់ដែលនៅស្មើចំងាយពីចំនុចនឹងមួយ និង​ពីរបន្ទាត់នឹងមួយ។

• ​ ចំនុចនឹងមួយនោះហៅថាសំនុំនៃប៉ារ៉ាបូល។
• បន្ទាត់នឹងនោះហៅថាបន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូល។

ចំនុចកណ្តាលរវាងកំនុំ និងចំនុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ប្រាប់ទិស និង អ័ក្សនៃប៉ារ៉ាបូល ហៅថាកំពូលរបស់ប៉ារ៉ាបូល។​ បន្ទាត់ដែលកាត់តាមកំនុំ និង កំពូលហៅថា អ័ក្សនៃប៉ារ៉ាបូល ឬ អ័ក្សឆ្លុះនៃប៉ារ៉ាបូល។

តាមនិយមន័យប៉ារ៉ាបូល យើងអាចទាញទ្រឹស្តីបទសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលដែលមានបន្ទាត់ប្រាប់ទិសស្របនឹងអ័ក្ស $(x'0x)\!$ ឬ អ័ក្ស $(y'0y)\!$​ ក្នុងតំរុយអរតូណរមេ។

ទ្រឹស្តីបទ

ប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល $(h;k)\!$ និងមានបន្ទាត់ប្រាប់ទិស $y = k - p \!$ មានសមីការទំរង់ស្តង់ដា $(x - h)^2 = 4p(y - k)\!$ ។ អ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សឈរ។

ប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល $(h;k)\!$ និងមានបន្ទាត់ប្រាប់ទិស $x = h - p \!$ មានសមីការទំរង់ស្តង់ដា $(y - k)^2 = 4p(x - h) \!$។ អ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សដេក។

កំនុំស្ថិតនៅលើអ័ក្សឆ្លុះមានចំងាយ P ឯកតាពីកំពូល។ p ហៅថា ប៉ារ៉ាម៉ែត។

សំរាយបញ្ជាក់

យើងស្រាយបញ្ជាក់តែករណីបន្ទាត់ប្រាប់ទិសស្របនឹងអ័ក្ស$(x'0x)\!$ ហើយកំនុំស្ថិតនៅលើកំពូលមានន័យថា $p>0\!$ ។

បើ​ $(x;y)\!$ ជាចំនុចនៅលើប៉ារ៉ាបូល​ នោះ ចំនុច $(x;y)\!$ ស្មើចំងាយពីកំនុំ $(h;k+p)\!$ និង បន្ទាត់ប្រាប់ទិស $y = k-p\,$​ ។

តាមរូបមន្ត ចំងាយរវាងពីរចំនុច​ និង ចំងាយរវាងចំនុច និង បន្ទាត់។

គេបាន

$\sqrt{(x-h)^2 + [y - (k+p)]^2}\, = \, |y - (k-p)|\,$
$(x-h)^2 + [y - (k+p)]^2 \, = \, [y - (k - p)]^2\,$
$(x - h)^2 + y^2 -2y(k + p) + (k+p)^2 \, = \, y^2 -2y(k - p) + (k - p)^2\,$
$(x - h)^2 - 2yk - 2py + k^2 - 2pk +p^2 \, = \, -2yk + 2py + k^2 + 2pk + p^2\,$
$(x - h)^2 - 2py + 2pk \,=\, 2py - 2pk\,$

$(x - h)^2 \,=\,4py - 4pk\,$ ។ ដូច្នេះ $(x - h)^2 \,=\, 4p(y - k)\,$ ។

ការរកទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូល

ឧទាហរណ៍១ រកទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល (2;1) និង​ កំនុំ(2;4) ។

• ចំលើយ ដោយអាប់ស៊ីសកំពូល និង​ កំនុំស្មើគ្នា អរដោនេខុសគ្នា ហើយអ័ក្សឆ្លុះកាត់តាមកំពូល និង កំនុំ នោះអ័ក្សឆ្លុះនៃប៉ារ៉ាបូលជាអ័ក្សឈរ។

គេបានសមីការ $(x - h)^2 = 4p(y - k)\,$ ។ ដែល $h=2 \,;\, k=1\,;\, p=4-1=3\,$ ។

ដូចនេះ ទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូលគឺ $(x - 2)^2 = 12(y - 1)\,$ ។

ឧទាហរណ៍២ រកទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល (-2;1) និង បន្ទាត់ប្រាប់ទិស$x=1\,$ ។

• ចំលើយ ដោយ $x=1\,$ នោះបន្ទាត់ប្រាប់ទិសជាបន្ទាត់ឈរ។ គេបានសមីការ $(y - k)^2 = 4p(x - h)\,$ (1)

ដែល $h=-2 ; k=1\,$

ដោយ $x = h - p \,$ នាំអោយ $p = h - x = -2 -1 = -3 \,$ ។ ជំនួស $h=-2 \,;\, k=1\,$ និង $p=-3\,$

ក្នុងសមីការ (1) គេបាន $(y - 1)^2 = -12(x + 2)\,$ ។

ដូចនេះ ទំរង់ស្តង់ដានៃសមីការប៉ារ៉ាបូលគឺ $(y - 1)^2 = -12(x + 2)\,$ ។

ទំរង់ទូទៅរបស់សមីការប៉ារ៉ាបូល

ជាទូទៅ

សមីការទូទៅរបស់ប៉ារ៉ាបូលមានរាង $Ax^2 + Cx +Dy + E = 0\,$ រឺ $By^2 + Cx + Dy + E = 0 \,$ ។

ឧទាហរណ៍១ បំប្លែងសមីការទូទៅនៃប៉ារ៉ាបូល $y^2 + 8y - 8x = 0\,$ ជាទំរង់ស្តង់ដា។

គេមាន $y^2 + 8y - 8x = 0\,$

$y^2 + 8y = 8x\,$

$y^2 + 8y + 16 = 18x + 16\,$ ។

ដូចនេះ $(y + 4)^2 = 8(x + 2)\,$ ជាទំរង់ស្តង់ដានៃសមីការប៉ារ៉ាបូល ។

ឧទាហរណ៍២ បំប្លែងសមីការទូទៅនៃប៉ារ៉ាបូល $x^2 - 2x + 8y + 9 = 0\,$ ជាទំរង់ស្តង់ដា ។

គេមាន $x^2 - 2x + 8y + 9 = 0\,$

$x^2 - 2x = -8y - 9\,$

$x^2 - 2x + 1 = -8y - 9 + 1\,$ ។

ដូចនេះ $(x - 1)^2 = -8(y + 1)\,$ ជាទំរង់ស្តង់ដានៃសមីការប៉ារ៉ាបូល ។

ការរកកំនុំ និង កំពូលរបស់ប៉ារ៉ាបូល

ឧទាហរណ៍១ រកកំពូល និង កំនុំរបស់ប៉ារ៉ាបូល​ $y = -\frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2}\,$ ។

• ចំលើយ

គុណអង្គទាំងពីរនៃសមីការនឹង 2 គេបាន

$2y = -x^2 - 2x +1\,$
$2y = 1 - (x^2 + 2x)\,$
$2y = 1 - (x^2 + 2x + 1 -1)\,$
$2y = 1 - [(x + 1)^2 - 1]\,$
$2y = 2- (x + 1)^2\,$
$(x + 1)^2 = 2 - 2y\,$
$(x + 1)^2 = -2(y - 1)\,$ ។

ប្រៀបធៀបសមីការ $(x + 1)^2 = -2(y - 1)\,$ និងសមីការ $(x - h)^2 = 4p(y - k)\,$ គេបាន $h=-1 \,;\, k=1\,$ ។
ដូចនេះ កំពូលរបស់ប៉ារ៉ាបូល $(h;k) = (-1;1)\,$​ ។

ដោយ $4p = -2\,$ នាំអោយ $p=-\frac{1}{2}\,$ ។

$p=-\frac{1}{2} \,;\, h=-1 \,;\, k=1\,$ នាំអោយកំនុំរបស់ប៉ារ៉ាបូល $(h;k+p)=(-1;1-\frac{1}{2}) = (-1 ; \frac{1}{2})\,$ ។

ឧទាហរណ៍២ រកកំពូល និង កំនុំរបស់ប៉ារ៉ាបូល​ $y^2 + y -2x + \frac{41}{4} = 0\,$ ។

• ចំលើយ

គេមាន $y^2 + y -2x + \frac{41}{4} = 0\,$
$y^2 + y = 2x -\frac{41}{4}\,$
$y^2 + y + \frac{1}{4} = 2x - \frac{41}{4} + \frac{1}{4}\,$
$(y + \frac{1}{2})^2 = 2x - \frac{40}{4} = 2x - 10\,$
$(y + \frac{1}{2})^2 = 2(x - 5)\,$

ប្រៀធៀបសមីការ $(y + \frac{1}{2})^2 = 2(x - 5)\,$ និងទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូល $(y - k)^2 = 4p(x - h)\,$ ។

គេបាន $k=-\frac{1}{2} \,;\, h=5\,$ ។

ដូចនេះ កំពូលរបស់ប៉ារ៉ាបូល $(h;k) = (5 ; -\frac{1}{2})\,$ ។

ដោយ $4p = 2\,$ នាំអោយ $p=\frac{1}{2}\,$ ។​ ដូចនេះ កំនុំរបស់ប៉ារ៉ាបូល $(h+p;k) = (\frac{11}{2};-\frac{1}{2})\,$ ។