អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ា

ក្រាប​នៃ​អនុគមន៍​ពហុហ្គាំម៉ា​​តាមបណ្តោយអ័ក្សពិត ពណ៌ទឹកក្រូច m = 0, ពណ៌លឿង m=1, ពណ៌បៃតង m=2, ពណ៌ក្រហម m=3 និងពណ៌ខៀវ m=4

ក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍​ពហុហ្គាំម៉ា​នៃលំដាប់ m គឺកំនត់ជាដេរីវេលោការីតទី (m + 1) នៃ​អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា​៖

$\psi^{(m)}(z) = \left(\frac{d}{dz}\right)^m \psi(z) = \left(\frac{d}{dz}\right)^{m+1} \ln\Gamma(z)$

ទីនេះ

$\psi(z) =\psi^{(0)}(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}$

គឺជា​អនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា និង $\ \Gamma(z)$ គឺជា​អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា ។ អនុគមន៍ $\ \psi^{(1)}(z)$ ជួនកាលត្រូវបានគេហៅថា​អនុគមន៍ទ្រីហ្គាំម៉ា (trigamma function) ។

លោការីតនៃ​អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា និង អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ា​ដំបូងមួយចំនួនក្នុង​ប្លង់កុំផ្លិច

$\ \ln\Gamma(z)$	$\ \psi^{(0)}(z)$	$\ \psi^{(1)}(z)$	$\ \psi^{(2)}(z)$	$\ \psi^{(3)}(z)$	$\ \psi^{(4)}(z)$

និយមន័យតាមអាំងតេក្រាល

អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ាអាចតំណាងជាអាំងតេក្រាល

$\psi^{(m)}(z)= (-1)^{(m+1)}\int_0^\infty \frac{t^m e^{-zt}} {1-e^{-t}} dt$

ដែលមានប្រសិទ្ធភាព Re z >0 និង m > 0 ។ ចំពោះ m = 0 សូមមើលនិយមន័យនៃ​អនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា ។

ទំនាក់ទំនងរវាងតួជាប់គ្នា

អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ាមានទំនាក់ទំនងរវាងតួជាប់គ្នា

$\psi^{(m)}(z+1)= \psi^{(m)}(z) + (-1)^m\; m!\; z^{-(m+1)}$

ទ្រឹស្តីបទផលគុណ

ទ្រឹស្តីបទផលគុណ

$k^{m} \psi^{(m-1)}(kz) = \sum_{n=0}^{k-1} \psi^{(m-1)}\left(z+\frac{n}{k}\right)$

ចំពោះ $m>1$ និងចំពោះ $m=0$ រូបមន្តផលគុណនៃអនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា៖

$k (\psi(kz)-\log(k)) = \sum_{n=0}^{k-1} \psi\left(z+\frac{n}{k}\right)$

តំណាងស៊េរី

អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ា​មានតំណាងស៊េរី

$\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(z+k)^{m+1}}$

ដែលមានប្រសិទ្ធភាពចំពោះ $\ m > 0$ និងចំពោះចំនួនកុំផ្លិច $\ z$ មិនមែនជាចំនួនគត់អវិជ្ជមាន​។ តំណាង​នេះ​អាច​ត្រូវ​បាន​គេសរសេរ​បង្រួមឡើងវិញជាអនុគមន៍នៃ​អនុគមន៍ហឺវីតហ្សេតា (Hurwitz zeta function)

$\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \zeta (m+1,z)$

អនុគមន៍ហឺវីតហ្សេតា (Hurwitz zeta function) អាចត្រូវបានគេស្គាល់ជា​អនុគមន៍ទូទៅ​នៃអនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ា​ចំពោះ​​លំដាប់​មិនមែនជាចំនួនគត់ $\mathbb C \backslash \mathbb Z^-$

ស៊េរីតាយល័រ

ស៊េរីតាយល័រត្រង់ចំនុច z=1 គឺ

$\psi^{(m)}(z+1)= \sum_{k=0}^\infty (-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!}\,$

ដែលទាល់ចំពោះ $\ |z|<1$ ។ ទីនេះ $\zeta(n)\,$ គឺជា​អនុគមន៍ហ្សេតារីម៉ាន (Riemann zeta function)