អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា

អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាតាមបណ្តោយផ្នែកនៃអ័ក្សពិត

ក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា (តាងដោយអក្សរធំក្រិច Γ) ជាបន្លាយនៃអនុគមន៍ហ្វាក់តូរ្យែលចំពោះចំនួនពិត និង ចំនួនកុំផ្លិច។ ចំពោះចំនួនកុំផ្លិច z ដែលផ្នែកពិតជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាកំនត់ដោយ

$\color{blue} \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,dt$

និយមន័យនេះអាចត្រូវបានគេពន្លាតចំពោះប្លង់កុំផ្លិច លើកលែងតែចំនួនគត់មិនវិជ្ជមាន។

ប្រសិនបើ n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន នោះគេបាន

$\Gamma(n) = (n-1)!\,$

ទំនាក់ទំនងនេះ​បង្ហាញថា​អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា​ជាប់ទាក់ទងទៅនឹង​អនុគមន៍ហ្វាក់តូរ្យែល។ អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាផ្សារភ្ជាប់ទៅនឹងអនុគមន៍ហ្វាក់តូរ្យែលចំពោះតំលៃ n ជាចំនួនកុំផ្លិច និង មិនមែនជាចំនួនគត់។

អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាជាសមាសភាពមួយនៅក្នុងអនុគមន៍របាយប្រូបាបផ្សេងៗ និង ត្រូវបានគេទៅអនុគមន៍ក្នុងវិស័យជាច្រើននៃប្រូបាប ស្ថិតិវិទ្យា ក៏ដូចជាក្នុងវិភាគបន្សំផងដែរ។

និយមន័យ

តំលៃដាច់ខាត​(ម៉ូឌុល)​នៃ​អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាក្នុង​ប្លង់កុំផ្លិច

និមិត្តសញ្ញា $\ \Gamma (z)$ ត្រូវបានកំនត់ដោយ អាដ្រៀន ម៉ារី ឡេហ្សង់ (Adrien-Marie Legendre ) ។ ប្រសិនបើផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច z ជាចំនួនវិជ្ជមាន (Re[z] > 0) នោះអាំងតេក្រាល

$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,dt \,\!$

ទាល់ជាដាច់ខាត (converges absolutely) ។ ដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក គេអាចបង្ហាញថា

$\Gamma(z+1)=z \, \Gamma(z)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \,\!$

សមីការអនុគមន៍នេះសិក្សាជាទូទៅនូវទំនាក់ទំនង $\ n! = n(n-1)!$ នៃអនុគមន៍ហ្វាក់តូរ្យែល។ យើងអាចវាយតំលៃដោយការវិភាគ $\Gamma (1) \,$:

$\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t} dt = \lim_{k \rightarrow \infty} -e^{-t} |_0^k = -0 - (-1) = 1$

ដាក់ទំនាក់ទំនងទាំងពីរនេះបញ្ចូលគ្នា គេបានករណីពិសេសនៃអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ n ៖

$\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n) = \cdots = n! \, \Gamma(1) = n!\,$

និយមន័យផ្សេងទៀត

និយមន័យផលគុណមិនកំនត់ចំពោះអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា រៀងគ្នាតាមអឺលែរ និង វ៉េអែរស្ត្រាស (Weierstrass) គឺត្រឹមត្រូវចំពោះគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច z ដែលមិនមែនជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន:

$\Gamma(z) = \lim_{n \to {+\infty}} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)}$

$\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{+\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}$

ដែល $\ \gamma$ ជាថេរអឺលែរ-ម៉ាសឆេរ៉ូនី (Euler-Mascheroni constant)

គេអាចបង្ហាញដោយចំៗថានិយមន័យអឺលែរផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការ (1) ខាងលើ ។ អោយ z មិនស្មើនឹង 0, -1, -2, ...

$\begin{align} \Gamma(z+1) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^{z+1}}{(z+1) \; (z+2)\cdots(z+1+n)} \\ &= \lim_{n \to \infty} \left( z \; \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1) \; (z+2)\cdots(z+n)} \; \frac{n}{(z+1+n)}\right) \\ &= z \; \Gamma(z) \; \lim_{n \to \infty} \frac{n}{(z+1+n)} \\ &= z \; \Gamma(z) \\ \end{align}$

វិធីផ្សេងទៀតវាអាចត្រូវបានគែបង្ហាញថា...

$\Gamma(z+1) = \int_0^\infty e^{-t^{1/z}}\,dt \,\!$

ការទាញរកទំនាក់ទំនងជាមួយហ្វាក់តូរ្យែលដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក

វាជាការងាយក្នុងការរក $\ \Gamma(1)$

$\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-x} x ^{1-1} dx = \int_0^\infty e^{-x} dx = -e^{-\infty} - (-e^0) = 0 - (-1) = 1$

បន្ទាប់មកយើងទាញរកកន្សោម $\ \Gamma(n + 1)$ ជាអនុគមន៍នៃ $\ \Gamma(n)$:

$\Gamma(n + 1) = \int_0^\infty e^{-x} x ^{n + 1 - 1} dx = \int_0^\infty e^{-x} x ^n dx$

ដើម្បីដោះស្រាយអាំងតេក្រាលនេះ យើងប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក

$\int_0^\infty e^{-x} x ^n dx = \left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty + n \int_0^\infty e^{-x} x ^{n - 1} dx$

យើងឃើញថា $\frac{-0^n}{e^0} = \frac{0}{1} = 0$ ។

តាមច្បាប់ឡួពីតាល់ (L'Hôpital's rule) យើងបាន

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{e^x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-n! \cdot x^0}{e^x} = 0$

ហេតុនេះតួទី១ $\left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty$ មានលីមីតស្មើនឹង ០ ។ គេបាន

$\Gamma(n + 1) = n \int_0^\infty e^{-x} x ^{n - 1} dx$

អង្គខាងស្តាំនៃសមីការនេះមានតំលៃ $\ n \Gamma(n)$ ។ យើងទទួលបានទំនាក់ទំនង

$\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n)$

ដោយប្រើរូបមន្ត យើងទាញបាន

$\Gamma(2) = \Gamma(1 + 1) = 1\Gamma(1) = 1!\,$

$\Gamma(3) = \Gamma(2 + 1) = 2\Gamma(2) = 2 \cdot 1! = 2! = 2\,$

$\Gamma(4) = \Gamma(3 + 1) = 3\Gamma(3) = 3 \cdot 2! = 3! = 6\,$

$\Gamma(n + 1) = n\Gamma(n) = n\cdot(n-1)! = n!$

តំលៃពិសេស

ខាងក្រោមនេះជាតំលៃពិសេសមួយចំនួននៃអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា និង ដេរីវេរបស់វា តំលៃនៃ​ $\Gamma(1/2)$ អាចអោយគេទាញបានរូបមន្តរកតំលៃពិសេសផ្សេងទៀត។

$\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin \pi z}$

ចំពោះ $z=\frac{1}{2} \,$ គេទាញបាន:

$\Gamma(1/2) = \sqrt { \pi }$

តាមរយៈតំលៃនេះគេអាចកំនត់បានតំលៃពិសេសផ្សេងទៀត

$\Gamma(-3/2)= \frac {4\sqrt{\pi}} {3}$

$\Gamma(-1/2)= -2\sqrt{\pi}$

$\Gamma(1/2)= \sqrt{\pi}$

$\Gamma(1)=0!=1 \,$

$\Gamma(3/2)= \frac {\sqrt{\pi}} {2}$

$\Gamma(2)=1!=1 \,$

$\Gamma(5/2)=\frac {3 \sqrt{\pi}} {4}$

$\Gamma(3)=2!=2 \,$

$\Gamma(7/2)= \frac {15\sqrt{\pi}} {8}$

$\Gamma(4)=3!=6 \,$

និងក្នុងករណីទូទៅ:

$\Gamma \left(n+\frac{1}{2}\right)= \left(n-\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(n-\frac{1}{2}\right)=\left(n-\frac{1}{2}\right)\left(n-\frac{3}{2}\right)\cdots\frac{3}{2}\, \frac{1}{2}\,\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!} \sqrt{\pi}$

ទំនាក់ទំនងរវាងដេរីវេ និង $\gamma$ ថេរអឺលែរ-ម៉ាសឆេរ៉ូនី:

$\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(\gamma+2\,\ln(2))$

$\Gamma'(1)=-\gamma\,$

$\Gamma'(2)=1-\gamma\,$

$\Gamma''(1/2)=\sqrt{\pi}(\gamma+2\,\ln(2))^{2}+\frac{\pi^{5/2}}{2}$

$\Gamma''(1)=\gamma^{2}+\frac{\pi^{2}}{6}$

$\Gamma''(2)=(1-\gamma)^{2}+\frac{\pi^{2}}{6}-1$