ប្លង់

ប្លង់ពីរប្រសប់គ្នា​នៅក្នុងលំហ

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ប្លង់គឺជាផ្ទៃរាបដែលមិនមានដែនកំនត់។

ធរណីមាត្រនៃអឺគ្លីត

នៅក្នុងលំហអឺគ្លីត ប្លង់មួយគឺជាផ្ទៃមួយដែលផ្ទៃនោះមានបន្ទាត់មួយកាត់តាមចំនុចពីរផ្សេងគ្នានៅលើប្លង់នោះ។

ប្លង់មួយបង្កើតដោយ៖

• ចំនុច៣មិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។

• បន្ទាត់មួយនិងចំនុចមួយដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់នោះ។

• បន្ទាត់២ដែលមានចំនុចប្រសប់គ្នាមួយ(បន្ទាត់ទាំង២កាត់គ្នា)។

• បន្ទាត់ស្របគ្នា២។

ប្លង់នៅក្នុងR³

លក្ខណះ

• ប្លង់២អាចស្របគ្នា ឬ​ កាត់គ្នាបង្កើតបានបន្ទាត់មួយ។

• បន្ទាត់មួយ អាចស្របឬកាត់ប្លង់ត្រង់ចំនុចមួយ ឬ វាអាចស្ថិតនៅក្នុងប្លង់។

• បន្ទាត់២កែងនឺងប្លង់មួយ នោះបន្ទាត់ទាំង២ស្របគ្នា។

• ប្លង់២កែងនឹងបន្ទាត់មួយ នោះប្លង់ទាំង២ស្របគ្នា។

ការកំនត់ប្លង់មួយជាមួយនឹងចំនុចមួយនិងវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស

ក្នុងលំហ វិធីសាស្រ្តដ៏សំខាន់ក្នុងការកំនត់ប្លង់មួយគឺត្រូវរកចំនុចមួយនិងវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់របស់ប្លង់នោះ។

តាង$\mathbf {p}$ជាចំនុចមួយនៅក្នុងប្លង់ ហើយតាង ${\vec {n}}$ជាវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់មិនសូន្យរបស់ប្លង់។ ប្លង់ដែលត្រូវរកគឺជាសំនុំនៃចំនុចទាំងអស់$\mathbf {r}$ ដែល ${\vec {n}}\cdot {\overrightarrow {r\mathbf {p} }}=0$។

ប្រសិនបើ ${\vec {n}}={\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}$, $\mathbf {r} =(x,y,z)$, $\mathbf {p} =(x_{0},y_{0},z_{0})$ នោះប្លង់ $\Pi$ កំនត់ដោយ $ax+by+cz+d=0\,$ ដែល a, b, c ជាចំនួនពិតមិនសូន្យ និង $d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0})\,$

ការកំនត់ប្លង់មួយដែលកាត់តាមបីចំនុច

• ប្លង់កាត់តាមបីចំនុច$\mathbf {p} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$, $\mathbf {p} _{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$ និង $\mathbf {p} _{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})$ អាចត្រូវបានកំនត់ដោយសំនុំនៃគ្រប់ចំនុច (x,y,z) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការដេទែរមីណង់ខាងក្រោម

${\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x-x_{2}&y-y_{2}&z-z_{2}\\x-x_{3}&y-y_{3}&z-z_{3}\end{vmatrix}}=0$

• ដើម្បីកំនត់ប្លង់ដែលមានទំរង់សមីការ $ax+by+cz+d=0\,$ គេត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោម

$\,ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d=0$

$\,ax_{2}+by_{2}+cz_{2}+d=0$

$\,ax_{3}+by_{3}+cz_{3}+d=0$។

ប្រព័ន្ធសមីការនេះអាចត្រូវគេដោះស្រាយតាមច្បាប់Cramer ឬ តាមវិធីកាត់បន្ថយអញ្ញាត។ តាង $D={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}$ នោះ

$a={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}1&y_{1}&z_{1}\\1&y_{2}&z_{2}\\1&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}$

$b={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&1&z_{1}\\x_{2}&1&z_{2}\\x_{3}&1&z_{3}\end{vmatrix}}$

$c={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}$

សមីការទាំងនេះគឺជាប់ប៉ារាមែត្រ d ។ យក d ស្មើនឹងចំនួនណាមួយមិនសូន្យជំនួសក្នុងសមីការទាំងនោះ គេនឹងបានសំនុំចំលើយមួយ។

• គេអាចរកប្លង់នេះតាមរយះ ចំនុចនិងវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ដូចដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ។

វ៉ិចទ័រណរម៉ាល់កំនត់ដោយ ${\vec {n}}={\overrightarrow {p_{2}p_{1}}}\times {\overrightarrow {p_{3}p_{1}}}\,$

ចំងាយពីចំនុចមួយទៅប្លង់មួយ

គេមាន ប្លង់$\Pi :ax+by+cz+d=0\,$ និងចំនុច $\mathbf {p} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ មិនស្ថិតនៅលើប្លង់។ ប្រវែងខ្លីបំផុតពីចំនុច$\mathbf {p} _{1}$ ទៅប្លង់គឺ​ :$D={\frac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

បើ$\mathbf {p} _{1}$ ស្ថិតនៅលើប្លង់ នោះD=0​។

បើ ${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=1$​ គេបាន :$D=\ |ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d|$។

មុំផ្គុំរវាងប្លង់ពីរ

គេអោយប្លង់ $\Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0\,$ ដែលមានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ ${\vec {n}}_{1}\,$ និងប្លង់ $\Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\,$ ដែលមានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ ${\vec {n}}_{2}\,$ ។

មុំផ្គុំរវាងប្លង់ទាំងពីរសំដែងដោយ ៖

$\cos \alpha ={\frac {|{\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2}|}{||{\vec {n}}_{1}||||{\vec {n}}_{2}||}}={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}$