លីមីត

និយមន័យ

អនុគមន៍ $f(x)\,$ មានលីមីត $L\,$ កាលណា $x\,$ ខិតជិត $c\,$ មានន័យថា ចំពោះគ្រប់ចំនួន $\varepsilon >0\,$ គេមានចំនួន $\delta >0\,$ ដែល $0<|x-c|<\delta \,$ គេបាន $|f(x)-L|<\varepsilon \,$ ។

ឬ សរសេរជាទំរង់សញ្ញា

$\forall \varepsilon >0\ \ \exists \delta >0\ \ \forall x(0<|x-c|<\delta \ \rightarrow \ |f(x)-L|<\varepsilon )$។

គេសរសេរ :$\lim _{x\to c}f(x)=L$

ឧទាហរណ៍ ប្រើនិយមន័យបង្ហាញថា :$\lim _{x\to 1}(5x-3)=2\,$ ។

តាមនិយមន័យគេបាន $c=1\,;\,f(x)=5x-3\,$ និង $L=2\,$ ។

ដើម្បីបង្ហាញថា  :$\lim _{x\to 1}(5x-3)=2\,$ គេត្រូវបង្ហាញថា គ្រប់ចំនួន $\varepsilon >0\,$ គេមានចំនួន $\delta >0\,$ ដែល $0<|x-1|<\delta \,$ នាំអោយ $|(5x-3)-2|<\varepsilon \,$ ។

ទ្រឹស្តីបទលីមីត

ទ្រឹស្តីបទ១

បើ $\lim _{x\to c}f(x)=L$ និង $\lim _{x\to c}g(x)=M$ ហើយ $L;M;K\,$ ជាចំនួនពិត។

១. $\lim _{x\to c}[f(x)\pm g(x)]=L\pm M\,$

២. $\lim _{x\to c}[f(x)\cdot g(x)]=L\cdot M\,$

៣. $\lim _{x\to c}Kf(x)=K\cdot L\,$

៤. $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L}{M}}\,$ បើ $M\neq 0\,$

៥. $\lim _{x\to c}[f(x)]^{n}=L^{n}\,\,n$ ជាចំនួនរ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន។

ទ្រឹស្តីបទ២

លីមីតនៃអនុគមន៍ពហុធា

បើ $p\,$ ជាអនុគមន៍ពហុធា និង $c\,$ ជាចំនួនពិតគេបាន $\lim _{x\to c}p(x)=p(c)\,$ ។

សំរាយបញ្ជាក់ : គេអោយអនុគមន៍ $p\,$ ដែល $p(x)=a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a_{0}\,$

អនុវត្តផលបូកលីមីត និង ផលគុណចំនួនថេរគេបាន

$\lim _{x\to c}p(x)=a_{n}[\lim _{x\to c}x^{n}]+...+a_{1}[\lim _{x\to c}x]+\lim _{x\to c}a_{0}\,$ ។ ដូចនេះ គេបាន $\lim _{x\to c}p(x)=a_{n}c^{n}+...+a_{1}c+a_{0}=p(c)\,$ ។

ទ្រឹស្តីបទ៣

លីមីតនៃអនុគមន៍សនិទាន

បើ $r\,$ ជាអនុគមន៍សនិទាន ដែល $r(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}\,$ និង $c\,$ ជាចំនួនពិតដែល $q(c)\neq 0\,$ នោះគេបាន $\lim _{x\to c}r(x)=r(c)={\frac {p(c)}{q(c)}}\,$ ។

សំរាយបញ្ជាក់ : តាមទ្រឹស្តីបទ២ គេបាន $\lim _{x\to c}p(x)=p(c)\,$ និង $\lim _{x\to c}q(x)=q(c)\,$ ។ ដោយ $q(c)\neq 0\,$ គេអនុវត្តលក្ខណៈ៤នៃទ្រឹស្តីបទ១ ។

គេបាន $\lim _{x\to c}r(x)=\lim _{x\to c}{\frac {p(x)}{q(x)}}={\frac {\lim _{x\to c}p(x)}{\lim _{x\to c}q(x)}}=r(c)\,$ ។

ទ្រឹស្តីបទ៤

លីមីតនៃអនុគមន៍ជាប់រ៉ាឌីកាល់ (រឺ អនុគមន៍អសនិទាន)

• បើ $c>0\,$ និង $n\,$ ជាចំនួនរ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន រឺ បើ $c\leq 0\,$និង $n\,$ ជាសំនួនសេស

• ​ គេបាន $lim_{x\to c}{\sqrt[{n}]{x}}={\sqrt[{n}]{c}}\,$ ។

• បើ $\lim _{x\to c}f(x)=L$ និង $c\,$ ជាចំនួនពិតគេបាន $lim_{x\to c}{\sqrt[{n}]{f(x)}}={\sqrt[{n}]{\lim _{x\to c}f(x)}}={\sqrt[{n}]{L}}=(L)^{\frac {1}{n}}\,$ ។

$L>0\,$ និង $n\,$ ជាចំនួនរ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន ឬ $L\leq 0\,$ និង $n\,$ ជាចំនួនរ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមានសេស។

ទ្រឹស្តីបទ៥

លីមីតនៃអនុគមន៍បណ្តាក់

បើ $f\,$ និង $g\,$ ជាអនុគមន៍ដែល $\lim _{x\to c}g(x)=L\,$ និង $\lim _{x\to L}f(x)=f(L)\,$ នោះ​ $\lim _{x\to c}f[g(x)]=f(L)\,$ ។

ទ្រឹស្តីបទ៦

លីមីតនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

បើ $c\,$ ជាចំនួនពិតស្ថិតក្នុងដែនកំនត់នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដែលអោយ គេបាន

១. $\lim _{x\to c}sinx=sinc\,$

២. $\lim _{x\to c}cosx=cosc\,$

៣. $\lim _{x\to c}tanx=tanc\,$

៤. $\lim _{x\to c}cotx=cotc\,$ ។

ទ្រឹស្ដីបទ៧

លីមីតនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រសំខាន់

១. $\lim _{x\to 0}{\frac {sinx}{x}}=1\,$

២. $\lim _{x\to 0}{\frac {1-cosx}{x}}=0\,$

Lim {x \to 0}