វិសមភាព កុលហ្គោម៉ូរ៉ូវ

វិសមភាពកុលហ្គោម៉ូរ៉ូវ (Kolgomorov's inequality) គឺ​ជា​វិសមភាព​មួយ​ដែល​អោយ​ទំនាក់ទំនង ក្នុង​អនុគមន៍​មួយ និង​ដេរវេ​ទី១ ទី២​របស់​វា។ ខាងក្រោម​នេះ​​ជា​ពំនោល​​របស់​វិសមភាព​កុលហ្គោម៉ូរ៉ូវ៖

តាង $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ជាអនុគមន៍មានដេរីវេពីរដងនៅលើ $\mathbb {R}$ គឺ $f\,$ និង $f''\,$ កំនត់លើ $\mathbb {R}$ ។ ចង្អុលបង្ហាញ

$M_{0}=\sup _{x\in \mathbb {R} }|f(x)|,\ M_{1}=\sup _{x\in \mathbb {R} }|f'(x)|,\ M_{2}=\sup _{x\in \mathbb {R} }|f''(x)|$ ។

នោះ $f'\,\!$ ទាល់​លើ $\mathbb {R}$ និង $M_{1}\leq {\sqrt {2M_{0}M_{2}}}$.

សំរាយបញ្ជាក់

ដើម្បី​ស្រាយបញ្ជាក់​វិសមភាព​នេះ យើង​ត្រូវ​ប្រើទ្រឹស្តីបទតេល័រ

តាង $a\in \mathbb {R} _{+}^{*},x\in \mathbb {R}$ ។ ដោយអនុវត្តវិសមភាពតាយល័រ-ឡាហ្ក្រង់ (Taylor-Lagrange Inequality) ចំពោះ $f\,\!$ នៅលើចន្លោះ $[x-a,x]\,\!$ និង $[x,x+a]\,\!$ យើងបាន

${\begin{cases}|f(x-a)-(f(x)-af'(x))|\leq {\frac {a^{2}}{2}}M_{2}\\|f(x+a)-(f(x)+af'(x))|\leq {\frac {a^{2}}{2}}M_{2}\end{cases}}$

ដោយ

$|f(x+a)-f(x-a)-2af'(x)|\,\!$

${\begin{alignedat}{2}&=|(f(x+a)-(f(x)+af'(x)))-(f(x-a)-(f(x)-af'(x)))|\\&\leq a^{2}M_{2}\\\end{alignedat}}$

ដូច្នេះ

$|2af'(x)|\leq |f(x+a)-f(x-a)|+a^{2}M_{2}\leq 2M_{0}+a^{2}M_{2}$ ។

ហេតុនេះ

$M_{1}\leq {\frac {M_{0}}{a}}+{\frac {1}{2}}aM_{2}\leq {\sqrt {2M_{0}M_{2}}}$

ដែល​យើង​បាន​ប្រើ​ប្រាស់​វិសមភាព AM-GM (AM-GM inequality) នៅ​ជំហាន​ចុង​ក្រោយ​គេ។