អនុគមន៍ដឺក្រេទី៣

ក្រាបនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី៣។ រឺសជាចំនុចប្រសព្វរវាងអ័ក្សអាប់ស៊ីស $(x'0x)\!$ និងខ្សែកោង (y = 0)។ វាមានចំនុចរបត់២។

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍ដឺក្រេទី៣ (Cubic function) ជាអនុគមន៍ដែលមានទំរង់

$f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$

ដែល a ជាចំនួនមិនសូន្យ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី៣ជាអនុគមន៍ដឺក្រេទី២។ អាំងត្រេក្រាលនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី៣ជាអនុគមន៍​ដឺក្រេ​ទី​បួន​។

ប្រសិនបើអ្នកអោយ $f(x)=0\,$ នោះអ្នកនឹងទទួលបានទំរង់សមីការដឺក្រេទី៣

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,$

ដែល

$a\neq 0\,$

(ប្រសិនបើ a = 0 នោះគេវានឹងក្លាយទៅជាសមីការដឺក្រេទី២)

ឫសនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី៣

លក្ខណៈនៃឫស

យោង​តាម​ទ្រឹស្ដី​បទតម្លៃ​កណ្ដាល គ្រប់សមីការដឺក្រេទី៣ដែលមានមេគុណជាចំនួនពិត មានឫសយ៉ាងហោចណាស់មួយជាចំនួនពិត។ យើងអាចបែងចែកតាមរយៈឌីស្គ្រីមីណង់(Discriminant)

$\Delta =-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}+18abcd-27a^{2}d^{2}.\,$

ករណីខាងក្រោមត្រូវការពិចារណា

• បើ Δ > 0 នោះសមីការមានឫស៣ជាចំនួនពិតផ្សេងគ្នា។
• បើ Δ < 0 នោះសមីការមានឫស១ជាចំនួនពិត និង មានឫស២ផ្សេងទៀតជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់។
• បើ Δ = 0 នោះសមីការមានឫសដូចគ្នាយ៉ាងហោចណាស់២។

វិធីសាស្រ្តកាដាណូ(Cardano)

ចំលើទាំងនេះអាចត្រូវគេរកតាម វិធីសាស្រ្ត Scipione del Ferro និង Tartaglia ដែលបោះពុម្ភនៅឆ្នាំ១៥៤៥។

យើងដាក់សមីការស្តង់ដាជារាង :$x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\qquad (1)$

ជំនួស$x=t-a/3$​ ហើយលុបបំបាត់តួដែលមានដឺក្រេទី២​ យើងបាន

$t^{3}+pt+q=0\,,\,$ $p=b-{\frac {a^{2}}{3}}\,$ ហើយ $q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}\qquad (2)$

តាម Thomas Harriot(១៥៦០-១៦២១): ដោយជំនួស $t=y-{p \over 3y}$ ហើយគុណអង្គទាំង២នឹង $y^{3}$ រួចធ្វើការលុបបំបាត់ផ្នែកខ្លះ នោះ $y^{6}+qy^{3}-{p^{3} \over 27}=0$ ។ ការព៌ណនាខាងក្រោមគឺជាប្រភពដើមនៃCardano និង Tartaglia ដែលមាននៅក្នុងសៀវភៅរហូតដល់សព្វថ្ងៃ។

ឧបមាថា យើងអាចរកចំនួន $u\,$ និង $v\,$ ដែល

$-u^{3}-v^{3}=q\,$ ហើយ $-uv={\frac {p}{3}}\quad (3)\,$

ចំលើយចំពោះសមីការគឺអោយដោយ

$t=v+u\,$

ដែលអាចត្រូវគេពិនិត្យតាមរយះ ជំនួសតំលៃនេះដោយត្រង់ចំពោះ $t\,$ ក្នុង (2)​ ។

$(v+u)^{3}-3uv(v+u)+(-u^{3}-v^{3})=0\$

ប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានដោះស្រាយ ដោយដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី២ ចំពោះ v

$v=-{\frac {p}{3u}}$

ដោយជំនួស v ទៅក្នុងសមីការដំបូង ក្នុង(3)

$-u^{3}+{\frac {p^{3}}{27u^{3}}}=q$

ដោយប្តូរទីតាំងនៃ q ហើយគុណនឹង 27u³ នោះ

$27u^{6}+27qu^{3}-p^{3}=0\,$

នេះជាសមីការដឺក្រេទី២ ចំពោះ u³។ បើយើងដោះស្រាយសមីការនេះ គេឃើញថា

$u^{3}=-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}$

$u={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}\quad (4)$

ចូរចាំថា មាន៦របៀបក្នុងការគណនា u ជាមួយ (4) ។ វាមានចំលើយ២ចំពោះឫសការេ($\pm$) ហើយ ចំលើយជាចំនួនកុំផ្លិច៣ ចំពោះឫសគូប ។ គុណចំលើយគោលនឹង ${\tfrac {-1}{2}}\pm i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$ ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សញ្ញានៃឫសការេ(បូក ឬ ដក) មិនប៉ះពាល់ដល់ចំលើយចុងក្រោយទេ។ ដំបូង បើ p = 0 នោះ ឫសមួយអាចត្រូវជ្រើសរើសឫសការេអវិជ្ជមាន ដែលនាំអោយ u មិនស្មើសូន្យ ឧទាហរណ៍​ $u=-{\sqrt[{3}]{q}}$ ។ ទី២ បើ p = q = 0 នោះយើងមានឫសពិត៣ x = −a/3 ។

សង្ខេប ចំពោះសមីការដឺក្រេទី៣​

$x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\$

ចំលើយ ចំពោះx ផ្តល់អោយ

$x=-{\frac {p}{3u}}+u-{a \over 3}$

ដែល

$p=b-{\frac {a^{2}}{3}}$

$q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}$

$u={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}$

បើទោះបីជាវិធីសាស្រ្តនេះធម្មតានិងឥតខ្ចោះក៏ដោយ វាខុសចំពោះឫសពិត៣ ឧទាហរណ៍ ពេល  :$D<0,D=\left({q \over 2}\right)^{2}+\left({p \over 3}\right)^{3}$

ចំពោះករណីនេះ ទ្រឹស្តីបទផ្សេងទៀតត្រូវគេយកមកប្រើ ។

តាមពិត វិធីសាស្រ្តនេះអាចប្រើបានចំពោះករណីដែល D < 0 ហើយគ្រប់ករណីផ្សេងទៀតទាំងអស់ បើយើងប្រើឫសគូប៣ នៃ u និង v​ ខាងលើ ទោះបីជា ចំនួនពិត ឬ កុំផ្លិច។ វាជាប្រវត្តិដ៏មានសារៈសំខាន់ព្រោះការរកចំលើយតាមរបៀបនេះ​ ធ្វើអោយគេទទួលយកចំនួនកុំផ្លិច ។ ប៉ុន្តែជាសំណាងអាក្រក់ អ្វីៗគឺសាំញ៉ាំបន្តិច។

យើងដឹងថា $\!\!~\!\!{\text{ }}\!\!~\!\!{\text{ }}\!\!~\!\!{\text{ }}\!\!~\!\!{\text{ }}u^{3}=-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}~~~~~~~\,$ ឬ $-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}$

តែដោយ $u\,$ និង $v\,$ ត្រូវតែផ្ទៀងផ្ទាត់ $\!\!~\!\!{\text{ }}\!\!~\!\!{\text{ }}\!\!~\!\!{\text{ }}\!\!~\!\!{\text{ }}-u^{3}-v^{3}=q~~~~~~~~$ ហើយ $-uv={\frac {p}{3}}$

នោះគេអាចបង្ហាញថាបើ

${\text{ }}~~~~~~u^{3}=-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}~~~~then~~~~v^{3}=-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}$

ឬផ្ទុយទៅវិញ វាមិនមានបញ្ហាក្នុងការជ្រើសរើសវិធីសាស្រ្តទេ។

ដោយសរសេរឫសទាំង៣នោះចេញគេបាន

$u=\left\{{\begin{aligned}&{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\\end{aligned}}\right.~~~and~~~v=\left\{{\begin{aligned}&{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\\end{aligned}}\right.$

ចំណាំ $~t=u+v~$ យើងទទួលយកតំលៃដែលអាចតែ៣ប៉ុណ្ណោះសំរាប់ t ពីព្រោះការបូកផ្សំគ្នា៣នៃ u និង v អាចទៅរួចបើ$-uv={\frac {p}{3}}$ គឺត្រូវតែរក្សាសុពលភាពក្នុងនាមជា - ដូចនេះ

$t=\left\{{\begin{aligned}&{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\\end{aligned}}\right.$

ហើយដោយ

$x=t-{\frac {a}{3}}$

តំលៃដែលអាច៣នៃ x គឺ

$x=\left\{{\begin{aligned}&{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}-{\frac {a}{3}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}-{\frac {a}{3}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}-{\frac {a}{3}}\\\end{aligned}}\right.$

ហើយសមីការដឺក្រេទី៣ត្រូវគេដោះស្រាយ តាមរយះ $D={\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}$ វិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន ឬ សូន្យ

បើ D វិជ្ជមាន នោះវាមានចំនួនពិតមួយ និងចំនូនកុំផ្លិចពីរជាឫស ។

បើ D អវិជ្ជមាន នោះវាមានឫស៣ជាចំនួនពិត។

បើ D = 0 នោះវាមាន ឫសមួយជាចំនួនពិត(ឫសដូចគ្នាទាំងបី) ឬ ឫសពីរជាចំនួនពិត(ឫសមួយ​ ឬ ឫសឌុប)។