អេលីប

អេលីប

អេលីបគឺជាសំនុំចំនុច​$P(x;y)\,$ នៅក្នុងប្លង់ដែលមានផលបូកនៃចំងាយរវាងចំនុច ​$P(x;y)\,$ ទៅនឹងចំនុចនឹងពីរជាចំនួនថេរ(ស្មើនឹង $2a\,$​) ។ ចំនុចនឹងពីរនោះហៅថាកំនុំ ។

ទំរង់ស្តង់ដានៃសមីការអេលីប

អេលីប

ទ្រឹស្តីបទ

តំរង់ស្តង់ដានៃសមីការអេលីបដែលមានផ្ចិត $(h;k)\,$ ហើយអ័ក្សធំមានប្រវែងស្មើនឹង $2a\,$ និងអ័ក្សតូចមានប្រវែងស្មើនឹង $2b\,;\,a>b>0\,$ មានសមីការ៖

ក. ${\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}\,+\,{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}\,=\,1\,$ បើអ័ក្សធំជាអ័ក្សដេក។

ខ. ${\frac {(x-h)^{2}}{b^{2}}}\,+\,{\frac {(y-k)^{2}}{a^{2}}}\,=\,1\,$ បើអ័ក្សធំជាអ័ក្សឈរ។

កំនុំទាំងពីរស្ថិតនៅលើអ័ក្សធំចំងាយ $c\,$ ឯកតាពីផ្ចិត ហើយ $c^{2}=a^{2}-b^{2}\,$ ។

ទំរង់ទូទៅរបស់សមីការអេលីប

ទំរង់ទូទៅរបស់សមីការអេលីបមានរាង $Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0\,$ ដែល $A\neq 0\,$ និង $B\neq 0\,$ ។

អេលីប

សមីការអេលីបដែលមានផ្ចិតស្ថិតចំគល់អ័ក្ស

បើផ្ចិតរបស់អេលីបស្ថិតនៅចំគល់អ័ក្ស គេបានទំរង់ស្តង់ដានៃសមីការអេលីបដែលមាន ៖

ក. ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}\,+\,{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\,=\,1\,$ បើអ័ក្សធំជាអ័ក្សដេក។

ខ. ${\frac {x^{2}}{b^{2}}}\,+\,{\frac {y^{2}}{a^{2}}}\,=\,1\,$ បើអ័ក្សធំជាអ័ក្សឈរ។

សមីការប៉ារ៉ាមែត្រ

ចំពោះអេលីបដែលមានផ្ចិតទូទៅ

$x=h+a\,\cos t\!$

$y=k+b\,\sin t\!$

ដែល $t\,$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ $-\pi \leq t\leq \pi$ ។

ចំពោះអេលីបដែលមានផ្ចិតត្រង់គល់អ័ក្ស

${\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}}\quad t\in \mathbb {R}$

សមីការប៉ូលែរ

$r={\frac {p}{1+e\cos \theta }}\qquad \theta \in \mathbb {R}$

ឬ

$r^{2}={\frac {b^{2}}{1-e^{2}\cos ^{2}\theta }}\qquad \theta \in \mathbb {R}$

ផ្ទៃអេលីប

បើគេមានសមីការអេលីបរាង ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}\,+\,{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\,=\,1\,$ នាំអោយ

$y=b{\sqrt {1-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}}}$

ចំពោះ $x$ ក្នុងចន្លោះ $[0,a]$។

គេបាន :$I=\int _{0}^{a}b{\sqrt {1-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x=ab\int _{0}^{1}{\sqrt {1-t^{2}}}\,\mathrm {d} t=ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}u\,\mathrm {d} u$

ដោយប្តូរអថេរ $u\mapsto \sin u=t$ ក្នុងចន្លោះ $[0,\pi /2]$ លើ $[0,1]$

$I=ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1+\cos 2u}{2}}\,\mathrm {d} u={\frac {\pi ab}{4}}$ ជា${\frac {1}{4}}\,$ នៃផ្ទៃរបស់អេលីប។

ចំពោះគ្រប់អេលីប :$S=\pi ab\,$ ។

ចំនាំ ៖ បើ $a=b\,$ នោះផ្ទៃរបស់អេលីបក្លាយជាផ្ទៃរង្វង់។