ទ្រឹស្តីបទអាប៉ូឡូនុស

ទ្រឹស្តីបទអាប៉ូឡូនុស

m=n(=1) បៃតង + ខៀវ = ក្រហម

ក្នុងធរណីមាត្រ ទ្រឹស្តីបទអាប៉ូឡូនុស(Apollonius' theorem) គឺជាទ្រឹស្តីបទមួយដែលទាក់ទងទៅនឹងធាតុខ្លះៗនៃត្រីកោណមួយ ។ គេមាន ត្រីកោណ ABC បើ D ជាចំនុចមួយនៅលើ BC ដែលវាចែក BC ជាប្រភាគ n : m (ឬ $m\cdot BD = n\cdot DC$) នោះគេបាន

$mAB^2 + nAC^2 = mBD^2 + nDC^2 + (m+n)AD^2\,$

ករណីពិសេស

• ពេល $m = n (=1) \,$ នោះ AD ជាមេដ្យានដែលចោលលើ BC នោះទ្រឹស្តីបទក្លាយទៅជាទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន៖

$AB^2 + AC^2 = BD^2 + DC^2 + 2AD^2 \,$

• ពេល AB = AC នោះ ត្រីកោណជាត្រីកោណសមបាត ។ នោះទ្រឹស្តីបទក្លាយទៅជា

$AD^2 + BD^2 = AB^2 (= AC^2)\,$

ចំពោះ ត្រីកោណ$ABC\,$ បើ$AD\,$ ជាមេដ្យាន នោះ $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2+BD^2)\,\!$

ដើម្បីបង្ហាញចំពោះទ្រឹស្តីបទនេះ តាង$AX\,$ ជាចំណោលកែងទៅនឹង$BC\,$ ពីចំនុច $A\,$ ។ តាមទ្រឹស្តីបទពីតាករ ចំពោះត្រីកោណកែង$ABX\,$ និង $ACX\,$ គេបាន

$AB^2 = AX^2 + BX^2\,$

$= AX^2 + (BD+DX)^2\,$

$= AX^2 + BD^2 + DX^2 + 2.BD.DX\qquad (i)$

និង

$AC^2 = AX^2 + CX^2\,$

$= AX^2 + (CD-DX)^2\,$

$= AX^2 + CD^2 + DX^2 - 2.CD.DX \qquad (ii)$

ដោយបូកបញ្ចូលសមីការ(i) និង (ii)

$AB^2 + AC^2\,\!$

$= AX^2 + BD^2 + DX^2 + 2.BD.DX + AX^2 + CD^2 + DX^2 - 2.CD.DX\,\!$

$= 2(AX^2 + DX^2 + BD^2)\,$

ដោយ $BD=DC,\,$

$2.BD.DX=2.DC.DX\,\!$

$= 2(AX^2 + DX^2) + 2BD^2\,\!$

$= 2(AD^2 + BD^2)\,\!$

ដោយ $AXD\,$ គឺជាមុំកែង

ដូច្នេះទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបង្ហាញ ។