អនុគមន៍បែតា

ដោយសព្វវចនាធិប្បាយសេរីវិគីភីឌា

ទៅកាន់៖ ទិសដៅ, ស្វែងរក

ក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍បែតា ឬហៅថាអាំងតេក្រាលអយលឺនៃប្រភេទទី១ (អាំងតេក្រាលអយល័រ, Euler integral) គឺជាអនុគមន៍កំនត់ដោយ

\mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt \!

ចំពោះ \textrm{Re}(x), \textrm{Re}(y) > 0\,

អនុគមន៍បែតាត្រូវបានសិក្សាដោយអយល័រ (ឬអឺលែរ) និង គណិតវិទូបារាំង អាដ្រៀន ម៉ារី ឡឺហ្សង់ (Adrien-Marie Legendre) និងត្រូវបានដាក់ឈ្មោះដោយគណិតវិទូ រូបវិទូ និង តារាវិទូ ជនជាតិ​បារាំង លោក ហ្សាក់ ប៊ីណេ (Jacques Binet) ។

មាតិកា

[កែប្រែ] លក្ខណៈនៃអនុគមន៍បែតា

អនុគមន៍បែតាជាអនុគមន៍ស៊ីមេទ្រី មានន័យថា \Beta(x,y) = \Beta(y,x)\!

អនុគមន៍បែតាមានទំរង់ជាច្រើនរួមមាន:

  • \Beta(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \!
  • \Beta(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,d\theta, \qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0 \!
  • \Beta(x,y) = \int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt, \qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0 \!
  • \Beta(x,y) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{{n-y \choose n}} {x+n} \!
  • \Beta(x,y) = \prod_{n=0}^\infty \left( 1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1} \!
  • \Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) = \dfrac{\pi}{x \sin(\pi y)} \!


ដែល \Gamma\, គឺជាអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា (gamma function) ។ សមភាពទី២បង្ហាញករណីពិសេស \Gamma(1/2) = \sqrt \pi ។

[កែប្រែ] ទំនាក់ទំនងរវាងអនុគមន៍បែតា និង អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា

ដើម្បីទាញរកអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍បែតា យើងត្រូវសរសេរផលគុណហ្វាក់តូរ្យែលជា

\Gamma(x)\Gamma(y) = \int_0^\infty\ e^{-u} u^{x-1}\,du \int_0^\infty\ e^{-v} v^{y-1}\,dv \!

តាង u \equiv a^2 និង v \equiv b^2 យើងបាន

\begin{align} \Gamma(x)\Gamma(y) & {} = 4\int_0^\infty\ e^{-a^2} a^{2x-1}\mathrm{d}a \int_0^\infty\ e^{-b^2} b^{2y-1}\,db \\ & {} = \int_{-\infty}^\infty\ \int_{-\infty}^\infty\ e^{-(a^2+b^2)} |a|^{2x-1} |b|^{2y-1} \,da \,db \end{align} \!

បំលែងវាទៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេប៉ូលែរដោយ a = rcosθ និង b = rsinθ:

\begin{align} \Gamma(x)\Gamma(y) & {} = \int_0^{2\pi}\ \int_0^\infty\ e^{-r^2} |r\cos\theta|^{2x-1} |r\sin\theta|^{2y-1} r \, dr \,d\theta \\ & {} = \int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2x+2y-2} r\, dr \int_0^{2\pi}\ |(\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1}| \, d\theta \\ & {} = \frac{1}{2}\int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2(x+y-1)} \, d(r^2) 4\int_0^{\pi/2}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \,d\theta \\ & {} = \Gamma(x+y) 2\int_0^{\pi/2}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \, d\theta \\ & {} = \Gamma(x+y) \Beta(x,y) \end{align}

ហេតុនេះ សរសេរឡើងវិញនូវអាគុយម៉ង់ជាមួយនឹងទំរង់ធម្មតានៃអនុគមន៍បែតា យើងបាន

\Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
\begin{align} \Rightarrow {\Gamma(x)\Gamma(y)} & {} = \int^\infty_0 t^{x-1} e^{-t} dt \int^\infty_0 s^{y-1} e^{-s} \, ds \\ & {} = \int^\infty_{t=0} \int^\infty_{s=0} \ t^{x-1} s^{y-1} e^{-(t{+}s)} \,ds\, dt \end{align}

អាគុយម៉ង់ក្នុងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលជំរុញអោយយើងប្រើវិធីជំនួស

\begin{align} \begin{array}{l} \sigma=s{+}t \\ \tau=t \end{array} \quad \Rightarrow \quad |J|=1 \end{align}

ដែល J ជាយ៉ាកូប៊ីនៃបំលែង។ ដោយប្រើបំលែងនេះយើងទាញបាន

\begin{align} \Gamma(x)\Gamma(y) & =\int^\infty_{\sigma = 0} \int^\sigma_{\tau = 0} \ \tau^{x{-}1} (\sigma{-}\tau)^{y-1} e^{-\sigma} \,d\tau \,d\sigma \\ & {} =\int^\infty_{\sigma = 0} \int^\sigma_{\tau = 0} \ \tau^{x{-}1} \, \sigma^{y{-}1} \, \Big(1{-}\frac{\tau}{\sigma}\Big)^{y{-}1} e^{-\sigma} \,d\tau\,d\sigma \end{align}

ដោយប្រៀបធៀបនឹងអនុគមន៍បែតា \Beta(x,y)\, យើងបាន

r=\displaystyle \frac{\tau}{\sigma}, \ q=\sigma    ដែលយ៉ាកូប៊ី   \ |J|=q

គេទាញបាន

\begin{align} \Gamma(x)\Gamma(y) & = \int^\infty_{q = 0} \int^1_{r = 0} \, q \ (rq)^{x{-}1} \,q^{y{-}1} \, (1{-}r)^{y{-}1} \, e^{-q}\, dr \,dq \\ & = \int^\infty_{q = 0} \int^1_{r = 0} \ r^{x{-}1} \,(1{-}r)^{y{-}1} \, q^{x{+}y{-}1} \, e^{-q} \,dr\, dq \\ & = \int^\infty_0 q^{x{+}y{-}1} \, e^{-q} \, dq \ \int^1_0 r^{x{-}1} (1{-}r)^{y{-}1} \, dr \\ & = \Gamma(x+y) \, \Beta(x, y) \end{align}

[កែប្រែ] ដេរីវេនៃអនុគមន៍បែតា

ដេរីវេនៃអនុមន៍បែតាកំនត់ដោយ

{\partial \over \partial x} \mathrm{B}(x, y) = \mathrm{B}(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \mathrm{B}(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y))

ដែល \ \psi(x) ជាអនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា (digamma function) ។

[កែប្រែ] អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញ

អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញជាអនុគមន៍ទូទៅ​នៃ​អនុគមន៍បែតា​ដែលជំនួសអាំងតេក្រាលកំនត់នៃអនុគមន៍បែតាដោយអាំងតេក្រាលមិនកំនត់។ ករណីនេះ​គឺ​ដូចគ្នា​នឹង​អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាមិនពេញលេញ​ដែរ ដែលវាជាអនុគមន៍ទូទៅនៃអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា។

អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញកំនត់ដោយ

\Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt \!

ចំពោះ x = 1 \, អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញត្រូវគ្នានឹងអនុគមន៍បែតាពេញលេញ (មានន័យថាវាជាអនុគមន៍បែតា) ។

អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញ​ដែលត្រូវបានគេធ្វើអោយទៀងទាត់​ត្រូវបានគេកំនត់ជាអនុគមន៍​នៃ​អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញ និង អនុគមន៍បែតាពេញលេញ។

I_x(a,b) = \dfrac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)} \!

ជាមួយនឹងអាំងតេក្រាល (ដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក) ចំពោះតំលៃជាចំនួនគត់ a និង b គេបាន

I_x(a,b) = \sum_{j=a}^{a+b-1} {(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!} x^j (1-x)^{a+b-1-j}

[កែប្រែ] លក្ខណៈនៃអនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញ

I_0(a,b) = 0 \,
I_1(a,b) = 1 \,
I_x(a,b) = 1 - I_{1-x}(b,a) \,
បានមកវិញពី "http://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%A2%E1%9E%93%E1%9E%BB%E1%9E%82%E1%9E%98%E1%9E%93%E1%9F%8D%E1%9E%94%E1%9F%82%E1%9E%8F%E1%9E%B6"