អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានឹង​អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រធម្មតា។ អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកគ្រឹះសំខាន់ៗរួមមាន​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (តាងដោយ sinh ) កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (តាងដោយ cosh ) និង តង់សង់អ៊ីពែបូលីក (តាងដោយ tanh )។

និយមន័យ

sinh, cosh និង tanh

csch, sech និងcoth

• ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក

$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = -i \sin ix \!$

• កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក

$\cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} = \cos ix \!$

• តង់សង់អ៊ីពែបូលីក

$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} = -i \tan ix \!$

• កូតង់សង់អ៊ីពែបូលីក

$\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix \!$

• សេកង់អ៊ីពែបូលីក

$\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \sec {ix} \!$

• កូសេកង់អ៊ីពែបូលីក

$\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = i\,\csc\,ix \!$

ដែល $i \,$ ជាឯកតានិមិត្មនៃចំនួនកុំផ្លិច ( $i^2=-1 \,$) ។ ទំរង់នៃចំនួនកុំផ្លិចខាងលើទាញចេញពីរូបមន្តអឺលែរ។

• សំគាល់៖ ក្នុងការបំលែងនៅក្នុងកន្សោមផ្សេងៗ $\sinh^2 x \,$ សំដៅលើ $(\sinh x)^2 \,$ មិនមែន $\sinh (\sinh x) \,$ ទេ។

អនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកជាអនុគមន៍លោការីត

• $\sinh ^{-1}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}+1} \right)$

• $\cosh ^{-1}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right);x\ge 1$

• $\tanh ^{-1}x=\frac{1}{2}\ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right);\left| x \right|<1$

• $\operatorname{sech}^{-1}x=\ln \left( \frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x} \right);0<x\le 1$

• $\operatorname{csch}^{-1}x=\ln \left( \frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{\left| x \right|} \right)$

• $\coth ^{-1}x=\frac{1}{2}\ln \left( \frac{x+1}{x-1} \right);\left| x \right|>1$

ទំនាក់ទំនងសំខាន់ៗ

• $\sinh(-x) = -\sinh x\,\!$
• $\cosh(-x) = \cosh x\,\!$
• $\tanh(-x) = -\tanh x\,\!$
• $\coth(-x) = -\coth x\,\!$
• $\operatorname{sech}(-x) = \operatorname{sech}\, x\,\!$
• $\operatorname{csch}(-x) = -\operatorname{csch}\, x\,\!$

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក

$\frac{d}{dx}\sinh(x) = \cosh(x) \,$

$\frac{d}{dx}\cosh(x) = \sinh(x) \,$

$\frac{d}{dx}\tanh(x) = 1 - \tanh^2(x) = \hbox{sech}^2(x) = \frac{1} {\cosh^2(x)} \,$

$\frac{d}{dx}\coth(x) = 1 - \coth^2(x) = -\hbox{csch}^2(x) = \frac{-1} {\sinh^2(x)} \,$

$\frac{d}{dx}\ \hbox{csch(x)} = - \coth(x)\ \hbox{csch(x)}\,$

$\frac{d}{dx}\ \hbox{sech(x)} = - \tanh(x)\ \hbox{sech(x)}\,$

$\frac{d}{dx}\left( \sinh ^{-1}u \right)=\frac{1}{\sqrt{1+u^{2}}}\cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{d}{dx}\left( \cosh ^{-1}u \right)=\frac{1}{\sqrt{u^{2}-1}}\cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{d}{dx}\left( \tanh ^{-1}u \right)=\frac{1}{1-u^{2}}\cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{d}{dx}\left( \operatorname{csch}^{-1}u \right)=\frac{1}{\left| u \right|\sqrt{1+u^{2}}}\cdot -\frac{du}{dx}$

$\frac{d}{dx}\left( \operatorname{sech}^{-1}u \right)=\frac{1}{u\sqrt{1-u^{2}}}\cdot -\frac{du}{dx}$

$\frac{d}{dx}\left( \coth ^{-1}u \right)=\frac{1}{1-u^{2}}\cdot \frac{du}{dx}$

អាំងតេក្រាលស្តង់ដារនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក

សំរាប់តារាងពេញលេញនៃអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក សូមមើលតារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក។

$\int\sinh ax\,dx = \frac{1}{a}\cosh ax + C$

$\int\cosh ax\,dx = \frac{1}{a}\sinh ax + C$

$\int \tanh ax\,dx = \frac{1}{a}\ln|\cosh ax| + C$

$\int \coth ax\,dx = \frac{1}{a}\ln|\sinh ax| + C$

$\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C$

$\int{\frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C$

$\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=\frac{1}{a}\tanh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}<a^{2}$

$\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=\frac{1}{a}\coth ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}>a^{2}$

$\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=-\frac{1}{a}\operatorname{sech}^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+c$

$\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=-\frac{1}{a}\operatorname{csch}^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+c$

ក្នុងកន្សោមខាងលើ C ត្រូវបានគេហៅថា ថេរអាំងតេក្រាល។

កន្សោមស៊េរីតាយល័រ

អនុគមន៍ខាងលើគ៏អាចសំដែងជាសេរីតាយល័រផងដែរ។

$\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

$\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}$

$\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi$ (សេរីឡូរង់)

$\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2}$

$\operatorname {csch}\, x = \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi$ (សេរីឡូរង់ Laurent series)

ដែល

$B_n \,$ គឺជាចំនួនប៊ែរនូយីទី $n\!$

$E_n \,$ គឺជាចំនួនអឺលែរទី $n\!$

លក្ខណៈដូចគ្នានឹងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

$\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \,$

$\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \,$

$\tanh(x+y) = \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x \tanh y} \,$

រូបមន្តមុំឌុប

$\sinh 2x\ = 2\sinh x \cosh x \,$

$\cosh 2x\ = \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1 = 2\sinh^2 x + 1 \,$

រូបមន្តកន្លះមុំ

$\cosh^2\frac{x}{2} = \frac{\cosh x + 1}{2}$

$\sinh^2\frac{x}{2} = \frac{\cosh x - 1}{2}$

$\tanh ^{2}x=1-\operatorname{sech}^{2}x$

$\coth ^{2}x=1+\operatorname{csch}^{2}x$

ដេរីវេនៃ $\sinh x \,$ គឺ $\cosh x \,$ និង ដេរីវេនៃ $\cosh x \,$ គឺ $\sinh x \,$ ។

ទំនាក់ទំនងរវាងអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកនិងអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ទាញចេញពីនិយមន័យនៃស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក និង កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក យើងបានលក្ខណៈដូចខាងក្រោម៖

$e^x = \cosh x + \sinh x\!$

និង

$e^{-x} = \cosh x - \sinh x.\!$

ដោយផ្អែកលើរូបមន្តអឺលែរ កន្សោមទាំងនេះមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានិងកន្សោមស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ដែលវាជាផលបូកនៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលកុំផ្លិច។

អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកចំពោះចំនួនកុំផ្លិច

ទំនាក់ទំនងចំពោះ​អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រធម្មតា​គឺត្រូវបានអោយដោយរូបមន្តអឺលែរចំពោះចំនួនកុំផ្លិច៖

$e^{i x} = \cos x + i \;\sin x$

$e^{-i x} = \cos x - i \;\sin x$

ដូច្នេះ

$\cosh ix = \frac{e^{i x} + e^{-i x}}{2} = \cos x$

$\sinh ix = \frac{e^{i x} - e^{-i x}}{2} = i \sin x$

$\tanh ix = i \tan x \,$

$\cosh x = \cos ix \,$

$\sinh x = -i \sin ix \,$

$\tanh x = -i \tan ix \,$

អនុគមន៍អ៊ីពែលីកក្នុងប្លង់កុំផ្លិច

$\operatorname{sinh}(z)$	$\operatorname{cosh}(z)$	$\operatorname{tanh}(z)$	$\operatorname{coth}(z)$	$\operatorname{sech}(z)$	$\operatorname{csch}(z)$

សូមមើលផងដែរ

• អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកច្រាស់
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក