ច្បាប់ហ៊ូក

រ៉ឺសរ​មួយ​ក្រោយ​ទាញ​ចុះ​ក្រោម​ប្រវែង x ។ កំលាំង F ប្រឹង​ទាញ​រ៉ឺសរ​អោយ​ទៅ​ទីតាំង​ដើម​វិញ

ក្នុងមេកានិច, និង រូបវិទ្យា, ច្បាប់ហ៊ូក នៃ អេឡាស្ទីស៊ីតេ ជា​ការ​ប្រហែល​មួយ​ដែល​ចែង​ថា សាច់លូត​របស់​រ៉ឺសរ​មួយ​សមាមាត្រ​នឹង​បន្ទុក​ដែល​មាន​អំពើលើវា អោយ​តែ​បន្ទុក​នោះ​មិន​មាន​តំលៃ​លើសពីលីមីតអេឡាស្ទិចទេ។ សម្ភារៈ​ដែល​អាច​ប្រើ​ច្បាប់​ហ៊ូក​បាន គេ​ហៅថា សម្ភារៈលីនេអ៊ែរអេឡាស្ទិច រឺ សម្ភារៈ​ហ៊ូក។ ឃ្លា​សាមញ្ញ​របស់​ច្បាប់​ហ៊ូក​បាន​ចែងថា ដេហ្វម៉ាស្យុងសមាមាត្រជាមួយកុងត្រាំង។ តាមបែបគណិតវិទ្យា ច្បាប់ហ៊ូកចែងថា

$\ F=-kx,$

ដែល

$\ x$ ជាបំលាស់ទី របស់ចុងរ៉ឺសរចេញពីទីតាំងលំនឹងរបស់វា (គិតជា "m" ក្នុងប្រព័ន្ធឯកតា SI);

$\ F$ ជាកំលាំងដែលមានអំពើលើរ៉ឺសរ (គិតជា "N" ក្នុងប្រព័ន្ធឯកតា SI); និង

$\ k$ ជាថេររ៉ឺសរ (គិតជា " N•m^-1" ក្នុងប្រព័ន្ធឯកតា SI).

សញ្ញាដក ក្នុងរូបមន្តខាងលើ មានន័យថា កំលាំងមានទិសដៅផ្ទុយពីបំលាស់ទី៖ បើយើងទាញទៅខាងឆ្វេង រ៉ឺសរ​ទាញ​មក​ខាង​ស្ដាំវិញ។ នៅ​ពេល​ដែល​ទំនាក់ទំនង​រវាង​កំលាំង​និង​បំលាស់ទី គោរព​តាម​ច្បាប់​ហ៊ូក គេនិយាយថា រ៉ឺសរ​មាន​លក្ខណៈ​លីនេអ៊ែរ។ ច្បាប់ហ៊ូកត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាម រ៉ូប៊ែរ ហ៊ូក ដែល​ជា​រូបវិទូ​អង់គ្លេស​ក្នុង​សតវត្សរ៍​ទី​១៧។

អេឡាស្ទិច

របារ​មាន​មុខ​កាត់ A រង​កំលាំង F

វត្ថុមួយមានលក្ខណៈអេឡាស្ទិចបើវាត្រលប់ទៅជាមានរូបរាងដូចដើមវិញភ្លាមៗក្រោយពីខូចទ្រង់ទ្រាយដោយសារកំលាំងមក ដោយ​ម៉ូលេគុល​រឺ​អាតូម​របស់​សម្ភារៈ​ត្រលប់​ទៅ​សភាព​ដើម​ដែល​ជា​សភាព​មាន​លំនឹង​ស្តាប។ បើបន្ទាប់ពីដកកំលាំងចេញ វត្ថុ​នៅ​សល់​ដេហ្វម៉ាស្យុង​ខ្លះ នោះយើងនិយាយថា វត្ថុនោះមានលក្ខណៈប្លាស្ទិច។

យើងពិនិត្យ​របារ​មួយ ដែល​សម្ភារៈ​របស់​វា​អាចចាត់ទុកថាមាន​លក្ខណៈ​អេឡាស្ទិច ដូច្នេះ​របារ​នេះ​ប្រៀប​បាន​ជា​រ៉ឺសរលីនេអ៊ែរមួយ​ដែរ។ របារ​មានប្រវែង $\ L$ មានមុខកាត់ $\ A$ ។ យើង​ចាប់​​ទាញ​របារ​នេះ​ដោយ​កំលាំង $\ F$ ។ តាម​ច្បាប់​ហ៊ូក បំលាស់​ទី $\ u$ សមាមាត្រនឹងកំលាំង $\ F$ ដូច្នេះ

$\ F=ku$

យើងមាន

កុងត្រាំង $\sigma ={\frac {F}{A}}\implies F=\sigma A$

ដេហ្វម៉ាស្យុង $\epsilon ={\frac {u}{L}}\implies u=\epsilon L$

ដូច្នេះ

$F=ku\implies \sigma A=k\epsilon L$

$\implies \sigma ={\frac {kL}{A}}\epsilon =E\epsilon$

ដែល $\textstyle E$ មាន​ឈ្មោះ​ថា ម៉ូឌុល​យ៉ាំង។

ច្បាប់ហ៊ូកផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះសម្ភារៈខ្លះក្រោមលក្ខខណ្ឌបន្ទុកខ្លះតែប៉ុណ្ណោះ។ ដែក មាន​លក្ខណៈ​លីនេអ៊ែរ​អេឡាស្ទិច​នៅ​ក្នុង​ការ​អនុវត្ត​ជាក់ស្ដែង​ក្នុង​វិស័យ​វិស្វកម្ម​ភាគ​ច្រើន ; ច្បាប់​ហ៊ូក​មាន​តំលៃ​ត្រឹមត្រូវ​តែ​នៅ​ក្នុង​ដែន​អេឡាស្ទិច​តែ​ប៉ុណ្ណោះ (ឧទាហរណ៍​ចំពោះ​កុងត្រាំង​តូច​ជាង លីមីតអេឡាស្ទិច)។ សម្ភារៈ​ខ្លះ​ទៀត ដូចជា អាលុយមីញ៉ូម, ច្បាប់​ហ៊ូក​ផ្ទៀងផ្ទាត់​បាន​តែ​នៅ​លើ​ផ្នែក​ណា​មួយ​នៃ​ដែន​អេឡាស្ទិចតែប៉ុណ្ណោះ។ ចំពោះសម្ភារៈបែបនេះ គេ​កំនត់​តំលៃ​កុងត្រាំង​លីមីត​មួយ​ដែល​នៅ​ពេល​កុងត្រាំង​ឋិត​នៅ​ក្រោម​តំលៃ​លីមីតនេះ គេ​អាច​សន្មត​ថា​កុងត្រាំង​សមាមាត្រ​នឹងដេហ្វម៉ាស្យុងបាន ដោយ​មិន​សូវ​ល្អៀងខ្លាំង ដែល​លីមីត​នោះ​គេ​ហៅ​ថា កុងត្រាំងលីមីតសមាមាត្រ។ កៅស៊ូ ត្រូវបានចាត់ទុកជាទូទៅថាមិនមែនជាប្រភេទសម្ភារៈហ៊ូកព្រោះអេឡាស្ទីស៊ីតេរបស់វាអាស្រ័យនឹងកុងត្រាំងនិងប្រែប្រួលខ្លាំងទៅតាមសីតុណ្ហភាពនិងអត្រាកំនើនបន្ទុក។ ការ​អនុវត្តច្បាប់ហ៊ូកមាននៅក្នុងម៉ាស៊ីនថ្លឹងប្រើរ៉ឺសរ ការ​វិភាគ​កុងត្រាំង​និង​ការ​ធ្វើ​ម៉ូដែល​សម្ភារៈ។

កន្សោម​តង់ស៊័រ​នៃ​ច្បាប់​ហ៊ូក

នៅ​ពេលធ្វើ​ការ​ក្នុង​សភាព​កុងត្រាំង 3D, គេ​ត្រូវ​តែ​កំណត់​តង់ស៊័រ​លំដាប់​ទី៤ ${\mathsf {c}}$ ($c_{ijk\ell }$) ដែល​មាន​កុំប៉ូសង់​ចំនួន​៨១ ដែល​ជា​មេគុណ​អេឡាស្ទិច, ដើម្បី​ភ្ជាប់​ទំនាក់ទំនង​រវាង​កុងត្រាំង​ ${\boldsymbol {\sigma }}$ (σ_ij) និង ដេហ្វរម៉ាស្យុង ${\boldsymbol {\epsilon }}$ ($\epsilon _{k\ell }$)។

${\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\epsilon }}~.$

ដោយ​សរសេរ​ ជា​អនុគមន៍​នៃ​កុំប៉ូសង់​ក្នុង​តម្រុយ​កែង, ទម្រង់​ទូទៅ​នៃ​ច្បាប់​ហ៊ូក អាច​សរសេរ​ជា (ដោយ​ប្រើ​ទម្រង់​បូក​សន្មត​របស់​អាញស្តាញ)

$\sigma _{ij}=c_{ijk\ell }~\epsilon _{k\ell }$

តង់ស៊័រ ${\mathsf {c}}$ មាន​ឈ្មោះ​ថា តង់ស៊័រ​ stiffness ឬ តង់ស៊័រ​អេឡាស្ទីស៊ីតេ។ ដោយ​សារ​ភាព​ស៊ីមេទ្រី នៃ​តង់ស៊័រ​កុងត្រាំង, តង់ស៊័រ​ដេហ្វរម៉ាស្យុង និង តង់ស៊័រ stiffness, នោះ គេ​មាន​មេគុណ​អេឡាស្ទិចឯករាជ្យ​ចំនួន​តែ ២១ តែ​ប៉ុណ្ណោះ។ ខ្នាត​របស់​កុងត្រាំង​ដូច​ខ្នាត​របស់​សម្ពាធ, ដេហ្វរម៉ាស្យុង​គ្មាន​ខ្នាត ដូច្នេះ មេគុណ $c_{ijk\ell }$ មាន​ខ្នាត​ដូច​សម្ពាធ​ដែរ​។

កន្សោម​ទូទៅ​នៃ​ច្បាប់​ហ៊ូក អាច​បញ្ច្រាស​ទាញ​រក​ដេហ្វរម៉ាស្យុង​ជា​អនុគមន៍​នៃ​កុងត្រាំង​បាន និង កំណត់​ដោយ ៖

${\boldsymbol {\epsilon }}={\mathsf {s}}:{\boldsymbol {\sigma }}\qquad {\rm {or}}\qquad \epsilon _{ij}=s_{ijk\ell }~\sigma _{k\ell }~.$

តង់ស៊័រ ${\mathsf {s}}$ ហៅថា compliance tensor។

សម្ភារៈ​អ៊ីសូត្រូប

សម្ភារៈ​អ៊ីសូត្រូប​មាន​លក្ខណៈ​ពិសេស​ត្រង់​មិន​អាស្រ័យ​នឹង​ទិសក្នុង​លំហ។ ដូច្នេះ​ សមីការ​រូប​សម្រាប់​សម្ភារៈ​អ៊ីសូត្រូប ក៏​ត្រូវ​តែ​មិន​អាស្រ័យ​នឹង​ប្រព័ន្ធ​អ័ក្ស​ ដែរ។ តង់ស៊័រ​ដេហ្វរម៉ាស្យុង​មាន​ភាព​ស៊ីមេទ្រី។ ដោយ Trace របស់​គ្រប់​តង់ស៊័រ​​ទាំង​អស់​មិន​អាស្រ័យ​នឹង​ប្រព័ន្ធ​តម្រុយ ដូច្នេះ​ការ​សរសេរ​តង់ស៊័រ​ស៊ីមេទ្រី​មួយ​ដែល​មិន​អាស្រ័យ​នឹង​ប្រព័ន្ធ​អ័ក្ស​ គេ​គួរ​តែ​សរសេរ​ជា​អនុគមន៍​នៃ​ផលបូក​នៃ​តង់ស៊័រ​ថេរ និង តង់ស៊័រ​មាន​ Trace ស្មើ​សូន្យ។ ដូច្នេះ៖

$\varepsilon _{ij}=\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)$

ដែល $\delta _{ij}$ ជា​ សញ្ញា​ Kronecker។

តួ​ទី​មួយ​នៃ​អង្គ​ខាង​ស្ដាំ ជា​តង់ស៊័រ​ថេរ ដែល​គេ​ហៅ​ថា តង់ស៊័រ​ដេហ្វរម៉ាស្យុង​មាឌ និង តួ​ទី​ពីរ ជា​តង់ស៊័រ​ស៊ីមេទ្រី​ មាន​ Trace ស្មើ​សូន្យ ដែល​គេ​ហៅ​ថា តង់ស៊័រ​ដេហ្វរម៉ាស្យុង​លំងាក ឬ តង់ស៊័រ​កាត់​។

ទម្រង់​ទូទៅ​នៃ​ច្បាប់​ហ៊ូក សម្រាប់​សម្ភារៈ​អ៊ីសូត្រូប ជា​បន្សំ​លីនេអ៊ែរ​នៃ​តង់ស៊័រ​ទាំង​ពីរ ៖

$\sigma _{ij}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)$

ដែល K ជា​ ម៉ូឌុល​ bulk និង G ជា​ ម៉ូឌុល​កាត់​ ។ ទម្រង់​នេះ​អាច​សម្រួល​មក​ជា ៖

$\sigma _{ij}={\frac {E}{1+\nu }}\left(\varepsilon _{ij}+{\frac {\nu }{1-2\nu }}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)$

ដែល៖

- $\sigma _{ij}$ = កុងត្រាំង

- $E\$ = ម៉ូឌុលយ៉ាំង (Young)

- $\nu$ = មេគុណ Poisson

ទំរង់បញ្ចេញរបស់ច្បាប់នេះគឺៈ

${\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\tfrac {1}{E}}\left[\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33})\right]\\\varepsilon _{22}&={\tfrac {1}{E}}\left[\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33})\right]\\\varepsilon _{33}&={\tfrac {1}{E}}\left[\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22})\right]\\\varepsilon _{12}&={\tfrac {1}{2G}}~\sigma _{12}~;~~\varepsilon _{13}={\tfrac {1}{2G}}~\sigma _{13}~;~~\varepsilon _{23}={\tfrac {1}{2G}}~\sigma _{23}\end{aligned}}$

ក្រោម​ទម្រង់​ម៉ាទ្រីស ច្បាប់​ហ៊ូក​សម្រាប់​សម្ភារៈ​អ៊ីសូត្រូប​អាច​សរសេរ​ជា ៖

${\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{31}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\gamma _{23}\\\gamma _{31}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &-\nu &0&0&0\\-\nu &1&-\nu &0&0&0\\-\nu &-\nu &1&0&0&0\\0&0&0&2(1+\nu )&0&0\\0&0&0&0&2(1+\nu )&0\\0&0&0&0&0&2(1+\nu )\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}$

ដែល $\gamma _{ij}:=2\varepsilon _{ij}$ ជា​ ដេហ្វរម៉ាស្យុង​កាត់​វិស្វកម្ម។ ទម្រង់​ច្រាស​អាច​សរសេរ​ជា

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&(1-2\nu )/2&0&0\\0&0&0&0&(1-2\nu )/2&0\\0&0&0&0&0&(1-2\nu )/2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{31}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$

ដោយ​ប្រើ​ថេរ ឡាមេ (Lamé) $\lambda =K-2/3G$ និង $\mu =G$ , ទម្រង់​នេះ​អាច​សម្រួល​ទៅ​ជា

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &2\mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{31}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$

ច្បាប់​ហ៊ូក​សម្រាប់​សភាព​ប្លង់​នៃ​កុងត្រាំង​

ក្នុង​លក្ខខណ្ឌ​សភាព​ប្លង់​នៃ​កុងត្រាំង យើង​មាន $\sigma _{33}=\sigma _{31}=\sigma _{13}=\sigma _{32}=\sigma _{23}=0$។ ក្នុង​ករណី​នេះ ច្បាប់​ហ៊ូក​ មាន​រាង

${\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &0\\-\nu &1&0\\0&0&2(1+\nu )\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}$

ទម្រង់​ច្រាស​ អាច​សរសេរ​ជា

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\cfrac {1-\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$

សម្ភារៈ​អានីសូត្រូប

ដោយ​សារ​ភាព​ស៊ីមេទ្រី នៃ​កុងត្រាំង​កូស៊ី ($\sigma _{ij}=\sigma _{ji}\,$) និង​ទម្រង់​ទូទៅ​នៃ​ច្បាប់​ហ៊ូក ($\sigma _{ij}=c_{ijk\ell }~\epsilon _{k\ell }$) យើង​ទាញ​បាន​ថា $c_{ijk\ell }=c_{jik\ell }\,$។ ដូចគ្នា ភាព​ស៊ីមេទ្រី​នៃ តង់ស៊័រ​ដេហ្វរម៉ាស្យុង​អតិសុខុម នាំ​ឱ្យ $c_{ijk\ell }=c_{ij\ell k}\,$។ ភាព​ស៊ីមេទ្រី​ទាំង​នេះ មាន​ឈ្មោះ​ថា ស៊ីមេទ្រី​តូច នៃ​ តង់ស៊័រ​ stiffness (${\mathsf {c}}$) ។

ជាង​នេះ​ទៅ​ទៀត ដោយ​សារ​ក្រាដ្យង់បំលាស់ទី និង កុងត្រាំង​កូស៊ី ជា​កម្មន្តឆ្លាស់ នោះ​ទំនាក់ទំនង​កុងត្រាំង​ដេហ្វរម៉ាស្យុង អាច​កំណត់​ចេញ​ពី​អនុគមន៍​ដង់ស៊ីតេ​ដេហ្វរម៉ាស្យុង ($U$), ដូច្នេះ

$\sigma _{ij}={\cfrac {\partial U}{\partial \epsilon _{ij}}}\quad \implies \quad c_{ijk\ell }={\cfrac {\partial ^{2}U}{\partial \epsilon _{ij}\partial \epsilon _{k\ell }}}~.$

ដោយ​សារ​លំដាប់លំដោយ​នៃ​ការ​ដេរីវេ​​គ្មាន​ភាព​​សំខាន់ នោះ $c_{ijk\ell }=c_{k\ell ij}\,$។ លក្ខណៈ​នេះ​ហៅ​ថា ស៊ីមេទ្រី​ធំ នៃ​តង់ស៊័រ stiffness tensor ។ ស៊ីមេទ្រី​ធំ និង ស៊ីមេទ្រី​តូច បង្ហាញ​ថា ម៉ាទ្រីស stiffness មាន​កុំប៉ូសង់​ដាច់​គ្នា​ ចំនួន​តែ​ ២១ តែ​ប៉ុណ្ណោះ។

ទម្រង់​ម៉ាទ្រីស នៃ​តង់ស៊័រ Stiffness

ជាទូទៅ គេតែង​​តែ​សរសេរ​ទម្រង់​អានីសូត្រូប​នៃ​ច្បាប់​ហ៊ូក ក្រោម​ទម្រង់​ម៉ាទ្រីស ដែល​គេ​ហៅ​ថា ទម្រង់ Voigt ។ ដើម្បី​សរសេរ​ជា​ទម្រង់​ម៉ាទ្រីស គេទាញ​យក​ប្រយោជន៍ពី​ភាព​ស៊ីមេទ្រី​របស់​តង់ស៊័រ​កុងត្រាំង និង ដេហ្វរម៉ាស្យុង ហើយ​សរសេរ​ពួក​វា​ជា​វ៉ិចទ័រ​មាន​ ៦ កុំប៉ូសង់​ ក្នុង​ប្រព័ន្ធ​តម្រុយ​កែង($\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$) ជា

$[{\boldsymbol {\sigma }}]={\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}~;~~[{\boldsymbol {\epsilon }}]={\begin{bmatrix}\epsilon _{11}\\\epsilon _{22}\\\epsilon _{33}\\2\epsilon _{23}\\2\epsilon _{31}\\2\epsilon _{12}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\epsilon _{1}\\\epsilon _{2}\\\epsilon _{3}\\\epsilon _{4}\\\epsilon _{5}\\\epsilon _{6}\end{bmatrix}}$

ដូច្នេះ តង់ស៊័រ​ stiffness (${\mathsf {c}}$) អាច​សរសេរ​ជា

$[{\mathsf {C}}]={\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}$

និង​ច្បាប់ហ៊ូក សរសេរ​ជា

$[{\boldsymbol {\sigma }}]=[{\mathsf {C}}][{\boldsymbol {\epsilon }}]$

ឬ

$\qquad \sigma _{i}=C_{ij}\epsilon _{j}$

ស្រដៀង​គ្នា​ដែរ តង់ស៊័រ compliance (${\mathsf {s}}$) អាច​សរសេរ​ជា

$[{\mathsf {S}}]={\begin{bmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1131}&2s_{1112}\\s_{2211}&s_{2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2231}&2s_{2212}\\s_{3311}&s_{3322}&s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3331}&2s_{3312}\\2s_{2311}&2s_{2322}&2s_{2333}&4s_{2323}&4s_{2331}&4s_{2312}\\2s_{3111}&2s_{3122}&2s_{3133}&4s_{3123}&4s_{3131}&4s_{3112}\\2s_{1211}&2s_{1222}&2s_{1233}&4s_{1223}&4s_{1231}&4s_{1212}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}&S_{15}&S_{16}\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&S_{24}&S_{25}&S_{26}\\S_{13}&S_{23}&S_{33}&S_{34}&S_{35}&S_{36}\\S_{14}&S_{24}&S_{34}&S_{44}&S_{45}&S_{46}\\S_{15}&S_{25}&S_{35}&S_{45}&S_{55}&S_{56}\\S_{16}&S_{26}&S_{36}&S_{46}&S_{56}&S_{66}\end{bmatrix}}$