រ៉ឺសរមួយក្រោយទាញចុះក្រោមប្រវែង x ។ កំលាំង F ប្រឹងទាញរ៉ឺសរអោយទៅទីតាំងដើមវិញ
ក្នុងមេកានិច, និង រូបវិទ្យា, ច្បាប់ហ៊ូក នៃ អេឡាស្ទីស៊ីតេ ជាការប្រហែលមួយដែលចែងថា សាច់លូតរបស់រ៉ឺសរមួយសមាមាត្រនឹងបន្ទុកដែលមានអំពើលើវា អោយតែបន្ទុកនោះមិនមានតំលៃលើសពីលីមីតអេឡាស្ទិចទេ។ សម្ភារៈដែលអាចប្រើច្បាប់ហ៊ូកបាន គេហៅថា សម្ភារៈលីនេអ៊ែរអេឡាស្ទិច រឺ សម្ភារៈហ៊ូក។ ឃ្លាសាមញ្ញរបស់ច្បាប់ហ៊ូកបានចែងថា ដេហ្វម៉ាស្យុងសមាមាត្រជាមួយកុងត្រាំង។
តាមបែបគណិតវិទ្យា ច្បាប់ហ៊ូកចែងថា
![{\displaystyle \ F=-kx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b349e8c143f9f73077e145d72845bc4776fc24d)
ដែល
ជាបំលាស់ទី របស់ចុងរ៉ឺសរចេញពីទីតាំងលំនឹងរបស់វា (គិតជា "m" ក្នុងប្រព័ន្ធឯកតា SI);
ជាកំលាំងដែលមានអំពើលើរ៉ឺសរ (គិតជា "N" ក្នុងប្រព័ន្ធឯកតា SI); និង
ជាថេររ៉ឺសរ (គិតជា " N•m-1" ក្នុងប្រព័ន្ធឯកតា SI).
សញ្ញាដក ក្នុងរូបមន្តខាងលើ មានន័យថា កំលាំងមានទិសដៅផ្ទុយពីបំលាស់ទី៖ បើយើងទាញទៅខាងឆ្វេង រ៉ឺសរទាញមកខាងស្ដាំវិញ។ នៅពេលដែលទំនាក់ទំនងរវាងកំលាំងនិងបំលាស់ទី គោរពតាមច្បាប់ហ៊ូក គេនិយាយថា រ៉ឺសរមានលក្ខណៈលីនេអ៊ែរ។
ច្បាប់ហ៊ូកត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាម រ៉ូប៊ែរ ហ៊ូក ដែលជារូបវិទូអង់គ្លេសក្នុងសតវត្សរ៍ទី១៧។
របារមានមុខកាត់ A រងកំលាំង F
វត្ថុមួយមានលក្ខណៈអេឡាស្ទិចបើវាត្រលប់ទៅជាមានរូបរាងដូចដើមវិញភ្លាមៗក្រោយពីខូចទ្រង់ទ្រាយដោយសារកំលាំងមក ដោយម៉ូលេគុលរឺអាតូមរបស់សម្ភារៈត្រលប់ទៅសភាពដើមដែលជាសភាពមានលំនឹងស្តាប។ បើបន្ទាប់ពីដកកំលាំងចេញ វត្ថុនៅសល់ដេហ្វម៉ាស្យុងខ្លះ នោះយើងនិយាយថា វត្ថុនោះមានលក្ខណៈប្លាស្ទិច។
យើងពិនិត្យរបារមួយ ដែលសម្ភារៈរបស់វាអាចចាត់ទុកថាមានលក្ខណៈអេឡាស្ទិច ដូច្នេះរបារនេះប្រៀបបានជារ៉ឺសរលីនេអ៊ែរមួយដែរ។ របារមានប្រវែង
មានមុខកាត់
។ យើងចាប់ទាញរបារនេះដោយកំលាំង
។ តាមច្បាប់ហ៊ូក បំលាស់ទី
សមាមាត្រនឹងកំលាំង
ដូច្នេះ
![{\displaystyle \ F=ku}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5ccf9b37d513a278f40cf41c0b0ad92dc8f879e)
យើងមាន
- កុងត្រាំង
![{\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}\implies F=\sigma A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5df896939293bda5c1bc9743a72afc16b8c2879c)
- ដេហ្វម៉ាស្យុង
![{\displaystyle \epsilon ={\frac {u}{L}}\implies u=\epsilon L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b641c3dc179d161e866cf9b04a0658dd15864143)
ដូច្នេះ
![{\displaystyle F=ku\implies \sigma A=k\epsilon L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aa05972a591a10e798603fb5ea8ccd8894a241e)
![{\displaystyle \implies \sigma ={\frac {kL}{A}}\epsilon =E\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc2da482ec72ed4973a0ec32cfd48e8bcb8db6bc)
ដែល
មានឈ្មោះថា ម៉ូឌុលយ៉ាំង។
ច្បាប់ហ៊ូកផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះសម្ភារៈខ្លះក្រោមលក្ខខណ្ឌបន្ទុកខ្លះតែប៉ុណ្ណោះ។ ដែក មានលក្ខណៈលីនេអ៊ែរអេឡាស្ទិចនៅក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្ដែងក្នុងវិស័យវិស្វកម្មភាគច្រើន ; ច្បាប់ហ៊ូកមានតំលៃត្រឹមត្រូវតែនៅក្នុងដែនអេឡាស្ទិចតែប៉ុណ្ណោះ (ឧទាហរណ៍ចំពោះកុងត្រាំងតូចជាង លីមីតអេឡាស្ទិច)។ សម្ភារៈខ្លះទៀត ដូចជា អាលុយមីញ៉ូម, ច្បាប់ហ៊ូកផ្ទៀងផ្ទាត់បានតែនៅលើផ្នែកណាមួយនៃដែនអេឡាស្ទិចតែប៉ុណ្ណោះ។ ចំពោះសម្ភារៈបែបនេះ គេកំនត់តំលៃកុងត្រាំងលីមីតមួយដែលនៅពេលកុងត្រាំងឋិតនៅក្រោមតំលៃលីមីតនេះ គេអាចសន្មតថាកុងត្រាំងសមាមាត្រនឹងដេហ្វម៉ាស្យុងបាន ដោយមិនសូវល្អៀងខ្លាំង ដែលលីមីតនោះគេហៅថា កុងត្រាំងលីមីតសមាមាត្រ។
កៅស៊ូ ត្រូវបានចាត់ទុកជាទូទៅថាមិនមែនជាប្រភេទសម្ភារៈហ៊ូកព្រោះអេឡាស្ទីស៊ីតេរបស់វាអាស្រ័យនឹងកុងត្រាំងនិងប្រែប្រួលខ្លាំងទៅតាមសីតុណ្ហភាពនិងអត្រាកំនើនបន្ទុក។
ការអនុវត្តច្បាប់ហ៊ូកមាននៅក្នុងម៉ាស៊ីនថ្លឹងប្រើរ៉ឺសរ ការវិភាគកុងត្រាំងនិងការធ្វើម៉ូដែលសម្ភារៈ។
កន្សោមតង់ស៊័រនៃច្បាប់ហ៊ូក
[កែប្រែ]
នៅពេលធ្វើការក្នុងសភាពកុងត្រាំង 3D, គេត្រូវតែកំណត់តង់ស៊័រលំដាប់ទី៤
(
) ដែលមានកុំប៉ូសង់ចំនួន៨១ ដែលជាមេគុណអេឡាស្ទិច, ដើម្បីភ្ជាប់ទំនាក់ទំនងរវាងកុងត្រាំង
(σij) និង ដេហ្វរម៉ាស្យុង
(
)។
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\epsilon }}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c0550fff16a81b97959c67f298b0a3a8bc4b42e)
ដោយសរសេរ ជាអនុគមន៍នៃកុំប៉ូសង់ក្នុងតម្រុយកែង, ទម្រង់ទូទៅនៃច្បាប់ហ៊ូក អាចសរសេរជា (ដោយប្រើទម្រង់បូកសន្មតរបស់អាញស្តាញ)
![{\displaystyle \sigma _{ij}=c_{ijk\ell }~\epsilon _{k\ell }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe7effe99bfc32f3833f5274bb9147002e44152)
តង់ស៊័រ
មានឈ្មោះថា តង់ស៊័រ stiffness ឬ តង់ស៊័រអេឡាស្ទីស៊ីតេ។ ដោយសារភាពស៊ីមេទ្រី នៃតង់ស៊័រកុងត្រាំង, តង់ស៊័រដេហ្វរម៉ាស្យុង និង តង់ស៊័រ stiffness, នោះ គេមានមេគុណអេឡាស្ទិចឯករាជ្យចំនួនតែ ២១ តែប៉ុណ្ណោះ។ ខ្នាតរបស់កុងត្រាំងដូចខ្នាតរបស់សម្ពាធ, ដេហ្វរម៉ាស្យុងគ្មានខ្នាត ដូច្នេះ មេគុណ
មានខ្នាតដូចសម្ពាធដែរ។
កន្សោមទូទៅនៃច្បាប់ហ៊ូក អាចបញ្ច្រាសទាញរកដេហ្វរម៉ាស្យុងជាអនុគមន៍នៃកុងត្រាំងបាន និង កំណត់ដោយ ៖
![{\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}={\mathsf {s}}:{\boldsymbol {\sigma }}\qquad {\rm {or}}\qquad \epsilon _{ij}=s_{ijk\ell }~\sigma _{k\ell }~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4236d10a9dac901b7632dbe6c0d43d62507466e4)
តង់ស៊័រ
ហៅថា compliance tensor។
សម្ភារៈអ៊ីសូត្រូបមានលក្ខណៈពិសេសត្រង់មិនអាស្រ័យនឹងទិសក្នុងលំហ។ ដូច្នេះ សមីការរូបសម្រាប់សម្ភារៈអ៊ីសូត្រូប ក៏ត្រូវតែមិនអាស្រ័យនឹងប្រព័ន្ធអ័ក្ស ដែរ។ តង់ស៊័រដេហ្វរម៉ាស្យុងមានភាពស៊ីមេទ្រី។ ដោយ Trace របស់គ្រប់តង់ស៊័រទាំងអស់មិនអាស្រ័យនឹងប្រព័ន្ធតម្រុយ ដូច្នេះការសរសេរតង់ស៊័រស៊ីមេទ្រីមួយដែលមិនអាស្រ័យនឹងប្រព័ន្ធអ័ក្ស គេគួរតែសរសេរជាអនុគមន៍នៃផលបូកនៃតង់ស៊័រថេរ និង តង់ស៊័រមាន Trace ស្មើសូន្យ។[១] ដូច្នេះ៖
![{\displaystyle \varepsilon _{ij}=\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fea2ce3c2eca8e47b46f9c6b462720872e95bb71)
ដែល
ជា សញ្ញា Kronecker។
តួទីមួយនៃអង្គខាងស្ដាំ ជាតង់ស៊័រថេរ ដែលគេហៅថា តង់ស៊័រដេហ្វរម៉ាស្យុងមាឌ និង តួទីពីរ ជាតង់ស៊័រស៊ីមេទ្រី មាន Trace ស្មើសូន្យ ដែលគេហៅថា តង់ស៊័រដេហ្វរម៉ាស្យុងលំងាក ឬ តង់ស៊័រកាត់។
ទម្រង់ទូទៅនៃច្បាប់ហ៊ូក សម្រាប់សម្ភារៈអ៊ីសូត្រូប ជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃតង់ស៊័រទាំងពីរ ៖
![{\displaystyle \sigma _{ij}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c2493ccfcd9fc6ad3877a8ed7b2c11d7d57e99)
ដែល K ជា ម៉ូឌុល bulk និង G ជា ម៉ូឌុលកាត់ ។ ទម្រង់នេះអាចសម្រួលមកជា ៖
![{\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {E}{1+\nu }}\left(\varepsilon _{ij}+{\frac {\nu }{1-2\nu }}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ce5c857fa8df4fd3f3434d5a34c96e06f851bf)
ដែល៖
- -
= កុងត្រាំង
- -
= ម៉ូឌុលយ៉ាំង (Young)
- -
= មេគុណ Poisson
ទំរង់បញ្ចេញរបស់ច្បាប់នេះគឺៈ
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\tfrac {1}{E}}\left[\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33})\right]\\\varepsilon _{22}&={\tfrac {1}{E}}\left[\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33})\right]\\\varepsilon _{33}&={\tfrac {1}{E}}\left[\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22})\right]\\\varepsilon _{12}&={\tfrac {1}{2G}}~\sigma _{12}~;~~\varepsilon _{13}={\tfrac {1}{2G}}~\sigma _{13}~;~~\varepsilon _{23}={\tfrac {1}{2G}}~\sigma _{23}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2eddece12ec436dd52304e84e80c7bffcbb035a)
ក្រោមទម្រង់ម៉ាទ្រីស ច្បាប់ហ៊ូកសម្រាប់សម្ភារៈអ៊ីសូត្រូបអាចសរសេរជា ៖
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{31}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\gamma _{23}\\\gamma _{31}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &-\nu &0&0&0\\-\nu &1&-\nu &0&0&0\\-\nu &-\nu &1&0&0&0\\0&0&0&2(1+\nu )&0&0\\0&0&0&0&2(1+\nu )&0\\0&0&0&0&0&2(1+\nu )\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bce8b75f9a725077c7fa464ffa1af54feb84928)
ដែល
ជា ដេហ្វរម៉ាស្យុងកាត់វិស្វកម្ម។ ទម្រង់ច្រាសអាចសរសេរជា
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&(1-2\nu )/2&0&0\\0&0&0&0&(1-2\nu )/2&0\\0&0&0&0&0&(1-2\nu )/2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{31}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced6faab7f4b0dc2f71d51869432ed471e8ea80f)
ដោយប្រើថេរ ឡាមេ (Lamé)
និង
, ទម្រង់នេះអាចសម្រួលទៅជា
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &2\mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{31}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b57795451d5730a433274a703e15eacf898c87d9)
ច្បាប់ហ៊ូកសម្រាប់សភាពប្លង់នៃកុងត្រាំង
[កែប្រែ]
ក្នុងលក្ខខណ្ឌសភាពប្លង់នៃកុងត្រាំង យើងមាន
។ ក្នុងករណីនេះ ច្បាប់ហ៊ូក មានរាង
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &0\\-\nu &1&0\\0&0&2(1+\nu )\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b7b25e56fd2c495759c2ec1eb5c9fe8ada5f41)
ទម្រង់ច្រាស អាចសរសេរជា
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\cfrac {1-\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2347165db295b3862ff86ce8ffc865af72ee88c6)
ដោយសារភាពស៊ីមេទ្រី នៃកុងត្រាំងកូស៊ី (
) និងទម្រង់ទូទៅនៃច្បាប់ហ៊ូក (
) យើងទាញបានថា
។ ដូចគ្នា ភាពស៊ីមេទ្រីនៃ តង់ស៊័រដេហ្វរម៉ាស្យុងអតិសុខុម នាំឱ្យ
។ ភាពស៊ីមេទ្រីទាំងនេះ មានឈ្មោះថា ស៊ីមេទ្រីតូច នៃ តង់ស៊័រ stiffness (
) ។
ជាងនេះទៅទៀត ដោយសារក្រាដ្យង់បំលាស់ទី និង កុងត្រាំងកូស៊ី ជាកម្មន្តឆ្លាស់ នោះទំនាក់ទំនងកុងត្រាំងដេហ្វរម៉ាស្យុង អាចកំណត់ចេញពីអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេដេហ្វរម៉ាស្យុង (
), ដូច្នេះ
![{\displaystyle \sigma _{ij}={\cfrac {\partial U}{\partial \epsilon _{ij}}}\quad \implies \quad c_{ijk\ell }={\cfrac {\partial ^{2}U}{\partial \epsilon _{ij}\partial \epsilon _{k\ell }}}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd57eecda09021a6c1a87a77f6b030721dec0c17)
ដោយសារលំដាប់លំដោយនៃការដេរីវេគ្មានភាពសំខាន់ នោះ
។ លក្ខណៈនេះហៅថា ស៊ីមេទ្រីធំ នៃតង់ស៊័រ stiffness tensor ។ ស៊ីមេទ្រីធំ និង ស៊ីមេទ្រីតូច បង្ហាញថា ម៉ាទ្រីស stiffness មានកុំប៉ូសង់ដាច់គ្នា ចំនួនតែ ២១ តែប៉ុណ្ណោះ។
ទម្រង់ម៉ាទ្រីស នៃតង់ស៊័រ Stiffness
[កែប្រែ]
ជាទូទៅ គេតែងតែសរសេរទម្រង់អានីសូត្រូបនៃច្បាប់ហ៊ូក ក្រោមទម្រង់ម៉ាទ្រីស ដែលគេហៅថា ទម្រង់ Voigt ។ ដើម្បីសរសេរជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស គេទាញយកប្រយោជន៍ពីភាពស៊ីមេទ្រីរបស់តង់ស៊័រកុងត្រាំង និង ដេហ្វរម៉ាស្យុង ហើយសរសេរពួកវាជាវ៉ិចទ័រមាន ៦ កុំប៉ូសង់ ក្នុងប្រព័ន្ធតម្រុយកែង(
) ជា
![{\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]={\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}~;~~[{\boldsymbol {\epsilon }}]={\begin{bmatrix}\epsilon _{11}\\\epsilon _{22}\\\epsilon _{33}\\2\epsilon _{23}\\2\epsilon _{31}\\2\epsilon _{12}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\epsilon _{1}\\\epsilon _{2}\\\epsilon _{3}\\\epsilon _{4}\\\epsilon _{5}\\\epsilon _{6}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c73970472edc29708b65553460a73ace3b8836)
ដូច្នេះ តង់ស៊័រ stiffness (
) អាចសរសេរជា
![{\displaystyle [{\mathsf {C}}]={\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a43b066624a968805befbe38322ecc88dacedd69)
និងច្បាប់ហ៊ូក សរសេរជា
![{\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]=[{\mathsf {C}}][{\boldsymbol {\epsilon }}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/542fd2bc9325afa07bf05d16921769b9ea2d875d)
ឬ
![{\displaystyle \qquad \sigma _{i}=C_{ij}\epsilon _{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37fcb542374d901cb07eefe8af6d2da903e7ffcf)
ស្រដៀងគ្នាដែរ តង់ស៊័រ compliance (
) អាចសរសេរជា
![{\displaystyle [{\mathsf {S}}]={\begin{bmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1131}&2s_{1112}\\s_{2211}&s_{2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2231}&2s_{2212}\\s_{3311}&s_{3322}&s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3331}&2s_{3312}\\2s_{2311}&2s_{2322}&2s_{2333}&4s_{2323}&4s_{2331}&4s_{2312}\\2s_{3111}&2s_{3122}&2s_{3133}&4s_{3123}&4s_{3131}&4s_{3112}\\2s_{1211}&2s_{1222}&2s_{1233}&4s_{1223}&4s_{1231}&4s_{1212}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}&S_{15}&S_{16}\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&S_{24}&S_{25}&S_{26}\\S_{13}&S_{23}&S_{33}&S_{34}&S_{35}&S_{36}\\S_{14}&S_{24}&S_{34}&S_{44}&S_{45}&S_{46}\\S_{15}&S_{25}&S_{35}&S_{45}&S_{55}&S_{56}\\S_{16}&S_{26}&S_{36}&S_{46}&S_{56}&S_{66}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fd11f0a87453a6617316935c209c61b7bf92594)
- ↑ Symon, Keith (1971). Mechanics. Addison-Wesley, Reading, MA. ល.ស.ប.អ. 0-201-07392-7.