ច្បាប់ហ៊ូក

រ៉ឺសរមួយក្រោយទាញចុះក្រោមប្រវែង x ។ កំលាំង F ប្រឹងទាញរ៉ឺសរអោយទៅទីតាំងដើមវិញ

ក្នុងមេកានិច, និង រូបវិទ្យា, ច្បាប់ហ៊ូក នៃ អេឡាស្ទីស៊ីតេ ជាការប្រហែលមួយដែលចែងថា សាច់លូតរបស់រ៉ឺសរមួយសមាមាត្រនឹងបន្ទុកដែលមានអំពើលើវា អោយតែបន្ទុកនោះមិនមានតំលៃលើសពីលីមីតអេឡាស្ទិចទេ។ សម្ភារៈដែលអាចប្រើច្បាប់ហ៊ូកបាន គេហៅថា សម្ភារៈលីនេអ៊ែរអេឡាស្ទិច រឺ សម្ភារៈហ៊ូក។ ឃ្លាសាមញ្ញរបស់ច្បាប់ហ៊ូកបានចែងថា ដេហ្វម៉ាស្យុងសមាមាត្រជាមួយកុងត្រាំង។ តាមបែបគណិតវិទ្យា ច្បាប់ហ៊ូកចែងថា

\ F=-kx,

ដែល

\ x

ជាបំលាស់ទី របស់ចុងរ៉ឺសរចេញពីទីតាំងលំនឹងរបស់វា (គិតជា "m" ក្នុងប្រព័ន្ធឯកតា SI);

\ F

ជាកំលាំងដែលមានអំពើលើរ៉ឺសរ (គិតជា "N" ក្នុងប្រព័ន្ធឯកតា SI); និង

\ k

ជាថេររ៉ឺសរ (គិតជា " N•m^-1" ក្នុងប្រព័ន្ធឯកតា SI).

សញ្ញាដក ក្នុងរូបមន្តខាងលើ មានន័យថា កំលាំងមានទិសដៅផ្ទុយពីបំលាស់ទី៖ បើយើងទាញទៅខាងឆ្វេង រ៉ឺសរទាញមកខាងស្ដាំវិញ។ នៅពេលដែលទំនាក់ទំនងរវាងកំលាំងនិងបំលាស់ទី គោរពតាមច្បាប់ហ៊ូក គេនិយាយថា រ៉ឺសរមានលក្ខណៈលីនេអ៊ែរ។ ច្បាប់ហ៊ូកត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាម រ៉ូប៊ែរ ហ៊ូក ដែលជារូបវិទូអង់គ្លេសក្នុងសតវត្សរ៍ទី១៧។

អេឡាស្ទិច[កែប្រែ]

វត្ថុមួយមានលក្ខណៈអេឡាស្ទិចបើវាត្រលប់ទៅជាមានរូបរាងដូចដើមវិញភ្លាមៗក្រោយពីខូចទ្រង់ទ្រាយដោយសារកំលាំងមក ដោយម៉ូលេគុលរឺអាតូមរបស់សម្ភារៈត្រលប់ទៅសភាពដើមដែលជាសភាពមានលំនឹងស្តាប។ បើបន្ទាប់ពីដកកំលាំងចេញ វត្ថុនៅសល់ដេហ្វម៉ាស្យុងខ្លះ នោះយើងនិយាយថា វត្ថុនោះមានលក្ខណៈប្លាស្ទិច។

យើងពិនិត្យរបារមួយ ដែលសម្ភារៈរបស់វាអាចចាត់ទុកថាមានលក្ខណៈអេឡាស្ទិច ដូច្នេះរបារនេះប្រៀបបានជារ៉ឺសរលីនេអ៊ែរមួយដែរ។ របារមានប្រវែង $\ L$ មានមុខកាត់ $\ A$ ។ យើងចាប់ទាញរបារនេះដោយកំលាំង $\ F$ ។ តាមច្បាប់ហ៊ូក បំលាស់ទី $\ u$ សមាមាត្រនឹងកំលាំង $\ F$ ដូច្នេះ

\ F=ku

យើងមាន

កុងត្រាំង

\sigma ={\frac {F}{A}}\implies F=\sigma A

ដេហ្វម៉ាស្យុង

\epsilon ={\frac {u}{L}}\implies u=\epsilon L

ដូច្នេះ

F=ku\implies \sigma A=k\epsilon L

\implies \sigma ={\frac {kL}{A}}\epsilon =E\epsilon

ដែល $\textstyle E$ មានឈ្មោះថា ម៉ូឌុលយ៉ាំង។

ច្បាប់ហ៊ូកផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះសម្ភារៈខ្លះក្រោមលក្ខខណ្ឌបន្ទុកខ្លះតែប៉ុណ្ណោះ។ ដែក មានលក្ខណៈលីនេអ៊ែរអេឡាស្ទិចនៅក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្ដែងក្នុងវិស័យវិស្វកម្មភាគច្រើន ; ច្បាប់ហ៊ូកមានតំលៃត្រឹមត្រូវតែនៅក្នុងដែនអេឡាស្ទិចតែប៉ុណ្ណោះ (ឧទាហរណ៍ចំពោះកុងត្រាំងតូចជាង លីមីតអេឡាស្ទិច)។ សម្ភារៈខ្លះទៀត ដូចជា អាលុយមីញ៉ូម, ច្បាប់ហ៊ូកផ្ទៀងផ្ទាត់បានតែនៅលើផ្នែកណាមួយនៃដែនអេឡាស្ទិចតែប៉ុណ្ណោះ។ ចំពោះសម្ភារៈបែបនេះ គេកំនត់តំលៃកុងត្រាំងលីមីតមួយដែលនៅពេលកុងត្រាំងឋិតនៅក្រោមតំលៃលីមីតនេះ គេអាចសន្មតថាកុងត្រាំងសមាមាត្រនឹងដេហ្វម៉ាស្យុងបាន ដោយមិនសូវល្អៀងខ្លាំង ដែលលីមីតនោះគេហៅថា កុងត្រាំងលីមីតសមាមាត្រ។ កៅស៊ូ ត្រូវបានចាត់ទុកជាទូទៅថាមិនមែនជាប្រភេទសម្ភារៈហ៊ូកព្រោះអេឡាស្ទីស៊ីតេរបស់វាអាស្រ័យនឹងកុងត្រាំងនិងប្រែប្រួលខ្លាំងទៅតាមសីតុណ្ហភាពនិងអត្រាកំនើនបន្ទុក។ ការអនុវត្តច្បាប់ហ៊ូកមាននៅក្នុងម៉ាស៊ីនថ្លឹងប្រើរ៉ឺសរ ការវិភាគកុងត្រាំងនិងការធ្វើម៉ូដែលសម្ភារៈ។

កន្សោមតង់ស៊័រនៃច្បាប់ហ៊ូក[កែប្រែ]

នៅពេលធ្វើការក្នុងសភាពកុងត្រាំង 3D, គេត្រូវតែកំណត់តង់ស៊័រលំដាប់ទី៤ ${\mathsf {c}}$ ( $c_{ijk\ell }$ ) ដែលមានកុំប៉ូសង់ចំនួន៨១ ដែលជាមេគុណអេឡាស្ទិច, ដើម្បីភ្ជាប់ទំនាក់ទំនងរវាងកុងត្រាំង ${\boldsymbol {\sigma }}$ (σ_ij) និង ដេហ្វរម៉ាស្យុង ${\boldsymbol {\epsilon }}$ ( $\epsilon _{k\ell }$ )។

{\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\epsilon }}~.

ដោយសរសេរ ជាអនុគមន៍នៃកុំប៉ូសង់ក្នុងតម្រុយកែង, ទម្រង់ទូទៅនៃច្បាប់ហ៊ូក អាចសរសេរជា (ដោយប្រើទម្រង់បូកសន្មតរបស់អាញស្តាញ)

\sigma _{ij}=c_{ijk\ell }~\epsilon _{k\ell }

តង់ស៊័រ ${\mathsf {c}}$ មានឈ្មោះថា តង់ស៊័រ stiffness ឬ តង់ស៊័រអេឡាស្ទីស៊ីតេ។ ដោយសារភាពស៊ីមេទ្រី នៃតង់ស៊័រកុងត្រាំង, តង់ស៊័រដេហ្វរម៉ាស្យុង និង តង់ស៊័រ stiffness, នោះ គេមានមេគុណអេឡាស្ទិចឯករាជ្យចំនួនតែ ២១ តែប៉ុណ្ណោះ។ ខ្នាតរបស់កុងត្រាំងដូចខ្នាតរបស់សម្ពាធ, ដេហ្វរម៉ាស្យុងគ្មានខ្នាត ដូច្នេះ មេគុណ $c_{ijk\ell }$ មានខ្នាតដូចសម្ពាធដែរ។

កន្សោមទូទៅនៃច្បាប់ហ៊ូក អាចបញ្ច្រាសទាញរកដេហ្វរម៉ាស្យុងជាអនុគមន៍នៃកុងត្រាំងបាន និង កំណត់ដោយ ៖

{\boldsymbol {\epsilon }}={\mathsf {s}}:{\boldsymbol {\sigma }}\qquad {\rm {or}}\qquad \epsilon _{ij}=s_{ijk\ell }~\sigma _{k\ell }~.

តង់ស៊័រ ${\mathsf {s}}$ ហៅថា compliance tensor។

សម្ភារៈអ៊ីសូត្រូប[កែប្រែ]

សម្ភារៈអ៊ីសូត្រូបមានលក្ខណៈពិសេសត្រង់មិនអាស្រ័យនឹងទិសក្នុងលំហ។ ដូច្នេះ សមីការរូបសម្រាប់សម្ភារៈអ៊ីសូត្រូប ក៏ត្រូវតែមិនអាស្រ័យនឹងប្រព័ន្ធអ័ក្ស ដែរ។ តង់ស៊័រដេហ្វរម៉ាស្យុងមានភាពស៊ីមេទ្រី។ ដោយ Trace របស់គ្រប់តង់ស៊័រទាំងអស់មិនអាស្រ័យនឹងប្រព័ន្ធតម្រុយ ដូច្នេះការសរសេរតង់ស៊័រស៊ីមេទ្រីមួយដែលមិនអាស្រ័យនឹងប្រព័ន្ធអ័ក្ស គេគួរតែសរសេរជាអនុគមន៍នៃផលបូកនៃតង់ស៊័រថេរ និង តង់ស៊័រមាន Trace ស្មើសូន្យ។^[១] ដូច្នេះ៖

\varepsilon _{ij}=\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)

ដែល $\delta _{ij}$ ជា សញ្ញា Kronecker។

តួទីមួយនៃអង្គខាងស្ដាំ ជាតង់ស៊័រថេរ ដែលគេហៅថា តង់ស៊័រដេហ្វរម៉ាស្យុងមាឌ និង តួទីពីរ ជាតង់ស៊័រស៊ីមេទ្រី មាន Trace ស្មើសូន្យ ដែលគេហៅថា តង់ស៊័រដេហ្វរម៉ាស្យុងលំងាក ឬ តង់ស៊័រកាត់។

ទម្រង់ទូទៅនៃច្បាប់ហ៊ូក សម្រាប់សម្ភារៈអ៊ីសូត្រូប ជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃតង់ស៊័រទាំងពីរ ៖

\sigma _{ij}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)

ដែល K ជា ម៉ូឌុល bulk និង G ជា ម៉ូឌុលកាត់ ។ ទម្រង់នេះអាចសម្រួលមកជា ៖

\sigma _{ij}={\frac {E}{1+\nu }}\left(\varepsilon _{ij}+{\frac {\nu }{1-2\nu }}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)

ដែល៖

-

\sigma _{ij}

= កុងត្រាំង

-

E\

= ម៉ូឌុលយ៉ាំង (Young)

-

\nu

= មេគុណ Poisson

ទំរង់បញ្ចេញរបស់ច្បាប់នេះគឺៈ

{\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\tfrac {1}{E}}\left[\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33})\right]\\\varepsilon _{22}&={\tfrac {1}{E}}\left[\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33})\right]\\\varepsilon _{33}&={\tfrac {1}{E}}\left[\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22})\right]\\\varepsilon _{12}&={\tfrac {1}{2G}}~\sigma _{12}~;~~\varepsilon _{13}={\tfrac {1}{2G}}~\sigma _{13}~;~~\varepsilon _{23}={\tfrac {1}{2G}}~\sigma _{23}\end{aligned}}

ក្រោមទម្រង់ម៉ាទ្រីស ច្បាប់ហ៊ូកសម្រាប់សម្ភារៈអ៊ីសូត្រូបអាចសរសេរជា ៖

{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{31}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\gamma _{23}\\\gamma _{31}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &-\nu &0&0&0\\-\nu &1&-\nu &0&0&0\\-\nu &-\nu &1&0&0&0\\0&0&0&2(1+\nu )&0&0\\0&0&0&0&2(1+\nu )&0\\0&0&0&0&0&2(1+\nu )\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}

ដែល $\gamma _{ij}:=2\varepsilon _{ij}$ ជា ដេហ្វរម៉ាស្យុងកាត់វិស្វកម្ម។ ទម្រង់ច្រាសអាចសរសេរជា

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&(1-2\nu )/2&0&0\\0&0&0&0&(1-2\nu )/2&0\\0&0&0&0&0&(1-2\nu )/2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{31}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}

ដោយប្រើថេរ ឡាមេ (Lamé) $\lambda =K-2/3G$ និង $\mu =G$ , ទម្រង់នេះអាចសម្រួលទៅជា

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &2\mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{31}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}

ច្បាប់ហ៊ូកសម្រាប់សភាពប្លង់នៃកុងត្រាំង[កែប្រែ]

ក្នុងលក្ខខណ្ឌសភាពប្លង់នៃកុងត្រាំង យើងមាន $\sigma _{33}=\sigma _{31}=\sigma _{13}=\sigma _{32}=\sigma _{23}=0$ ។ ក្នុងករណីនេះ ច្បាប់ហ៊ូក មានរាង

{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &0\\-\nu &1&0\\0&0&2(1+\nu )\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}

ទម្រង់ច្រាស អាចសរសេរជា

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\cfrac {1-\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}

សម្ភារៈអានីសូត្រូប[កែប្រែ]

ដោយសារភាពស៊ីមេទ្រី នៃកុងត្រាំងកូស៊ី ( $\sigma _{ij}=\sigma _{ji}\,$ ) និងទម្រង់ទូទៅនៃច្បាប់ហ៊ូក ( $\sigma _{ij}=c_{ijk\ell }~\epsilon _{k\ell }$ ) យើងទាញបានថា $c_{ijk\ell }=c_{jik\ell }\,$ ។ ដូចគ្នា ភាពស៊ីមេទ្រីនៃ តង់ស៊័រដេហ្វរម៉ាស្យុងអតិសុខុម នាំឱ្យ $c_{ijk\ell }=c_{ij\ell k}\,$ ។ ភាពស៊ីមេទ្រីទាំងនេះ មានឈ្មោះថា ស៊ីមេទ្រីតូច នៃ តង់ស៊័រ stiffness ( ${\mathsf {c}}$ ) ។

ជាងនេះទៅទៀត ដោយសារក្រាដ្យង់បំលាស់ទី និង កុងត្រាំងកូស៊ី ជាកម្មន្តឆ្លាស់ នោះទំនាក់ទំនងកុងត្រាំងដេហ្វរម៉ាស្យុង អាចកំណត់ចេញពីអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេដេហ្វរម៉ាស្យុង ( $U$ ), ដូច្នេះ

\sigma _{ij}={\cfrac {\partial U}{\partial \epsilon _{ij}}}\quad \implies \quad c_{ijk\ell }={\cfrac {\partial ^{2}U}{\partial \epsilon _{ij}\partial \epsilon _{k\ell }}}~.

ដោយសារលំដាប់លំដោយនៃការដេរីវេគ្មានភាពសំខាន់ នោះ $c_{ijk\ell }=c_{k\ell ij}\,$ ។ លក្ខណៈនេះហៅថា ស៊ីមេទ្រីធំ នៃតង់ស៊័រ stiffness tensor ។ ស៊ីមេទ្រីធំ និង ស៊ីមេទ្រីតូច បង្ហាញថា ម៉ាទ្រីស stiffness មានកុំប៉ូសង់ដាច់គ្នា ចំនួនតែ ២១ តែប៉ុណ្ណោះ។

ទម្រង់ម៉ាទ្រីស នៃតង់ស៊័រ Stiffness[កែប្រែ]

ជាទូទៅ គេតែងតែសរសេរទម្រង់អានីសូត្រូបនៃច្បាប់ហ៊ូក ក្រោមទម្រង់ម៉ាទ្រីស ដែលគេហៅថា ទម្រង់ Voigt ។ ដើម្បីសរសេរជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស គេទាញយកប្រយោជន៍ពីភាពស៊ីមេទ្រីរបស់តង់ស៊័រកុងត្រាំង និង ដេហ្វរម៉ាស្យុង ហើយសរសេរពួកវាជាវ៉ិចទ័រមាន ៦ កុំប៉ូសង់ ក្នុងប្រព័ន្ធតម្រុយកែង( $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$ ) ជា

[{\boldsymbol {\sigma }}]={\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}~;~~[{\boldsymbol {\epsilon }}]={\begin{bmatrix}\epsilon _{11}\\\epsilon _{22}\\\epsilon _{33}\\2\epsilon _{23}\\2\epsilon _{31}\\2\epsilon _{12}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\epsilon _{1}\\\epsilon _{2}\\\epsilon _{3}\\\epsilon _{4}\\\epsilon _{5}\\\epsilon _{6}\end{bmatrix}}

ដូច្នេះ តង់ស៊័រ stiffness ( ${\mathsf {c}}$ ) អាចសរសេរជា

[{\mathsf {C}}]={\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}

និងច្បាប់ហ៊ូក សរសេរជា

[{\boldsymbol {\sigma }}]=[{\mathsf {C}}][{\boldsymbol {\epsilon }}]

ឬ

\qquad \sigma _{i}=C_{ij}\epsilon _{j}

ស្រដៀងគ្នាដែរ តង់ស៊័រ compliance ( ${\mathsf {s}}$ ) អាចសរសេរជា

[{\mathsf {S}}]={\begin{bmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1131}&2s_{1112}\\s_{2211}&s_{2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2231}&2s_{2212}\\s_{3311}&s_{3322}&s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3331}&2s_{3312}\\2s_{2311}&2s_{2322}&2s_{2333}&4s_{2323}&4s_{2331}&4s_{2312}\\2s_{3111}&2s_{3122}&2s_{3133}&4s_{3123}&4s_{3131}&4s_{3112}\\2s_{1211}&2s_{1222}&2s_{1233}&4s_{1223}&4s_{1231}&4s_{1212}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}&S_{15}&S_{16}\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&S_{24}&S_{25}&S_{26}\\S_{13}&S_{23}&S_{33}&S_{34}&S_{35}&S_{36}\\S_{14}&S_{24}&S_{34}&S_{44}&S_{45}&S_{46}\\S_{15}&S_{25}&S_{35}&S_{45}&S_{55}&S_{56}\\S_{16}&S_{26}&S_{36}&S_{46}&S_{56}&S_{66}\end{bmatrix}}

ឯកសារយោង[កែប្រែ]

↑ Symon, Keith (1971). Mechanics. Addison-Wesley, Reading, MA. ល.ស.ប.អ. 0-201-07392-7.

[1] Symon, Keith (1971). Mechanics. Addison-Wesley, Reading, MA. ល.ស.ប.អ. 0-201-07392-7.

[១]

អេឡាស្ទិច[កែប្រែ]

កន្សោម​តង់ស៊័រ​នៃ​ច្បាប់​ហ៊ូក[កែប្រែ]

សម្ភារៈ​អ៊ីសូត្រូប[កែប្រែ]

ច្បាប់​ហ៊ូក​សម្រាប់​សភាព​ប្លង់​នៃ​កុងត្រាំង​[កែប្រែ]

សម្ភារៈ​អានីសូត្រូប[កែប្រែ]

ទម្រង់​ម៉ាទ្រីស នៃ​តង់ស៊័រ Stiffness[កែប្រែ]

ឯកសារ​យោង​[កែប្រែ]