ទ្រឹស្តីបទរូទ

ក្នុងធរណីមាត្រ ទ្រឹស្តីបទរូទ (Routh's theorem) ពោលដូចខាងក្រោមៈ

តាង $\triangle {ABC}$ ជាត្រីកោណដែលមានក្រឡាផ្ទៃ $A_{ABC}\,$ ។ តាង $\mathrm {F}$, $\mathrm {D}$ និង $\mathrm {E}$ គឺជាចំណុចនៅលើជ្រុងរៀងគ្នា ${\overline {AB}}$, ${\overline {BC}}$ និង ${\overline {AC}}$ ដែលផលធៀប ${\frac {AF}{BF}}=r,\quad {\frac {BD}{CD}}=s,\quad {\frac {CE}{AE}}=t$

និងតាង $\mathrm {I}$, $\mathrm {G}$ និង $\mathrm {H}$ ជាចំណោលរៀងគ្នានៃ ${\overline {AD}}$ និង ${\overline {CF}}$, ${\overline {AD}}$ និង ${\overline {BE}}$, និង ${\overline {BE}}$ និង ${\overline {CF}}$ ដែល

$I=AD\cap CF,\quad G=AD\cap EB$ និង $H=BE\cap CF$

នោះគេបានក្រឡាផ្ទៃនៃត្រីកោណ $\triangle {GHI}$ កំណត់ដោយ

${\color {Violet}A_{GHI}}={\color {magenta}{\frac {(rst-1)^{2}}{(st+s+1)(rt+t+1)(rs+r+1)}}}{\color {Fuchsia}A_{ABC}}$

បំណកស្រាយទ្រឹស្តីបទ

តាមទ្រឹស្តីបទមេនេឡូស យើងបាន

${\frac {s}{1}}\cdot {\frac {t+1}{1}}\cdot {\frac {EG}{GB}}=1\Longleftrightarrow EG:GB=1:st+s$

ហេតុនេះ

${\frac {A_{GAB}}{A_{ABC}}}={\frac {AE}{AC}}\cdot {\frac {BG}{BE}}={\frac {1}{t+1}}\cdot {\frac {st+s}{st+s+1}}={\frac {s}{st+s+1}}$

$\Rightarrow {\color {RoyalBlue}A_{GAB}}={\frac {s}{st+s+1}}\cdot A_{ABC}\qquad \color {Violet}(i)$

ដូចគ្នាដែរ

${\frac {A_{HBC}}{A_{ABC}}}={\frac {t}{tr+t+1}}\qquad \Rightarrow {\color {RoyalBlue}A_{HBC}}={\frac {t}{tr+t+1}}\cdot A_{ABC}\qquad \color {Violet}(ii)$

${\frac {A_{ICA}}{A_{ABC}}}={\frac {r}{rs+r+1}}\qquad \Rightarrow {\color {RoyalBlue}A_{ICA}}={\frac {r}{rs+r+1}}\cdot A_{ABC}\qquad \color {Violet}(iii)$

គេបានក្រឡាផ្ទៃនៃត្រីកោណ $\triangle {GHI}$ កំណត់ដោយ

$A_{GHI}=A_{ABC}-(A_{GAB}+A_{HBC}+A_{ICA})\qquad \color {magenta}(*)$

ជំនួស $\color {Violet}(i),(ii),(iii)\,$ ក្នុង $\color {magenta}(*)\,$ គេបាន

${\begin{aligned}A_{GHI}&=A_{ABC}-\{{\frac {s}{st+s+1}}\cdot A_{ABC}+{\frac {t}{tr+t+1}}\cdot A_{ABC}+{\frac {r}{rs+r+1}}\cdot A_{ABC}\}\\&=\{1-{\frac {s}{st+s+1}}-{\frac {t}{tr+t+1}}-{\frac {r}{rs+r+1}}\}\cdot A_{ABC}\\&={\frac {(st+s+1)(tr+t+1)(rs+r+1)-s(tr+t+1)(rs+r+1)-t(st+s+1)(rs+r+1)-r(st+s+1)(tr+t+1)}{(st+s+1)(tr+t+1)(rs+r+1)}}\cdot A_{ABC}\end{aligned}}$

ពន្លាតកន្សោមភាគយក គេបានទ្រឹស្តីបទរូទ (Routh's theorem)

${\color {Violet}A_{GHI}}={\color {magenta}{\frac {(rst-1)^{2}}{(st+s+1)(rt+t+1)(rs+r+1)}}}{\color {Fuchsia}A_{ABC}}$