ផលបូក រីម៉ាន

ក្នុង​គណិតវិទ្យា ផលបូក​រីម៉ាន (Riemann sum) គឺ​ជា​វិធីសាស្រ្ត​កំនត់​តំលៃ​ប្រហែល​នៃ​ក្រលាផ្ទៃ​សរុប​ខាងក្រោម​ខ្សែកោង​នៅ​លើ​ក្រាប។​ វាត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាមគណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់ ប៊ែនហាដ រីម៉ាន (Bernhard Riemann) ។

និយមន័យ

គេមាន​អនុគមន៍ $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ ជាប់លើចន្លោះ $\ I=[a,b]$ ។ គេចាត់ទុក $n\in \mathbb {N} ^{*}$ និងបំនែកតូចៗ $x_{k}=a+k{\frac {b-a}{n}}$ ដែល $0\leq k\leq n$ ។

ផលបូករីម៉ាននៃ $\ f$ លើ $\ I$ កំនត់ដោយ

$S_{n}={\frac {b-a}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})f(x_{k})$

ការអនុវត្តន៍

ផលបូករីម៉ាន​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើប្រាស់​ដើម្បី​គណនា​អាំងតេក្រាល​ដោយវិធីសាស្រ្តចតុកោណកែង

$\lim _{n\rightarrow +\infty }S_{n}=\int _{a}^{b}f(t)dt$

សំរាយបញ្ជាក់

តាម​និយមន័យ​អាំងតេក្រាល គេមាន

$(x_{k}-x_{k-1})f(x_{k})=\int _{x_{k-1}}^{x_{k}}f(x_{k})dt$ d'où $(x_{k}-x_{k-1})f(x_{k})-\int _{x_{k-1}}^{x_{k}}f(t).dt=\int _{x_{k-1}}^{x_{k}}(f(x_{k})-f(t)).dt$

ដោយធ្វើផលបូលចំពោះ $k\in \{1,\cdots ,n\}$ គេទទួលបាន

$S_{n}-\int _{a}^{b}f(t)dt=\sum _{k=1}^{n}\int _{x_{k-1}}^{x_{k}}(f(x_{k})-f(t)).dt$

ដែល $|S_{n}-\int _{a}^{b}f(t)dt|\leq \sum _{k=1}^{n}\int _{x_{k-1}}^{x_{k}}|f(x_{k})-f(t)|dt$

គេមាន $\ \epsilon >0$ ។ តាមទ្រឹស្តីបទហៃនេ (Heine theorem) អនុគមន៍ $\ f$ ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ $\ I=[a,b]$ មាន $\ \alpha >0$ ដែល

$\forall (x,t)\in [a,b]^{2}|x-t|\leq \alpha \Rightarrow |f(x)-f(t)|\leq {\frac {\epsilon }{b-a}}$

គេចាត់ទុកទំនាក់ទំនងចំពោះ n ធំគ្រប់គ្រាន់ ហេតុនេះ ${\frac {b-a}{n}}\leq \alpha$ ។

ដូចនេះ

$\forall t\in [x_{k-1};x_{k}]|x_{k}-t|\leq {\frac {b-a}{n}}\leq \alpha$

ដែល $|S_{n}-\int _{a}^{b}f(t)dt|\leq \int _{a}^{b}{\frac {\epsilon }{b-a}}=\epsilon$

ករណីពិសេស

$\lim _{n\to \infty }{\frac {b-a}{n}}\sum _{k=1}^{n}f\left(a+{\frac {(b-a)k}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {b-a}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f\left(a+{\frac {(b-a)k}{n}}\right)=\int _{a}^{b}f(x)dx$