រូបមន្តត្រីកោណមាត្រត្រង់ kπ/7

តំលៃប្រហែល

យើងមានតំលៃប្រហែល

$cos({\frac {\pi }{7}})\simeq 0,9009688...\simeq {\frac {9}{10}}~$

តំលៃនេះអាចអោយយើងសង់បន្ទាត់ និង កំប៉ានៃមុំ ដែលមានរង្វាស់ជិតស្មើនឹង ${\frac {\pi }{7}}$ ។

យើងគូសអង្កត់ $\ [AB]$ និង ចំនុច P មួយដែល

$AP={\frac {9}{10}}AB~$

គេមានចំនុច C មួយជាចំនុចប្រសព្វរវាងរង្វង់​ផ្ចិត A កាំ AB ជាមួយនឹងបន្ទាត់កែង AB ត្រង់ P ។

ហេតុនេះមុំ ${\widehat {BAC}}~$ មានរង្វាស់ប្រហែលនឹង ${\frac {\pi }{7}}$ ។

ដំណោះស្រាយសមីការមួយចំនួន

• សមីការ​៖

$X^{3}-X^{2}-2X+1=0~$

មានឫស៖

$\{2\cos({\frac {\pi }{7}}),-2\cos({\frac {2\pi }{7}}),2\cos({\frac {3\pi }{7}})\}~$

• សមីការ៖

$X^{3}+X^{2}-2X-1=0~$

មានឫស៖

$\{-2\cos({\frac {\pi }{7}}),2\cos({\frac {2\pi }{7}}),-2\cos({\frac {3\pi }{7}})\}~$

• សមីការ៖

$X^{3}+{\sqrt {7}}X^{2}-{\sqrt {7}}=0~$

មានឫស៖ $\{2\sin({\frac {\pi }{7}}),-2\sin({\frac {2\pi }{7}}),-2\sin({\frac {3\pi }{7}})\}~$

• សមីការ៖

$X^{3}-{\sqrt {7}}X^{2}+{\sqrt {7}}=0~$

a pour racines :

$\{-2\sin({\frac {\pi }{7}}),2\sin({\frac {2\pi }{7}}),2\sin({\frac {3\pi }{7}})\}~$

• សមីការ៖

$X^{3}+{\sqrt {7}}X^{2}-7X+{\sqrt {7}}=0~$

មានឫស៖

$\{\tan({\frac {\pi }{7}}),\tan({\frac {2\pi }{7}}),-\tan({\frac {3\pi }{7}})\}~$

• សមីការ៖

$X^{3}-{\sqrt {7}}X^{2}-7X-{\sqrt {7}}=0~$

មានឫស៖

$\{-\tan({\frac {\pi }{7}}),-\tan({\frac {2\pi }{7}}),\tan({\frac {3\pi }{7}})\}~$

រូបមន្តអូម៉ូសែន

$\cos({\frac {\pi }{7}})-\cos({\frac {2\pi }{7}})+\cos({\frac {3\pi }{7}})={\frac {1}{2}}~$

$\cos({\frac {\pi }{7}}).\cos({\frac {2\pi }{7}}).\cos({\frac {3\pi }{7}})=-{\frac {1}{8}}~$

$\cos({\frac {\pi }{7}}).\cos({\frac {2\pi }{7}})-\cos({\frac {\pi }{7}}).\cos({\frac {3\pi }{7}})+\cos({\frac {2\pi }{7}}).\cos({\frac {3\pi }{7}})=-{\frac {1}{2}}~$

$\sin({\frac {\pi }{7}})-\sin({\frac {2\pi }{7}})-\sin({\frac {3\pi }{7}})=-{\frac {\sqrt {7}}{2}}~$

$\sin({\frac {\pi }{7}}).\sin({\frac {2\pi }{7}}).\sin({\frac {3\pi }{7}})={\frac {\sqrt {7}}{8}}~$

$\sin({\frac {\pi }{7}}).\sin({\frac {2\pi }{7}})+\sin({\frac {\pi }{7}}).\sin({\frac {3\pi }{7}})-\sin({\frac {2\pi }{7}}).\sin({\frac {3\pi }{7}})=0~$

$\tan({\frac {\pi }{7}})+\tan({\frac {2\pi }{7}})-\tan({\frac {3\pi }{7}})=-{\sqrt {7}}~$

$\tan({\frac {\pi }{7}}).\tan({\frac {2\pi }{7}}).\tan({\frac {3\pi }{7}})={\sqrt {7}}~$

$\tan({\frac {\pi }{7}}).\tan({\frac {2\pi }{7}})-\tan({\frac {\pi }{7}}).\tan({\frac {3\pi }{7}})-\tan({\frac {2\pi }{7}}).\tan({\frac {3\pi }{7}})=-7~$

រូបមន្តលីនែអ៊ែរ

$\cos({\frac {\pi }{7}})\cos({\frac {2\pi }{7}})={\frac {1}{2}}\cos({\frac {2\pi }{7}})+{\frac {1}{4}}~$

$\cos({\frac {\pi }{7}})\cos({\frac {3\pi }{7}})={\frac {1}{2}}\cos({\frac {\pi }{7}})-{\frac {1}{4}}~$

$\cos({\frac {2\pi }{7}})\cos({\frac {3\pi }{7}})=-{\frac {1}{2}}\cos({\frac {3\pi }{7}})+{\frac {1}{4}}~$

$\cos ^{2}({\frac {\pi }{7}})={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\cos({\frac {2\pi }{7}})~$

$\cos ^{2}({\frac {2\pi }{7}})={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos({\frac {3\pi }{7}})~$

$\cos ^{2}({\frac {3\pi }{7}})={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos({\frac {\pi }{7}})~$

រូបមន្តបន្ថយ

ចំពោះតំលៃផ្សេងៗនៃ k ក្នុង kπ/7 គេអាចត្រលប់ទៅរូបមន្តមុន

$\cos({\frac {4\pi }{7}})=-\cos({\frac {3\pi }{7}})~$

$\cos({\frac {5\pi }{7}})=-\cos({\frac {2\pi }{7}})~$

$\cos({\frac {6\pi }{7}})=-\cos({\frac {\pi }{7}})~$

$\sin({\frac {4\pi }{7}})=\sin({\frac {3\pi }{7}})~$

$\sin({\frac {5\pi }{7}})=\sin({\frac {2\pi }{7}})~$

$\sin({\frac {6\pi }{7}})=\sin({\frac {\pi }{7}})~$

$\tan({\frac {4\pi }{7}})=-\tan({\frac {3\pi }{7}})~$

$\tan({\frac {5\pi }{7}})=-\tan({\frac {2\pi }{7}})~$

$\tan({\frac {6\pi }{7}})=-\tan({\frac {\pi }{7}})~$

លក្ខណៈគួរកត់សំគាល់

យើងមាន

$\forall k\in \mathbb {Z} ,\quad 2^{k}\left(\cos ^{k}({\frac {\pi }{7}})+\cos ^{k}({\frac {3\pi }{7}})+\cos ^{k}({\frac {5\pi }{7}})\right)\in \mathbb {N} ^{*}~$

• ចំពោះតំលៃដំបូងនៃ k វិជ្ជមាន គេទទួលបាន

$2\left(\cos({\frac {\pi }{7}})+\cos({\frac {3\pi }{7}})+\cos({\frac {5\pi }{7}})\right)=1~$

$2^{2}\left(\cos ^{2}({\frac {\pi }{7}})+\cos ^{2}({\frac {3\pi }{7}})+\cos ^{2}({\frac {5\pi }{7}})\right)=5~$

$2^{3}\left(\cos ^{3}({\frac {\pi }{7}})+\cos ^{3}({\frac {3\pi }{7}})+\cos ^{3}({\frac {5\pi }{7}})\right)=4~$

$2^{4}\left(\cos ^{4}({\frac {\pi }{7}})+\cos ^{4}({\frac {3\pi }{7}})+\cos ^{4}({\frac {5\pi }{7}})\right)=13~$

$2^{5}\left(\cos ^{5}({\frac {\pi }{7}})+\cos ^{5}({\frac {3\pi }{7}})+\cos ^{5}({\frac {5\pi }{7}})\right)=16~$

$2^{6}\left(\cos ^{6}({\frac {\pi }{7}})+\cos ^{6}({\frac {3\pi }{7}})+\cos ^{6}({\frac {5\pi }{7}})\right)=38~$

$2^{7}\left(\cos ^{7}({\frac {\pi }{7}})+\cos ^{7}({\frac {3\pi }{7}})+\cos ^{7}({\frac {5\pi }{7}})\right)=57~$

។ល។

• ចំពោះតំលៃដំបូងនៃ k អវិជ្ជមាន គេទទួលបាន

${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\cos({\frac {\pi }{7}})}}+{\frac {1}{\cos({\frac {3\pi }{7}})}}+{\frac {1}{\cos({\frac {5\pi }{7}})}}\right)=2~$

${\frac {1}{2^{2}}}\left({\frac {1}{\cos ^{2}({\frac {\pi }{7}})}}+{\frac {1}{\cos ^{2}({\frac {3\pi }{7}})}}+{\frac {1}{\cos ^{2}({\frac {5\pi }{7}})}}\right)=6~$

${\frac {1}{2^{3}}}\left({\frac {1}{\cos ^{3}({\frac {\pi }{7}})}}+{\frac {1}{\cos ^{3}({\frac {3\pi }{7}})}}+{\frac {1}{\cos ^{3}({\frac {5\pi }{7}})}}\right)=11~$

${\frac {1}{2^{4}}}\left({\frac {1}{\cos ^{4}({\frac {\pi }{7}})}}+{\frac {1}{\cos ^{4}({\frac {3\pi }{7}})}}+{\frac {1}{\cos ^{4}({\frac {5\pi }{7}})}}\right)=26~$

${\frac {1}{2^{5}}}\left({\frac {1}{\cos ^{5}({\frac {\pi }{7}})}}+{\frac {1}{\cos ^{5}({\frac {3\pi }{7}})}}+{\frac {1}{\cos ^{5}({\frac {5\pi }{7}})}}\right)=57~$

។ល។