លំហាត់ស៊្វីត

១) គេឲ្យស្វ៊ីត $(u_{n})\,$ កំនត់ដោយ $u_{0}=e^{4}\,$ និង $u_{n+1}^{3}\cdot e^{2}=u_{n}^{2},\forall n\in \mathbb {N}$ ដែល $e\approx 2,718$ ។ $(v_{n})\,$ ជាស្វ៊ីតមួយទៀតកំនត់ដោយ $3v_{n}=2+\ln u_{n},\quad \forall n\in \mathbb {N}$ ។

ក - ចូរបង្ហាញថា $(v_{n})\,$ ជាស្វ៊ីតធរណីមាត្រ

ខ - គណនាជាអនុគមន៍នៃ n

$S_{1}=v_{0}+v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n}$

$S_{2}=\ln(u_{0}\cdot u_{1}\cdot u_{1}\cdot u_{2}\cdots u_{n})$

២) គេអោយស្វ៊ីត $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ កំនត់ដោយ ${\begin{cases}u_{1}=1,u_{2}=2\\u_{n+2}={\frac {2}{5}}u_{n+1}+{\frac {3}{5}}u_{n}\end{cases}}$ តាង $t_{n}=u_{n}-u_{n+1}\,$ បង្ហាញថា $(t_{n})\,$ ជាស្វ៊ីតធរណីមាត្រ និងគណនា $\lim _{n\to +\infty }u_{n}$

៣) គណនាចំនួនពិត b, c, d ដើម្បីអោយស្វ៊ីត $\{a_{n}\}\,$ កំនត់ដោយ

$a_{n}={\frac {n+b}{cn+d}}\quad (n=1;2;3;\cdots \cdots )$

ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌខាងក្រោម:

$a_{1}={\frac {1}{3}};a_{2}={\frac {3}{8}}$ និង $\lim _{n\to \infty }a_{n}={\frac {1}{2}}$

៤) a ជាចំនួនវិជ្ជមានខុសពី ១ ។ គេអោយស្វ៊ីតនៃចំនួនពិត $u_{0},u_{1},\cdots ,u_{n},\cdots \,$ ដែលកំនត់ដោយទំនាក់ទំនង $u_{n}=au_{n-1}^{2}$ និង $u_{0}=1\,$

ក - គេតាង $u_{n}=a^{v_{n}+b}$ ។ បង្ហាញថាគេអាចកំនត់ចំនួន b បានដើម្បីអោយស្វ៊ីត $v_{n}\,$ ជាស្វ៊ីតធរណីមាត្រ ។

ខ - គណនា $u_{n}\,$ ជាអនុគមន៍នៃ a និង n

៦) គេអោយស្វ៊ីត $\{u_{n}\}\,$ កំនត់ដោយ $u_{1}={\sqrt {2}};u_{n+1}={\sqrt {2+u_{n}}},n=1;2;3;\cdots \cdot$ ។ កំនត់រក $u_{n}\,$ ជាអនុគមន៍នៃ n ។

៥) គេអោយស្វ៊ីតនៃចំនួនពិត $(u_{n})\,$ មួយកំនត់ដោយ:

$u_{1}=a,u_{2}=b,u_{3}={\frac {1}{2}}(u_{1}+u_{2}),\cdots ,u_{n}={\frac {1}{2}}(u_{n-2}+u_{n-1})$

1. បង្ហាញថាស្វ៊ីតនៃចំនួនពិតដែលមានតួទូទៅ $v_{n}=u_{n}-u_{n-1}\,$ ជាស្វ៊ីតធរណីមាត្រ។
2. គណនា $u_{n}\,$ ជាអនុគមន៍នៃ a, b និង n ។ ទាញរកលីមីតនៃ $u_{n}\,$ កាលណា $n\to \infty \,$ ។

៧) គេមានស្វ៊ីត $(U_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ កំនត់ដោយ

${\begin{cases}U_{1}=1\\(U_{n+1})^{2}=4u_{n}\end{cases}}$ និង $U_{n}>0;\forall n\in \mathbb {N} ^{*}$

គេមានស្វ៊ីតមួយទៀត $(V_{n})\,$ កំនត់ដោយ $V_{n}=\ln(u_{n})-\ln 4\,$

1. ចូរបង្ហាញថា $(V_{n})\,$ ជាស្វ៊ីតធរណីមាត្រ ដោយប្រាប់រេសុង និង តួទី១ របស់វា។
2. សរសេរ $V_{n}\,$ ជាអនុគមន៍នៃ n ។ រួចទាញរក $U_{n}\,$ ។ គណនា $\lim _{n\to +\infty }U_{n}$

៧) $(U_{n})\,$ ជាស្វ៊ីតកំនត់ដោយ $U_{0}=5\,$ និងទំនាក់ទំនង $U_{n+1}=5U_{n}-7n;\forall n\in \mathbb {N}$

គេមានស្វ៊ីតមួយទៀត $(V_{n})\,$ កំនត់ដោយ $V_{n}=U_{n}-{\frac {7}{4}}n-{\frac {7}{16}};\forall n\in \mathbb {N} \,$

1. បង្ហាញថា $(V_{n})\,$ ជាស្វ៊ីតធរណីមាត្រ
2. គណនា $S_{n}=U_{0}+U_{1}+U_{2}+\cdots +U_{n}\,$

៨) គេអោយស្វ៊ីត $(U_{n})\,$ មួយកំនត់ដោយ: ${\begin{cases}U_{0}\in \mathbb {R} \\\forall n\in \mathbb {N} :U_{n+1}={\frac {1}{11}}U_{n}+1800\end{cases}}$

1. កំនត់ $U_{0}\,$ ដើម្បីអោយ $(U_{n})\,$ ជាស្វ៊ីតថេរ
2. សន្មត $U_{0}=1\,$ គេកំនត់ស្វ៊ីត $(V_{n})\,$ មួយដែលមានតួទូទៅ $V_{n}=U_{n}+b\,$ ។
   1. ចូរកំនត់តំលៃ b ដើម្បីអោយ $(V_{n})\,$ ជាស្វ៊ីតធរណីមាត្រ។
   2. ចំពោះតំលៃ b ដែលរកឃើញខាងលើ ចូរគណនាលីមីតនៃស្វ៊ីត $(U_{n})\,$ និង $(V_{n})\,$

៩)គេឲ្យស្វ៊ីតនៃចំនួនពិត $(a_{n})\,$កំណត់ដោយ $a_{1}=4\,$និង $a_{n+1}=3a_{n}-4(n-1)\,$។

ក-តាង $b_{n}=a_{n}-2n+1\,$ . រកប្រភេទនៃស្វ៊ីតនេះ ? ខ-គណនា$b_{n}\,$ និង$a_{n}\,$ ជាអនុគមន៍នៃn ។

( By www.mathtoday.wordpress.com)។

១0)គេអោយស្វ៊ីត កំនត់ដោយ $a_{1}=2;a_{n+1}=a_{n}+{\frac {1}{4}}+{\frac {\sqrt {4a_{n}+1}}{2}},n=1;2;3;\cdots \cdot$ ។

ក-គេតាង $b_{n+1}={\sqrt {4a_{n}+1}},n=1;2;3;\cdots \cdot$ ។ រកប្រភេទនៃស្វ៊ីតនេះ?

ខ-គណនា$b_{n}\,$ និង$a_{n}\,$ ជាអនុគមន៍នៃn ។ (by Lim Phalkun www.mathtoday.wordpress.com).