វិធីសាស្រ្តស៊េរីស្វ័យគុណ

ក្នុងគណិតវិទ្យា​ ​ វិធីសាស្រ្តស៊េរីស្វ័យគុណ(power series method) គឺជាវិធីសាស្រ្តរកចំលើយរបស់ស៊េរីស្វ័យគុណ អោយទៅជាសមីការឌីផេរ៉ងើស្យែ ។

វិធីសាស្រ្ត

ចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់២

$a_{2}(z)f''(z)+a_{1}(z)f'(z)+a_{0}(z)f(z)=0\;\!$

ឧបមាថា a₂ មិនសូន្យគ្រប់ z ។ នោះយើងអាចចែកវាហើយទទួលបាន

$f''+{a_{1}(z) \over a_{2}(z)}f'+{a_{0}(z) \over a_{2}(z)}f=0$

ហើយឧបមាទៀតថា a₁/a₂ និង a₀/a₂ គឺជាអនុគមន៍អាណាលីទីក(analytic function អនុគមន៍ទាល់) ។

វិធីសាស្រ្តស៊េរីស្វ័យគុណទទួលបានទំរង់នៃចំលើយនៃស៊េរីស្វ័យគុណ

$f=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}$

បើ a₂ ស្មើសូន្យ ចំពោះ zខ្លះ នោះវិធីសាស្រ្តហ្រ្វូបេនៀស ដែលជាវិធីសាស្រ្តផ្នែកមួយនៃវិធីសាស្រ្តនេះ គឺត្រូវនឹងចំនុចទោល ។

ឧទាហរណ៍

យើងក្រលេកមើល សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអឺមីត(Hermite differential equation)

$f''-2zf'+\lambda f=0;\;\lambda =1$

យើងអាចបង្កើតចំលើយរបស់ស៊េរី

$f=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}$

$f'=\sum _{k=0}^{\infty }kA_{k}z^{k-1}$

$f''=\sum _{k=0}^{\infty }k(k-1)A_{k}z^{k-2}$

ជំនួសវាចូលទៅក្នុងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

$\sum _{k=0}^{\infty }k(k-1)A_{k}z^{k-2}-2z\sum _{k=0}^{\infty }kA_{k}z^{k-1}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}=0$

$=\sum _{k=0}^{\infty }k(k-1)A_{k}z^{k-2}-\sum _{k=0}^{\infty }2kA_{k}z^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}$

សំរួលការបូកចំពោះតួដំបូង

$=\sum _{k+2=0}^{\infty }(k+2)((k+2)-1)A_{k+2}z^{(k+2)-2}-\sum _{k=0}^{\infty }2kA_{k}z^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}$

$=\sum _{k=-2}^{\infty }(k+2)(k+1)A_{k+2}z^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }2kA_{k}z^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}$

$=(0)(-1)A_{0}z^{-2}+(-1)(0)A_{1}z^{-1}+\sum _{k=0}^{\infty }(k+2)(k+1)A_{k+2}z^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }2kA_{k}z^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}$

$=\sum _{k=0}^{\infty }(k+2)(k+1)A_{k+2}z^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }2kA_{k}z^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}$

$=\sum _{k=0}^{\infty }\left((k+2)(k+1)A_{k+2}+(-2k+1)A_{k}\right)z^{k}$

ឥឡូវ បើស៊េរីនេះជាចំលើយ មេគុណទាំងអស់ត្រូវតែស្មើសូន្យ ដូចនេះ

$(k+2)(k+1)A_{k+2}+(-2k+1)A_{k}=0\;\!$

យើងអាចរៀបវាឡើងវិញ ដើម្បីទទួលបានទំនាក់ទំនងចំពោះ​ A_k+2 ។

$(k+2)(k+1)A_{k+2}=-(-2k+1)A_{k}\;\!$

$A_{k+2}={(2k-1) \over (k+2)(k+1)}A_{k}\;\!$

ឥឡូវយើងបាន

$A_{2}={-1 \over (2)(1)}A_{0}={-1 \over 2}A_{0},\,A_{3}={1 \over (3)(2)}A_{1}={1 \over 6}A_{1}$

យើងអាចកំនត់ A₀ និង A₁ បើវាមានលក្ខខណ្ឌដើម ឧទាហរណ៍ បើយើងមានសំនួរដែលមានតំលៃដើម ។

ដូចនេះ យើងបាន

$A_{4}={1 \over 4}A_{2}=\left({1 \over 4}\right)\left({-1 \over 2}\right)A_{0}={-1 \over 8}A_{0}$

$A_{5}={1 \over 4}A_{3}=\left({1 \over 4}\right)\left({1 \over 6}\right)A_{1}={1 \over 24}A_{1}$

$A_{6}={7 \over 30}A_{4}=\left({7 \over 30}\right)\left({-1 \over 8}\right)A_{0}={-7 \over 240}A_{0}$

$A_{7}={3 \over 14}A_{5}=\left({3 \over 14}\right)\left({1 \over 24}\right)A_{1}={1 \over 112}A_{1}$

ហើយចំលើយរបស់ស៊េរីគឺ

$f=A_{0}x^{0}+A_{1}x^{1}+A_{2}x^{2}+A_{3}x^{3}+A_{4}x^{4}+A_{5}x^{5}+A_{6}x^{6}+A_{7}x^{7}+\cdots$

$=A_{0}x^{0}+A_{1}x^{1}+{-1 \over 2}A_{0}x^{2}+{1 \over 6}A_{1}x^{3}+{-1 \over 8}A_{0}x^{4}+{1 \over 24}A_{1}x^{5}+{-7 \over 240}A_{0}x^{6}+{1 \over 112}A_{1}x^{7}+\cdots$

$=A_{0}x^{0}+{-1 \over 2}A_{0}x^{2}+{-1 \over 8}A_{0}x^{4}+{-7 \over 240}A_{0}x^{6}+A_{1}x+{1 \over 6}A_{1}x^{3}+{1 \over 24}A_{1}x^{5}+{1 \over 112}A_{1}x^{7}+\cdots$

ដែលយើងអាចបំបែកវាទៅជាផលបូកនៃចំលើយរបស់ស៊េរីឯករាជ្យលីនេអែពីរ

$f=A_{0}(1+{-1 \over 2}x^{2}+{-1 \over 8}x^{4}+{-7 \over 240}x^{6}+\cdots )+A_{1}(x+{1 \over 6}x^{3}+{1 \over 24}x^{5}+{1 \over 112}x^{7}+\cdots )$

ដែលអាចសំរួលដោយការប្រើនៃស៊េរីស្វ័គុណដែលមានប្រភាគនៃមេគុណបន្តលំដាប់(hypergeometric series) ។