វិសមភាពតូលេមី

វិសមភាពតូលេមី (Ptolemy's inequality) ជាវិសមភាពសិក្សាពីចំងាយរវាងបួនចំនុច​ក្នុងលំហអាហ្វីនអឺគ្លីដ។

ពំនោលនៃវិសមភាព

គេមានបួនចំនុច A B C និង D ក្នុងលំហអាហ្វីនអឺគ្លីដ។ គេបាន

$\color {magenta}AB\cdot CD\leq AC\cdot BD+AD\cdot BC$

សំរាយបញ្ជាក់

វិសមភាពនេះគឺអាចត្រូវបានគេទាញដោយផ្ទាល់ពី​វិសមភាពត្រីកោណដោយប្រើ Involution ។

តាង a b និង c ជារង្វាស់រៀងគ្នានៃ AB AC និង AD ។

យើងគណនា

${\left\|{\frac {b}{\|b\|^{2}}}-{\frac {c}{\|c\|^{2}}}\right\|}^{2}={\frac {1}{\|b\|^{2}}}-2{\frac {<b|c>}{\|b\|^{2}\|c\|^{2}}}+{\frac {1}{\|c\|^{2}}}={\frac {\|b-c\|^{2}}{\|b\|^{2}\|c\|^{2}}}$

$\left\|{\frac {b}{\|b\|^{2}}}-{\frac {c}{\|c\|^{2}}}\right\|={\frac {\|b-c\|}{\|b\|.\|c\|}}$

ដោយអនុវត្តវិសមភាពត្រីកោណចំពោះ ${\frac {b}{\|b\|^{2}}},\qquad {\frac {c}{\|c\|^{2}}},\qquad {\frac {d}{\|d\|^{2}}}$ គេបាន:

${\frac {\|d-c\|}{\|c\|.\|d\|}}\leq {\frac {\|d-b\|}{\|b\|.\|d\|}}+{\frac {\|b-c\|}{\|b\|.\|c\|}}$

គុណវិសមភាពនេះនឹង $\|b\|.\|c\|.\|d\|$ គេបាន:

$\|b\|.\|d-c\|\leq \|c\|.\|d-b\|+\|d\|.\|b-c\|$

រូបភាពនៃវិសមភាពតូលេមី

ករណីពិសេស

នៅពេលបួនចំនុចរៀងគ្នា A B C និង D បង្កើតបានជាចតុកោណប៉ោង គេបានវិសមភាព​នេះផ្ទៀងផ្ទាត់ លុះត្រាតែ​ចតុកោណប៉ោងនោះមិនមែនជាចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់។

សូមមើលផងដែរ

• ទ្រឹស្តីបទតូលេមី