ទ្រឹស្តីបទតូលេមី

ទ្រឹស្តីបទតូលេមី​ជាទំនាក់ទំនង​រវាង​រង្វាស់ជ្រុងនៃ​ចតុកោណ

ក្នុងគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្តីបទតូលេមី (Ptolemy's theorem) ជាទ្រឹស្តីបទសិក្សាពីទំនាក់ទំនងក្នុងធរណីមាត្រអឺគ្លីតរវាងជ្រុងទាំង៤ និងអង្កត់ទ្រូង២ ឬអង្កត់ធ្នូពីរនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់។ ទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានយកឈ្មោះតាមតារាវិទូ និងជាគណិតវិទូជនជាតិក្រិចឈ្មោះតូលេមី។ បើចតុកោណមានកំពូលជ្រុងរៀងគ្នា A, B, C, និង D នោះគេបានទ្រឹស្តីបទផ្តល់អោយដោយទំនាក់ទំនង

$\color {blue}AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD\,$

ដែល

• AB , BC, CD, AD ជារង្វាស់ជ្រុងនៃចតុកោណ ABCD
• AC និង BD ជារង្វាស់អង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណ ABCD

សំរាយបញ្ជាក់

ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

ខាងក្រោមនេះជាសំរាយបញ្ជាក់នៃទ្រឹស្តីបទតូលេមីដោយប្រើទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស។

គេមានចតុកោណ ABCD ដែល$a=AD,\,b=AB,\,c=BC,\,d=DC\,\,$ និង $\,\,\angle A=\angle DAB,\,\angle B=\angle ABC,\,\angle C=\angle BCD,\,\angle D=\angle CDA\,$។ តាមទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស និងលក្ខណៈនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ គេបាន

$BD^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos A\,$

${\begin{aligned}BD^{2}&=c^{2}+d^{2}-2cd\cos C\\&=c^{2}+d^{2}+2cd\cos A\\\end{aligned}}$

(ព្រោះ $A+C=\pi \Rightarrow \cos C=\cos(\pi -A)=-\cos A\,$)

ដោយបំបាត់ cos A ពីសមីការទាំងពីរខាងលើ យើងបាន

$(ab+cd)BD^{2}=(ad+bc)(ac+bd)\,$

ដូចគ្នាដែរចំពោះអង្កត់ទ្រូង AC យើងបាន

$(ad+bc)AC^{2}=(ab+cd)(ac+bd)\,$

ដោយគុណសមីការនៃអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរចូលគ្នា យើងបាន

${\begin{aligned}(ab+cd)(bc+ad)AC^{2}\cdot BD^{2}&=(ac+bd)^{2}(ad+bc)(ab+cd)\\AC^{2}\cdot BD^{2}&=(ac+bd)^{2}\\AC\cdot BD&=ac+bd\\\end{aligned}}$

ដូចនេះ

$\color {blue}AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD\,$

សំរាយបញ្ជាក់តាមលក្ខណៈធរណីមាត្រ

សំរាយបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ

តាង ABCD ជាចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់។

មុំចារឹកក្នុង ${\widehat {BAC}}={\widehat {BDC}}$ និង ${\widehat {ADB}}={\widehat {ACB}}$ ដែរ។

សង់ចំនុច K នៅលើអង្កត់ AC ដែល ${\widehat {ABK}}={\widehat {DBC}}$

យើងបាន ${\widehat {ABD}}={\widehat {ABK}}+{\widehat {KBD}}={\widehat {DBC}}+{\widehat {KBD}}={\widehat {KBC}}$ ។

△ABK ដូចគ្នានឹងត្រីកោណ △DBC, ហើយ △ABD ក៏ដូចគ្នានឹង △KBC ។

គេទទួលបានទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោម ${\frac {AK}{AB}}={\frac {CD}{BD}}$ និង ${\frac {CK}{BC}}={\frac {DA}{BD}}$ ។

$\Rightarrow AK\cdot BD=AB\cdot CD$ និង $CK\cdot BD=DA\cdot BD$ ។

បូកអង្គសងខាងនៃទំនាក់ទំនងខាងលើគេបាន $(AK+CK)\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA$

ដោយ $AK+CK=AC\,$

ដូច្នេះគេទទួលបានទ្រឹស្តីបទ

$\color {blue}AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA$

សូមមើលផងដែរ

• វិសមភាពតូលេមី
• ទ្រឹស្តីបទកាសី (Casey's theorem)