ក្នុងធរណីមាត្រ វិសមភាពភីដូ (Pedoe's inequality) ត្រូវបានគេយកឈ្មោះតាមអ្នកគណិតវិទូ និង ធរណីមាត្រវិទូជនជាតិអង់គ្លេសឈ្មោះ ដាន្យែល ភីដូ (Daniel Pedoe )។ វិសមភាពនេះពោលថា ប្រសិនបើ a, b, និង c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណ ដែលមានក្រលាផ្ទៃ f និង A, B, និង C គឺជារង្វាស់នៃជ្រុងនៃត្រីកោណ ដែលមានក្រលាផ្ទៃ F នោះគេបាន
A
2
(
b
2
+
c
2
−
a
2
)
+
B
2
(
a
2
+
c
2
−
b
2
)
+
C
2
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
≥
16
F
f
{\displaystyle \color {Violet}A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\geq 16Ff\,}
ហើយវិសមភាពនេះក្លាយជាសមភាពលុះត្រាតែត្រីកោណ ទាំងពីរដូចគ្នា។
ចូរកត់សំគាល់ថាកន្សោមនៅអង្គខាងធ្វេងនៃវិសមភាព គឺមិនត្រឹមតែស៊ីមេទ្រីក្រោមចំលាស់ ទាំង៦នៃសំនុំនៃគូ
{
(
A
,
a
)
,
(
B
,
b
)
,
(
C
,
c
)
}
{\displaystyle \{(A,a),(B,b),(C,c)\}\,}
វិសមភាពភីដូជាវិសមភាពទូទៅនៃវិសមភាពវេតស្សឹនបុក (Weitzenböck's inequality)។
តាមរូបមន្តហេរុង ចំពោះត្រីកោណ ទាំងពីរគេបាន
16
f
2
=
(
a
+
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
(
a
−
b
+
c
)
(
b
+
c
−
a
)
=
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
2
−
2
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
⇒
16
f
2
+
2
a
4
+
2
b
4
+
2
c
4
=
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}16f^{2}&=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\&\Rightarrow 16f^{2}+2a^{4}+2b^{4}+2c^{4}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\end{aligned}}}
16
F
2
=
(
A
+
B
+
C
)
(
A
+
B
−
C
)
(
A
−
B
+
C
)
(
B
+
C
−
A
)
=
(
A
2
+
B
2
+
C
2
)
2
−
2
(
A
4
+
B
4
+
C
4
)
⇒
16
F
2
+
2
A
4
+
2
B
4
+
2
C
4
=
(
A
2
+
B
2
+
C
2
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}16F^{2}&=(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A^{2}+B^{2}+C^{2})^{2}-2(A^{4}+B^{4}+C^{4})\\&\Rightarrow 16F^{2}+2A^{4}+2B^{4}+2C^{4}=(A^{2}+B^{2}+C^{2})^{2}\end{aligned}}}
ដោយប្រើវិសមភាពកូស៊ី គេបាន
16
F
f
+
2
A
2
a
2
+
2
B
2
b
2
+
2
C
2
c
2
≤
(
16
F
2
+
2
A
4
+
2
B
4
+
2
C
4
)
(
16
f
2
+
2
a
4
+
2
b
4
+
2
c
4
)
≤
(
A
2
+
B
2
+
C
2
)
2
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
2
≤
(
A
2
+
B
2
+
C
2
)
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
≤
A
2
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
+
B
2
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
+
C
2
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}16Ff+2A^{2}a^{2}+2B^{2}b^{2}+2C^{2}c^{2}&\leq {\sqrt {(16F^{2}+2A^{4}+2B^{4}+2C^{4})}}{\sqrt {(16f^{2}+2a^{4}+2b^{4}+2c^{4})}}\\&\leq {\sqrt {(A^{2}+B^{2}+C^{2})^{2}}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}\\&\leq (A^{2}+B^{2}+C^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})\\&\leq A^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+B^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\end{aligned}}}
ជាលទ្ធផល
16
F
f
≤
A
2
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
−
2
a
2
A
2
+
B
2
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
−
2
b
2
B
2
+
C
2
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
−
2
c
2
C
2
≤
A
2
(
a
2
+
b
2
+
c
2
−
2
a
2
)
+
B
2
(
a
2
+
b
2
+
c
2
−
2
b
2
)
+
C
2
(
a
2
+
b
2
+
c
2
−
2
c
2
)
≤
A
2
(
b
2
+
c
2
−
a
2
)
+
B
2
(
a
2
+
c
2
−
b
2
)
+
C
2
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}16Ff&\leq A^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2a^{2}A^{2}+B^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2b^{2}B^{2}+C^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2c^{2}C^{2}\\&\leq A^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-2a^{2})+B^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-2b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-2c^{2})\\&\leq A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\end{aligned}}}
ដូចនេះ
∴
A
2
(
b
2
+
c
2
−
a
2
)
+
B
2
(
a
2
+
c
2
−
b
2
)
+
C
2
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
≥
16
F
f
{\displaystyle \therefore \quad \color {Violet}A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\geq 16Ff\,}
វិសមភាពក្លាយជាសមភាពលុះត្រាតែ
a
A
=
b
B
=
c
C
=
f
F
{\displaystyle {\frac {a}{A}}={\frac {b}{B}}={\frac {c}{C}}={\sqrt {\frac {f}{F}}}}
