ត្រីកោណដែលមានប្រវែងជ្រុង a b និង c ។ រូបមន្តហេរុង (Heron's formula) ជារូបមន្តសំរាប់រកក្រលាផ្ទៃត្រីកោណ នៅពេលដែលគេស្គាល់ប្រវែងជ្រុងទាំង៣នៃត្រីកោណ នោះ។ នៅក្នុងធរណីមាត្រ រូបមន្តហេរុងចែងថាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ដែលមានជ្រុងរៀងគ្នា a, b និង c គឺកំនត់ដោយរូបមន្ត
S
=
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
{\displaystyle \color {blue}S={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}}
ដែល p ជាប្រវែងកន្លះបរិមាត្រ នៃត្រីកោណ កំនត់ដោយរូបមន្ត
p
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}
ដោយមិនប្រើអក្សរ p រូបមន្តហេរុងអាចសរសេរ
S
=
(
a
+
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
(
b
+
c
−
a
)
(
c
+
a
−
b
)
4
{\displaystyle S={\ {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}}\ \over 4}}
S
=
2
(
a
2
b
2
+
a
2
c
2
+
b
2
c
2
)
−
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
4
{\displaystyle S={\ {\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\,}}\ \over 4}}
S
=
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
2
−
2
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
4
{\displaystyle S={\ {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\,}}\ \over 4}}
រូបមន្តហេរុងអាចស្រាយបញ្ជាក់ដោយប្រើ ផលធៀបត្រីកោណមាត្រ ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស និងការដាក់ជាផលគុណកក្តា។
គេមានត្រីកោណ ABC ដែលមានប្រវែងជ្រុងរៀងគ្នា a b c និងមុំ ឈមនៃជ្រុងនិមួយៗ A B C ហើយនិង h ជាកំពស់ គូសពីកំពូល A មកជ្រុង BC។ តាមទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស
cos
C
=
a
2
+
b
2
−
c
2
2
a
b
{\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}
និងទំនាក់ទំនង
sin
C
=
1
−
cos
2
C
{\displaystyle \sin C={\sqrt {1-\cos ^{2}C}}}
នោះគេបានក្រលាផ្ទៃ S នៃត្រីកោណ ABC ស្មើនឹង
S
=
1
2
a
h
=
1
2
a
b
sin
C
=
1
2
a
b
1
−
cos
2
C
=
1
2
a
b
(
1
+
cos
C
)
(
1
−
cos
C
)
=
1
2
a
b
(
1
−
c
2
−
a
2
−
b
2
2
a
b
)
(
1
+
c
2
−
a
2
−
b
2
2
a
b
)
=
1
4
(
(
a
+
b
)
2
−
c
2
)
(
c
2
−
(
a
−
b
)
2
)
=
1
4
(
a
+
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
(
−
a
+
b
+
c
)
(
a
−
b
+
c
)
{\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {1}{2}}ah={\frac {1}{2}}ab\sin C={\frac {1}{2}}ab{\sqrt {1-\cos ^{2}C}}\\&={\frac {1}{2}}ab{\sqrt {(1+\cos C)(1-\cos C)}}\\&={\frac {1}{2}}ab{\sqrt {\left(1-{\frac {c^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab}}\right)\left(1+{\frac {c^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab}}\right)}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\left((a+b)^{2}-c^{2}\right)\left(c^{2}-(a-b)^{2}\right)}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)}}\\\end{aligned}}}
គេទទួលបានរូបមន្តហេរុងដោយជំនួស
a
=
2
p
−
b
−
c
{\displaystyle \ a=2p-b-c\,}
S
=
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
{\displaystyle \color {blue}S={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}}
រូបមន្តហេរុងជាករណីពិសេសនៃរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា (Brahmagupta's formula ) ចំពោះក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹក្នុងរង្វង់ ។ រូបមន្តទាំងពីរសុទ្ធជាករណីពិសេសនៃរូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ (Bretschneider's formula) ចំពោះក្រលាផ្ទៃ នៃចតុកោណ ។ ក្នុងករណីទាំងពីរនេះ គេទទួលបានរូបមន្តហេរុងដោយកំនត់អោយរង្វាស់ជ្រុងណាមួយនៃចតុកោណ ស្មើសូន្យ។
រូបមន្តហេរុងក៏ជាករណីពិសេសនៃរូបមន្តក្រលាផ្ទៃ នៃចតុកោណព្នាយ ផងដែរ។ គេទទួលរូបមន្តហេរុងពីករណីដោយកំនត់អោយរង្វាស់ជ្រុងស្របដែលខ្លីអោយស្មើសូន្យ។
រូបមន្តហេរុងសំដែងដោយដេទែមីណង់ រឹសការ៉េនៃចំងាយរវាងកំពូលដែលផ្តល់អោយទាំងបីដូចខាងក្រោម
S
=
1
4
|
0
a
2
b
2
1
a
2
0
c
2
1
b
2
c
2
0
1
1
1
1
0
|
{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}}
បើ
U
,
V
,
W
,
u
,
v
,
w
{\displaystyle U,\,V,\,W,\,u,\,v,\,w}
តេត្រាអែត (បីដំបូងបង្កើតបានត្រីកោណ មួយ ;
u
{\displaystyle u\,}
U
{\displaystyle U\,}
V
=
(
−
a
+
b
+
c
+
d
)
(
a
−
b
+
c
+
d
)
(
a
+
b
−
c
+
d
)
(
a
+
b
+
c
−
d
)
192
u
v
w
{\displaystyle V={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}}
ដែល
V
{\displaystyle V\,}
មាឌតេត្រាអែត
a
=
x
Y
Z
{\displaystyle a={\sqrt {xYZ}}}
b
=
y
Z
X
{\displaystyle b={\sqrt {yZX}}}
c
=
z
X
Y
{\displaystyle c={\sqrt {zXY}}}
d
=
x
y
z
{\displaystyle d={\sqrt {xyz}}}
X
=
(
w
−
U
+
v
)
(
U
+
v
+
w
)
{\displaystyle X=(w-U+v)\,(U+v+w)}
x
=
(
U
−
v
+
w
)
(
v
−
w
+
U
)
{\displaystyle x=(U-v+w)\,(v-w+U)}
Y
=
(
u
−
V
+
w
)
(
V
+
w
+
u
)
{\displaystyle Y=(u-V+w)\,(V+w+u)}
y
=
(
V
−
w
+
u
)
(
w
−
u
+
V
)
{\displaystyle y=(V-w+u)\,(w-u+V)}
Z
=
(
v
−
W
+
u
)
(
W
+
u
+
v
)
{\displaystyle Z=(v-W+u)\,(W+u+v)}
z
=
(
W
−
u
+
v
)
(
u
−
v
+
W
)
{\displaystyle z=(W-u+v)\,(u-v+W)}
