សញ្ញាណត្រីកោណខុនវេ

ក្នុងធរណីមាត្រ សញ្ញាណត្រីកោណខុនវេ (Conway triangle notation)ដែលត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាមលោក ចន ហរតុន ខុនវេ(John Horton Conway) អនុញ្ញាតអោយអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃត្រីកោណមួយ ត្រូវដាក់ជាលក្ខណៈពិជគណិត ។ គេអោយត្រីកោណដែលមានជ្រុង a, b និង c ហើយមានមុំក្នុងA, B និង C រៀងគ្នា ។ សញ្ញាណត្រីកោណខុនវេ សំដែងដោយ

$S=bc\sin A=ac\sin B=ab\sin C\,$

ដែល S = 2 × ជាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ហើយ :$S_{\varphi }=S\cot \varphi \,$

ជាពិសេស

$S_{A}=S\cot A=bc\cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2}}\,$

$S_{B}=S\cot B=ac\cos B={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\,$

$S_{C}=S\cot C=ab\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}}\,$

$S_{\omega }=S\cot \omega ={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}\,$      ដែល $\omega \,$ជាមុំប៊្រូកាត(Brocard angle)។

$S_{\frac {\pi }{3}}=S\cot {\frac {\pi }{3}}=S{\frac {\sqrt {3}}{3}}\,$

$S_{2\varphi }={\frac {S_{\varphi }^{2}-S^{2}}{2S_{\varphi }}}\quad \quad S_{\frac {\varphi }{2}}=S_{\varphi }+{\sqrt {S_{\varphi }^{2}+S^{2}}}\,$    ចំពោះតំលៃរបស់   $\varphi$  ដែល   $0<\varphi <\pi \,$

$S_{\vartheta +\varphi }={\frac {S_{\vartheta }S_{\varphi }-S^{2}}{S_{\vartheta }+S_{\varphi }}}\quad \quad S_{\vartheta -\varphi }={\frac {S_{\vartheta }S_{\varphi }+S^{2}}{S_{\varphi }-S_{\vartheta }}}\,$

ដូច្នេះ

$\sin A={\frac {S}{bc}}={\frac {S}{\sqrt {S_{A}^{2}+S^{2}}}}\quad \quad \cos A={\frac {S_{A}}{bc}}={\frac {S_{A}}{\sqrt {S_{A}^{2}+S^{2}}}}\quad \quad \tan A={\frac {S}{S_{A}}}\,$

លក្ខណៈសំខាន់ខ្លះៗ

$\sum _{\text{cyclic}}S_{A}=S_{A}+S_{B}+S_{C}=S_{\omega }\,$

$S^{2}=b^{2}c^{2}-S_{A}^{2}=a^{2}c^{2}-S_{B}^{2}=a^{2}b^{2}-S_{C}^{2}\,$

$S_{B}S_{C}=S^{2}-a^{2}S_{A}\quad \quad S_{A}S_{C}=S^{2}-b^{2}S_{B}\quad \quad S_{A}S_{B}=S^{2}-c^{2}S_{C}\,$

$S_{A}S_{B}S_{C}=S^{2}(S_{\omega }-4R^{2})\,$

ដែល R ជាកាំនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅ ហើយ $abc=2SR\,$​ ។

$\sin A\sin B\sin C={\frac {S}{4R^{2}}}\quad \quad \cos A\cos B\cos C={\frac {S_{\omega }-4R^{2}}{4R^{2}}}$

$\sum _{\text{cyclic}}\sin A={\frac {S}{2Rr}}\quad \quad \sum _{\text{cyclic}}\cos A={\frac {S^{2}-4S_{\omega }r^{2}-12Rr^{3}}{4Rr^{3}}}\,$    ដែល $r\,$ ជា កាំនៃរង្វង់ចារឹកក្នុង ហើយ    $a+b+c={\frac {S}{r}}\,$

រូមន្តមានប្រយោជន៍ខ្លះៗ

$\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}=a^{2}S_{A}+b^{2}S_{B}+c^{2}S_{C}=2S^{2}\quad \quad \sum _{\text{cyclic}}a^{4}=2(S_{\omega }^{2}-S^{2})\,$

$\sum _{\text{cyclic}}S_{A}^{2}=S_{\omega }^{2}-2S^{2}\quad \quad \sum _{\text{cyclic}}S_{B}S_{C}=S^{2}\quad \quad \sum _{\text{cyclic}}b^{2}c^{2}=S_{\omega }^{2}+S^{2}\,$

ឧទាហរណ៍ខ្លះដោយប្រើសញ្ញាណត្រីកោណខុនវេ

តាងD ជាចំនុចរវាងពីរចំនុច P និង Q ដែលកូអរដោនេទ្រីលីនេអ៊ែរ(trilinear coordinates)របស់វា គឺ p_a : p_b : p_c and q_a : q_b : q_c ។ តាង K_p = ap_a + bp_b + cp_c ហើយតាង K_p = aq_a + bq_b + cq_c ។ នោះ D អោយដោយរូបមន្ត

$D^{2}=\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}\left({\frac {p_{a}}{K_{p}}}-{\frac {q_{a}}{K_{q}}}\right)^{2}\,$

ដោយប្រើរូបមន្តនេះ គេអាចគណនា OHដែលជាចំងាយរវាងផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅ​ និងអរតូសង់ ដូចខាងក្រោម

ចំពោះផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅ $p_{a}=aS_{A}\,$ និង ចំពោះអរតូសង់ $q_{a}={\frac {S_{B}S_{C}}{a}}\,$

$K_{p}=\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}=2S^{2}\quad \quad K_{q}=\sum _{\text{cyclic}}S_{B}S_{C}=S^{2}\,$

ដូច្នេះ

${\begin{aligned}D^{2}&{}=\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}\left({\frac {aS_{A}}{2S^{2}}}-{\frac {S_{B}S_{C}}{aS^{2}}}\right)^{2}\\&{}={\frac {1}{4S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{4}S_{A}^{3}-{\frac {S_{A}S_{B}S_{C}}{S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}+{\frac {S_{A}S_{B}S_{C}}{S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}S_{B}S_{C}\\&{}={\frac {1}{4S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}^{2}(S^{2}-S_{B}S_{C})-2(S_{\omega }-4R^{2})+(S_{\omega }-4R^{2})\\&{}={\frac {1}{4S^{2}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}^{2}-{\frac {S_{A}S_{B}S_{C}}{S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}-(S_{\omega }-4R^{2})\\&{}={\frac {1}{4S^{2}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}(b^{2}c^{2}-S^{2})-{\frac {1}{2}}(S_{\omega }-4R^{2})-(S_{\omega }-4R^{2})\\&{}={\frac {3a^{2}b^{2}c^{2}}{4S^{2}}}-{\frac {1}{4}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}-{\frac {3}{2}}(S_{\omega }-4R^{2})\\&{}=3R^{2}-{\frac {1}{2}}S_{\omega }-{\frac {3}{2}}S_{\omega }+6R^{2}\\&{}=9R^{2}-2S_{\omega }.\end{aligned}}$

នាំអោយ

$OH={\sqrt {9R^{2}-2S_{\omega }\,}}\,$