នៅក្នុងគណិតវិទ្យា អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍សនិទានដឺក្រេ២ជាអាំងតរក្រាលនៃអនុគមន៍ដែលមានរាង
![{\displaystyle \color {blue}\int {\frac {dx}{a+bx+cx^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff8715eda606dc85406ad2323d382c3e4b0f48f9)
វាអាចគណនាដោយបំលែងភាគបែងជាទំរង់ការ៉េ
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{a+bx+cx^{2}}}={\frac {1}{c}}\int {\frac {dx}{\left(x+{\frac {b}{2c}}\right)^{2}+\left({\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be13d52bec014c1df115692daff2379b518f407f)
ករណីឌីគ្រីមីណង់ជាចំនួនវិជ្ជមាន
[កែប្រែ]
ដោយសន្មតឌីគ្រីមីណង់ Δ = b2 − 4ac ជាចំនួនវិជ្ជមាន។ ក្នុងករណីនេះតាង u និង Aដោយ
![{\displaystyle u=x+{\frac {b}{2c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01902795bf686c932d4fac07d559525e383fa60d)
និង
![{\displaystyle -A^{2}={\frac {\Delta }{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}={\frac {1}{4c^{2}}}\left(4ac-b^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a666b9a6e74f70b40b87746ff3710f4f8f985236)
អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍សនិទានដឺក្រេទី២អាចសរសេរ
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{a+bx+cx^{2}}}={\frac {1}{c}}\int {\frac {du}{u^{2}-A^{2}}}={\frac {1}{c}}\int {\frac {du}{(u+A)(u-A)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/895cec2be292442ac453ba637aa95987a2f802ea)
ដោយពន្លាតប្រភាគ គេបាន
![{\displaystyle {\frac {1}{(u+A)(u-A)}}={\frac {1}{2A}}\left({\frac {1}{u-A}}-{\frac {1}{u+A}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/498988a9bcf5b35737b8dff63a36bc171a2ab780)
យើងបាន
(ដែល K ជាថេរអាំងតេក្រាល)
គេទទួលលទ្ធផលនៃអាំងតេក្រាលក្នុងករណី Delta; > 0 គឺ
(ដែល
)
ករណីឌីគ្រីមីណង់ជាចំនួនអវិជ្ជមាន
[កែប្រែ]
ដោយសន្មតឌីគ្រីមីណង់ Δ = b2 − 4ac ជាចំនួនអវិជ្ជមាន។ តួទី២នៃប្រភាគ
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{a+bx+cx^{2}}}={\frac {1}{c}}\int {\frac {dx}{\left(x+{\frac {b}{2c}}\right)^{2}+\left({\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be13d52bec014c1df115692daff2379b518f407f)
គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន។ នោះអាំងតេក្រាលក្លាយជា
![{\displaystyle {\frac {1}{c}}\int {\frac {du}{u^{2}+A^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19bd95da4a9fd7d247b25c62c0f6138f8cac3779)
![{\displaystyle ={\frac {1}{cA}}\int {\frac {du/A}{(u/A)^{2}+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f9b84b2a17d81452ceadb708e994bbbd0833045)
![{\displaystyle ={\frac {1}{cA}}\int {\frac {dw}{w^{2}+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edda74818856a7ba749609ce509f6a289c3f1a25)
![{\displaystyle ={\frac {1}{cA}}\arctan(w)+\mathrm {K} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/440050b62e62eeb13ca7697c815c72f716c7e66e)
![{\displaystyle ={\frac {1}{cA}}\arctan \left({\frac {u}{A}}\right)+\mathrm {K} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff95b97bd48836f193b5ea0adc3bee532feb730f)
![{\displaystyle ={\frac {1}{c{\sqrt {{\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}}}}}\arctan \left({\frac {x+{\frac {b}{2c}}}{\sqrt {{\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}}}}\right)+\mathrm {K} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a08fd43b690db1ca6cbde17db877c8273b97c4)
![{\displaystyle ={\frac {2}{\sqrt {4ac-b^{2}\,}}}\arctan \left({\frac {2cx+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\right)+\mathrm {K} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09bf762cca86b4742d5b24ee4fe94821a4038c44)
ដែល K ជាចំនួនថេរ (ថេរអាំងតេក្រាល)