អនុគមន៍
|
ដេរីវេ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគឺជាវិធីសាស្ត្រគណិតវិទ្យាមួយក្នុងស្វែងរកអត្រាដែលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមួយធ្វើការផ្លាស់ប្តូរដោយគោរពតាមអថេរ។ វាក៏ត្រូវបានគេហៅម្យ៉ាងទៀតថាជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រធម្មតាទូទៅរួមមាន
និង
។
ឧទាហរណ៍៖ ក្នុងគណនា
ដោយធ្វើដេរីរេនៃអនុគមន៍
ដែលជាការគណនាអត្រាបំលាស់ប្តូរនៃអនុគមន៍
នៅត្រង់ចំនុច a មួយ។ តំលៃនៃអត្រានៅត្រង់ចំនុច a គឺផ្តល់អោយដោយ
។ ការយល់ដឹងអំពីឌីផេរ៉ង់ស្យែលពីគោលការណ៍បឋមគឺជាការចាំបាច់ ជាមួយនឹងការប្រើប្រាស់លក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ និងលីមីត។ គ្រប់អនុគមន៍ទាំងអស់គឺជាប់ទាក់ទងនឹងតំលៃ arbitrary នៃ x ជាមួយនឹងគ្រប់ឌីផេរ៉ង់ស្យែលសំដែងដោយគោរពតាម x ។
ដេរីវេនៃ sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x) and csc(x) និងអនុគមន៍ច្រាស់របស់វា
[កែប្រែ]
![{\displaystyle f(x)=\sin(x)\implies f'(x)=\cos(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27c48172a51d5b82785d3d26a3d945eb942cfcb0)
![{\displaystyle f(x)=\cos(x)\implies f'(x)=-\sin(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dedaa93b62f701e3417969949cf2e5a2e3c6122f)
![{\displaystyle f(x)=\tan(x)\implies f'(x)=(\tan(x))'=\left({\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)=\sec ^{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eabdbb1147f940e6da646d361f4fe3ad19a4eb1b)
![{\displaystyle f(x)=\cot(x)\implies f'(x)=(\cot(x))'=\left({\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}\right)'={\frac {-\sin ^{2}(x)-\cos ^{2}(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-(1+\cot ^{2}(x))=-\csc ^{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94f304208f603f66c540b6ce2449d15caae2518d)
![{\displaystyle f(x)=\sec(x)\implies f'(x)=(\sec(x))'=\left({\frac {1}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos(x)}}.{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}=\sec(x)\tan(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfbaa8f5cebaf0d821c39cd893a2dd2b26cbd7ac)
![{\displaystyle f(x)=\csc(x)\implies f'(x)=(\csc(x))'=\left({\frac {1}{\sin(x)}}\right)'=-{\frac {\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-{\frac {1}{\sin(x)}}.{\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}=-\csc(x)\cot(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7fa806592aa1a96ced2b5935b2865b4f1bab2f3)
![{\displaystyle f(x)=\arcsin(x)\implies f'(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e2c70ffed114f1126aef4f05ea53a7450aad30)
![{\displaystyle f(x)=\arccos(x)\implies f'(x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29e81d77d1cdb77e5a5d0514cca463ca8369b278)
![{\displaystyle f(x)=\arctan(x)\implies f'(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e6e4eb00db64af3469af7283a5046418564f37)
សំរាយបញ្ជាក់នៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស និងកូសីនុស
[កែប្រែ]
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស
[កែប្រែ]
តាមនិយមន័យដេរីរេនៃ f(x) គេបាន៖
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/532b1fb2dc92a00dbd79baab51e3b8f0074dd3fb)
ហេតុនេះបើ f(x) = sin(x) គេបាន
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\sin(x+h)-\sin(x) \over h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0080730cda68e5c6da8688a60aef009fd356e050)
ប្រើលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ គេបាន
យើងអាចថា
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x) \over h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80c96e32b0a04bb80b228fb648fb7c506e570c53)
ផ្តុំតួ cos(x) និង sin(x) នោះគេបានដេរីវេក្លាយជា
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)-\sin(x)(1-\cos(h)) \over h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/342fe479e29b6b16b83b1a519c3ef5247d3116bd)
រៀបឡើងវិញនូវតួនិមួយៗ និងធ្វើលីមីត គេបាន
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\cos(x)\sin(h) \over h}-\lim _{h\to 0}{\sin(x)(1-\cos(h)) \over h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a3e79714feb3ec340a1d6070cde3ff6f8675118)
ដោយសារ sin(x) និង cos(x) មិនខុសគ្នានឹង h
![{\displaystyle f'(x)=\cos(x)\lim _{h\to 0}{\sin(h) \over h}-\sin(x)\lim _{h\to 0}{1-\cos(h) \over h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/858653f57df1ef3380c89113a38a2fc39d3357b2)
តំលៃនៃលីមីត
និង ![{\displaystyle \quad \lim _{h\to 0}{1-\cos(h) \over h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73518863b5d9b59f6ad369d26dece51b7f2c33bf)
គឺស្មើ ១ និង ០ ។ ដូច្នេះបើ f(x) = sin(x) គេបាន
![{\displaystyle f'(x)=\cos(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96892014f9eacebe3b0d6bbe82a1f2594c4a9dff)
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុស
[កែប្រែ]
តាមនិយមន័យដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) គេបាន៖
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/532b1fb2dc92a00dbd79baab51e3b8f0074dd3fb)
ហេតុនេះបើ f(x) = cos(x) គេបាន
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\cos(x+h)-\cos(x) \over h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69ccad88f867aa2535a81d2729e02845dbfdecbf)
យោងតាមលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ
យើងបាន
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x) \over h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e1edef0f44f53448dc69f8593c8401ed2c8155)
ផ្តុំតួ sin(x) និង cos(x) នោះគេបានដេរីវេក្លាយជា
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)(1-\cos(h)) \over h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e70cd74113719a169940158aefbb1e01122c5c5)
រៀបឡើងវិញនូវតួនិមួយៗ និងធ្វើលីមីត គេបាន
![{\displaystyle f'(x)=-\lim _{h\to 0}{\sin(x)\sin(h) \over h}-\lim _{h\to 0}{\cos(x)(1-\cos(h)) \over h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/921cc761f04c9dc26f31bfeaddaa7b4ae3ba7e08)
ដោយសារតែ sin(x) និង cos(x) មិនខុសពី h គេបាន
![{\displaystyle f'(x)=-\sin(x)\lim _{h\to 0}{\sin(h) \over h}-\cos(x)\lim _{h\to 0}{1-\cos(h) \over h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca7399b97a0769152789c01d7b8b63a12692f1aa)
តំលៃនៃលីមីត
និង ![{\displaystyle \quad \lim _{h\to 0}{1-\cos(h) \over h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73518863b5d9b59f6ad369d26dece51b7f2c33bf)
គឺស្មើនឹង ១ និង ០ ។ ហេតុនេះបើ f(x) = cos(x) គេបាន
![{\displaystyle f'(x)=-\sin(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a40b604b0981f183fecb0373cf21cba6f9f389d)
សំរាយបញ្ជាក់ដេរីវេនៃអនុគមន៍តង់សង់
[កែប្រែ]
យើងមាន
![{\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a3015775a256d35a32493d1322366b2e08458c)
តាង
និង
ចំពោះ
នោះបានដេរីវេនៃ
កំនត់ដោយ
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c88a63b6dca6feb28c3fbfa5db1925eb400bfd4)
យោងតាមសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រនៃអនុគមន៍តង់សង់
![{\displaystyle \tan(x)={sin(x) \over \cos(x)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b954878c4f991d3455a20ce0bd32bed469c330f7)
ដោយ
- ដេរីវេនៃ
គឺ ![{\displaystyle g'(x)=\cos(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf96679378e1dcd512cf8a444704f461d97e9ba3)
- ដេរីវេនៃ
គឺ ![{\displaystyle h'(x)=-\sin(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42195ddb624335d228babe68b64ceee7974fca53)
ដោយជំនួសតំលៃនៃដេរីវេ គេបាន
![{\displaystyle f'(x)={\frac {\cos(x)\cos(x)-\sin(x)[-\sin(x)]}{\cos ^{2}(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8d414bbb87f90f8da3356dd149e56a44c5a0d93)
បន្ទាប់ពីធ្វើប្រមាណរួចគេបាន
![{\displaystyle f'(x)={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a122a766b18d14d46a663a31b6ad6cb9cd9fa52)
ដោយអនុវត្តន៍សញ្ញាណនៃត្រីកោណមាត្រខាងក្រោម
និង ![{\displaystyle \sec(x)={\frac {1}{cos(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1502d2bd88f22383714a6ead4feb69dc551bc0d8)
គេបាន
![{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=\sec ^{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4ebd7dbbb024a0e86c9c6641d27c676ba848c53)
សំរាយបញ្ជាក់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ច្រាស់ត្រីកោណមាត្រ
[កែប្រែ]
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ស៊ីនុសច្រាស់ (អាកស៊ីនុស)
[កែប្រែ]
យើងតាង
![{\displaystyle y=\arcsin x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/923cd64874164a0373402c195d007471d058024d)
ដោយប្រើឌីផេរ៉រង់ស្យែលអ៊ីមផ្លីស៊ីត (implicit differentiation) ចំពោះ dy/dx គេបាន៖
![{\displaystyle {d \over dx}\sin y={d \over dx}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/824d3cdb514e8b557b550ad81ab925374be92a97)
![{\displaystyle {dy \over dx}\cos y=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e228280bdfe923219e69004f4951581427a41b7)
![{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\cos y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f135233085c3f002a4002ff6ee8141fea6f7e578)
ដោយជំនួស y ក្នុងទំរង់ខាងលើ យើងបាន
![{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\cos(\arcsin x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/951d83f1ff54c1b624de081783069177814c9fbb)
ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និងទ្រឹស្តីបទពីតាករ យើងបាន
![{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b9fa9f0c15875e1a16e27d457ec6d25b8c6e81e)
ដូច្នេះ បើ f(x) = arcsin(x) យើងបាន
![{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11ba78a29c7c922982b6105cdc3495305cfbb6b3)
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុសច្រាស់ (អាកកូស៊ីនុស)
[កែប្រែ]
យើងតាង
![{\displaystyle y=\arccos x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66680271ac26416924f858ed0510685625dc2bb4)
នោះគេបាន
![{\displaystyle \cos y=x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d6bd9f090ded028df81b3dd0523386ebe4a6795)
ដោយប្រើឌីផេរ៉រង់ស្យែលអ៊ីមផ្លីស៊ីត (implicit differentiation) ចំពោះ dy/dx គេបាន៖
![{\displaystyle {d \over dx}\cos y={d \over dx}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52697d0ad08dc0fb61f85c3f79710f2b3d69f85b)
![{\displaystyle -{dy \over dx}\sin y=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b88f2bfe51c81e5ceb71a2fcaad97e7529ff1c6e)
![{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {-1}{\sin y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/929c3cacd982d9c37e0a9bb4236799c532a38f57)
ដោយជំនួស y ក្នុងទំរង់ខាងលើ យើងបាន
![{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {-1}{\sin(\arccos x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2211d8cdaca25f70b5deae47c09128268fc9732a)
ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និងទ្រឹស្តីបទពីតាករ យើងបាន
![{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/427c0ba1e2f57dd94a126bcd51c6bcd4fb3bf903)
ដូច្នេះ បើ f(x) = arccos(x) យើងបាន
![{\displaystyle f'(x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ca31c4366a39485a9f7c1bdd91e54e5e54c6ccf)
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍តង់សង់ច្រាស់ (អាកតង់សង់)
[កែប្រែ]
យើងតាង
![{\displaystyle y=\arctan x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081258cf78980ede454a817f72f403e92c0c8f5c)
នោះយើងបាន
![{\displaystyle \tan y=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2436900ff8234effa467e9970b14bb8b6222c271)
ដោយប្រើឌីផេរ៉រង់ស្យែលអ៊ីមផ្លីស៊ីត (implicit differentiation) ចំពោះ dy/dx យើងបាន៖
![{\displaystyle {d \over dx}\tan y={d \over dx}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e1cd369fc60d28d3998290f6525e50b5be5951b)
![{\displaystyle {dy \over dx}\sec ^{2}y=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d15040e29a126919f9f983a885ddb974d9bd0bac)
![{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\sec ^{2}y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca494e31d3844177eb4b860531891ca3c685f40e)
ដោយជំនួស y ក្នុងទំរង់ខាងលើ តើងបាន
![{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\sec ^{2}(\arctan x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a444c4ae971cd70bb01d01f0de5cdd8c1a6b45f5)
ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និងទ្រឹស្តីបទពីតាករ យើងបាន
![{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\left({\sqrt {x^{2}+1}}\right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c835d57b15a975f29d26ba0df23f283b5c14a239)
![{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{x^{2}+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c274a97c272f7e74f62e73acd7e6e1173e45ea9)
ដូច្នេះ បើ f(x) = arctan(x)
![{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d37bfaab02905f8eb159b83995c9b0c501c978bb)
វាមានភាពងាយស្រួលជាងដើម្បីទាញបានទំនាក់ទំនង៖
ចូរស្វែងយល់អំពីដេរីវេនៃ
គឺ
។