ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

អនុគមន៍	ដេរីវេ
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\tan(x)$	$\sec ^{2}(x)$
$\cot(x)$	$-\csc ^{2}(x)$
$\sec(x)$	$\sec(x)\tan(x)$
$\csc(x)$	$-\csc(x)\cot(x)$
$\arcsin(x)$	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos(x)$	${\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arctan(x)$	${\frac {1}{x^{2}+1}}$

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគឺជាវិធីសាស្ត្រគណិតវិទ្យា​មួយក្នុងស្វែងរកអត្រាដែលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមួយធ្វើការផ្លាស់ប្តូរដោយគោរពតាម​អថេរ។ វាក៏ត្រូវបានគេហៅម្យ៉ាងទៀតថាជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រធម្មតាទូទៅរួមមាន $\sin(x),\cos(x)\,$ និង  $\tan(x)\,$។

ឧទាហរណ៍៖ ក្នុងគណនា $f'(x)\,$ ដោយធ្វើដេរីរេនៃអនុគមន៍ $f(x)=\sin(x)\,$ ដែលជាការគណនាអត្រាបំលាស់ប្តូរនៃអនុគមន៍ $\sin(x)\,$ នៅត្រង់ចំនុច a មួយ។ តំលៃនៃអត្រានៅត្រង់ចំនុច a គឺផ្តល់អោយដោយ $f'(a)\,$ ។ ការយល់ដឹងអំពីឌីផេរ៉ង់ស្យែលពីគោលការណ៍បឋមគឺជាការចាំបាច់ ជាមួយនឹងការប្រើប្រាស់លក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ និងលីមីត។ គ្រប់អនុគមន៍ទាំងអស់គឺជាប់ទាក់ទងនឹងតំលៃ arbitrary នៃ x ជាមួយនឹងគ្រប់ឌីផេរ៉ង់ស្យែលសំដែងដោយគោរពតាម x ។

ដេរីវេនៃ sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x) and csc(x) និងអនុគមន៍ច្រាស់របស់វា

$f(x)=\sin(x)\implies f'(x)=\cos(x)$

$f(x)=\cos(x)\implies f'(x)=-\sin(x)$

$f(x)=\tan(x)\implies f'(x)=(\tan(x))'=\left({\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)=\sec ^{2}(x)$

$f(x)=\cot(x)\implies f'(x)=(\cot(x))'=\left({\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}\right)'={\frac {-\sin ^{2}(x)-\cos ^{2}(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-(1+\cot ^{2}(x))=-\csc ^{2}(x)$

$f(x)=\sec(x)\implies f'(x)=(\sec(x))'=\left({\frac {1}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos(x)}}.{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}=\sec(x)\tan(x)$

$f(x)=\csc(x)\implies f'(x)=(\csc(x))'=\left({\frac {1}{\sin(x)}}\right)'=-{\frac {\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-{\frac {1}{\sin(x)}}.{\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}=-\csc(x)\cot(x)$

$f(x)=\arcsin(x)\implies f'(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$f(x)=\arccos(x)\implies f'(x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$f(x)=\arctan(x)\implies f'(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}$

សំរាយបញ្ជាក់នៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស និងកូសីនុស

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស

តាមនិយមន័យដេរីរេនៃ f(x) គេបាន៖

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}$

ហេតុនេះបើ f(x) = sin(x) គេបាន

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\sin(x+h)-\sin(x) \over h}$

ប្រើលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ គេបាន

$\sin(A+B)=\sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B)\,$ យើងអាចថា

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x) \over h}$

ផ្តុំតួ cos(x) និង sin(x) នោះគេបានដេរីវេក្លាយជា

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)-\sin(x)(1-\cos(h)) \over h}$

រៀបឡើងវិញនូវតួនិមួយៗ និងធ្វើលីមីត គេបាន

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\cos(x)\sin(h) \over h}-\lim _{h\to 0}{\sin(x)(1-\cos(h)) \over h}$

ដោយសារ sin(x) និង cos(x) មិនខុសគ្នានឹង h

$f'(x)=\cos(x)\lim _{h\to 0}{\sin(h) \over h}-\sin(x)\lim _{h\to 0}{1-\cos(h) \over h}$

តំលៃនៃលីមីត

$\lim _{h\to 0}{\sin(h) \over h}\quad$  និង  $\quad \lim _{h\to 0}{1-\cos(h) \over h}$

គឺស្មើ ១ និង ០ ។ ដូច្នេះបើ f(x) = sin(x) គេបាន

$f'(x)=\cos(x)\,$

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុស

តាមនិយមន័យដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) គេបាន៖

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}$

ហេតុនេះបើ f(x) = cos(x) គេបាន

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\cos(x+h)-\cos(x) \over h}$

យោងតាមលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ

$\cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)\,$ យើងបាន

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x) \over h}$

ផ្តុំតួ sin(x) និង cos(x) នោះគេបានដេរីវេក្លាយជា

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)(1-\cos(h)) \over h}$

រៀបឡើងវិញនូវតួនិមួយៗ និងធ្វើលីមីត គេបាន

$f'(x)=-\lim _{h\to 0}{\sin(x)\sin(h) \over h}-\lim _{h\to 0}{\cos(x)(1-\cos(h)) \over h}$

ដោយសារតែ sin(x) និង cos(x) មិនខុសពី h គេបាន

$f'(x)=-\sin(x)\lim _{h\to 0}{\sin(h) \over h}-\cos(x)\lim _{h\to 0}{1-\cos(h) \over h}$

តំលៃនៃលីមីត

$\lim _{h\to 0}{\sin(h) \over h}\quad$  និង  $\quad \lim _{h\to 0}{1-\cos(h) \over h}$

គឺស្មើនឹង ១ និង ០ ។ ហេតុនេះបើ f(x) = cos(x) គេបាន

$f'(x)=-\sin(x)\,$

សំរាយបញ្ជាក់ដេរីវេនៃអនុគមន៍តង់សង់

យើងមាន

$f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$

តាង $f(x)=\tan(x),g(x)=\sin(x)\,$ និង $h(x)=\cos(x)\,$

ចំពោះ $h(x)\neq 0\,$ នោះបានដេរីវេនៃ$f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$ កំនត់ដោយ

${\frac {d}{dx}}f(x)=f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}$

យោងតាមសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រនៃអនុគមន៍តង់សង់

$\tan(x)={sin(x) \over \cos(x)}$

ដោយ

ដេរីវេនៃ $g(x)=\sin(x)\,$ គឺ $g'(x)=\cos(x)\,$

ដេរីវេនៃ $h(x)=\cos(x)\,$ គឺ $h'(x)=-\sin(x)\,$

ដោយជំនួសតំលៃនៃដេរីវេ គេបាន

$f'(x)={\frac {\cos(x)\cos(x)-\sin(x)[-\sin(x)]}{\cos ^{2}(x)}}$

បន្ទាប់ពីធ្វើប្រមាណរួចគេបាន

$f'(x)={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}$

ដោយអនុវត្តន៍សញ្ញាណនៃត្រីកោណមាត្រខាងក្រោម

$\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1\,$   និង  $\sec(x)={\frac {1}{cos(x)}}$

គេបាន

$f'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=\sec ^{2}(x)$

សំរាយបញ្ជាក់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ច្រាស់ត្រីកោណមាត្រ

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ស៊ីនុសច្រាស់ (អាកស៊ីនុស)

យើងតាង

$y=\arcsin x\,$

ដោយប្រើឌីផេរ៉រង់ស្យែលអ៊ីមផ្លីស៊ីត (implicit differentiation) ចំពោះ dy/dx គេបាន៖

${d \over dx}\sin y={d \over dx}x$

${dy \over dx}\cos y=1$

${dy \over dx}={\frac {1}{\cos y}}$

ដោយជំនួស y ក្នុងទំរង់ខាងលើ យើងបាន

${dy \over dx}={\frac {1}{\cos(\arcsin x)}}$

ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និងទ្រឹស្តីបទពីតាករ យើងបាន

${dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

ដូច្នេះ បើ f(x) = arcsin(x) យើងបាន

$f'(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុសច្រាស់ (អាកកូស៊ីនុស)

យើងតាង

$y=\arccos x\,$

នោះគេបាន

$\cos y=x\,$

ដោយប្រើឌីផេរ៉រង់ស្យែលអ៊ីមផ្លីស៊ីត (implicit differentiation) ចំពោះ dy/dx គេបាន៖

${d \over dx}\cos y={d \over dx}x$

$-{dy \over dx}\sin y=1$

${dy \over dx}={\frac {-1}{\sin y}}$

ដោយជំនួស y ក្នុងទំរង់ខាងលើ យើងបាន

${dy \over dx}={\frac {-1}{\sin(\arccos x)}}$

ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និងទ្រឹស្តីបទពីតាករ យើងបាន

${dy \over dx}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

ដូច្នេះ បើ f(x) = arccos(x) យើងបាន

$f'(x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍តង់សង់ច្រាស់ (អាកតង់សង់)

យើងតាង

$y=\arctan x\,$

នោះយើងបាន

$\tan y=x$

ដោយប្រើឌីផេរ៉រង់ស្យែលអ៊ីមផ្លីស៊ីត (implicit differentiation) ចំពោះ dy/dx យើងបាន៖

${d \over dx}\tan y={d \over dx}x$

${dy \over dx}\sec ^{2}y=1$

${dy \over dx}={\frac {1}{\sec ^{2}y}}$

ដោយជំនួស y ក្នុងទំរង់ខាងលើ តើងបាន

${dy \over dx}={\frac {1}{\sec ^{2}(\arctan x)}}$

ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និងទ្រឹស្តីបទពីតាករ យើងបាន

${dy \over dx}={\frac {1}{\left({\sqrt {x^{2}+1}}\right)^{2}}}$

${dy \over dx}={\frac {1}{x^{2}+1}}$

ដូច្នេះ បើ f(x) = arctan(x)

$f'(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}$

វាមានភាពងាយស្រួលជាងដើម្បីទាញបានទំនាក់ទំនង៖ $tan(arctan(x))=x\,$

ចូរស្វែងយល់អំពីដេរីវេនៃ $\tan(x)\,$ គឺ $1+tan^{2}(x)\,$ ។

សូមមើលផងដែរ

• ដេរីវេ
• ត្រីកោណមាត្រ
• តារាងដេរីវេ