សញ្ញាយ៉ាកូប៊ី

សញ្ញាយ៉ាកូប៊ី(Jacobi symbol)ត្រូវគេប្រើក្នុងគណិតវិទ្យាក្នុងទ្រឹស្តីបទចំនួន(លេខ)។ វាត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាមលោក ឆាល ហ្គូស្តាវ យ៉ាកូប យ៉ាកូប៊ី ។

ទ្រឹស្តីបទ

សញ្ញាយ៉ាកូប៊ីគឺជាលក្ខណៈទូទៅនៃសញ្ញាឡឺហ្សង់(Legendre Symbol)ដែលត្រូវបានបង្ហាញដោយលោក យ៉ាកូប៊ីនៅឆ្នាំ១៨៣៧។

ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ $a\,$ និងគ្រប់ចំនួនគត់សេស $n\,$ សញ្ញាយ៉ាកូប៊ីគឺត្រូបានកំនត់ជា ផលគុណនៃសញ្ញាឡឺហ្សង់ដែលត្រូវគ្នានឹងកត្តាបឋមនៃ$n\,$។

${\Bigg (}{\frac {a}{n}}{\Bigg )}=\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{\alpha _{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{\alpha _{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{k}}}\right)^{\alpha _{k}}\,$ ដែល $n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}$

$({\tfrac {a}{p}})$ តាងអោយសញ្ញាឡឺហ្សង់ ដែលកំនត់ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់a និង​ ចំនួនសេសបឋមp ដោយ

$\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0{\mbox{ if }}a\equiv 0{\pmod {p}}\\+1{\mbox{ if }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\mbox{ and for some integer }}x,\;a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1{\mbox{ if there is no such }}x.\end{cases}}$

ហើយ ផលគុណទទេ ${\Bigg (}{\frac {a}{1}}{\Bigg )}=1$

លក្ខណៈនៃសញ្ញាយ៉ាកូប៊ី

១. បើ $n\,$គឺជាចំនួនសេស នោះសញ្ញាយ៉ាកូប៊ីក៏ជាសញ្ញាឡឺហ្សង់​។

២. $\left({\frac {a}{n}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0{\mbox{ if }}\gcd(a,n)\neq 1\\\pm 1{\mbox{ if }}\gcd(a,n)=1\end{cases}}$ ឬ $\left({\frac {a}{n}}\right)\in \{0,1,-1\}$

៣. បើ$n\,$ មិនគូ $\left({\frac {ab}{n}}\right)={\Bigg (}{\frac {a}{n}}{\Bigg )}\left({\frac {b}{n}}\right)\,$ ដូច្នេះ $\left({\frac {a^{2}}{n}}\right)=1\,$ ឬ $0\,$ ៤. បើ a ≡ b (mod n) ដូច្នេះ$\left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {b}{n}}\right)$ បើ $n\,$ មិនគូ ។

៥. $\left({\frac {1}{n}}\right)=1$

៦. $\left({\frac {a}{mn}}\right)=\left({\frac {a}{m}}\right)\left({\frac {a}{n}}\right)\,$ ដូច្នេះ $\left({\frac {a}{n^{2}}}\right)=1\,$ ឬ $0\,$

៧. $\left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\frac {(n-1)}{2}}=\left\{{\begin{array}{cl}1&{\textrm {if}}\;n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\textrm {if}}\;n\equiv 3{\pmod {4}}\end{array}}\right.$

៨. $\left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\left({\frac {n^{2}-1}{8}}\right)}$ ស្មើ 1 បើ n ≡ 1 (mod 8) ឬ n ≡ 7 (mod 8) ហើយ −1 បើ n ≡ 3 (mod 8) ឬ n ≡ 5 (mod 8) ។