អនុគមន៍សនិទានឆិប៊ីសេវ

ចំនុចដៅនៃ​អនុគមន៍សន្និទានឆិប៊ីសេវ​ចំពោះ n=0,1,2,3 និង 4 ចំពោះ x នៅចន្លោះ0.01 និង 100

ក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍សនិទានឆិប៊ីសេវ (Chebyshev rational functions) គឺជាស្វ៊ីតនៃអនុគមន៍ទាំងសនិទាន និង អសនិទាន។ អនុគមន៍សន្និទានឆិប៊ីសេវនៃដឺក្រេ n កំណត់ដោយ

$R_{n}(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ T_{n}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)$

ដែល $T_{n}(x)$ គឺពហុធាឆិប៊ីសេវនៃប្រភេទទី១។

លក្ខណៈនៃអនុគមន៍សនិទានឆិប៊ីសេវ

លក្ខណៈជាច្រើនអាចត្រូវបានទាញចេញពីលក្ខណៈនៃពហុធាឆិប៊ីសេវនៃប្រភេទទី១។ លក្ខណៈផ្សេងទៀតគឺមានលក្ខណៈតែមួយចំពោះអនុគមន៍ខ្លួនវា។

ទំនាក់ទំនងរវាងតួជាប់គ្នា (Recursion)

$R_{n+1}(x)=2\,{\frac {x-1}{x+1}}R_{n}(x)-R_{n-1}(x)\quad \mathrm {for\,n\geq 1}$

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

$(x+1)^{2}R_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}{\frac {d}{dx}}\,R_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}{\frac {d}{dx}}\,R_{n-1}(x)\quad \mathrm {for\,n\geq 2}$

$(x+1)^{2}x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\,R_{n}(x)+{\frac {(3x+1)(x+1)}{2}}{\frac {d}{dx}}\,R_{n}(x)+n^{2}R_{n}(x)=0$

អរតូកូណាល់

ចំនុចដៅនៃតំលៃដាច់ខាតនៃលំដាប់ទី៧ (n=7) អនុគមន៍សន្និទានឆិប៊ីសេវ​ចំពោះ x នៅចន្លោះ 0.01 និង 100 ។

$\omega (x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{(x+1){\sqrt {x}}}}$

អរតូកូណាល់នៃអនុគមន៍សនិទានឆិប៊ីសេវអាចត្រូវបានគេសរសេរ

$\int _{0}^{\infty }R_{m}(x)\,R_{n}(x)\,\omega (x)\,dx={\frac {\pi c_{n}}{2}}\delta _{nm}$

ដែល $c_{n}\,$ ស្មើ ២ ចំពោះ n=0 និង $c_{n}\,$ ស្មើ ១ ចំពោះ $n\geq 1\,$ និង $\delta _{nm}\,$ គឺជាអនុគមន៍ដែលតាក្រូនិកឃើ (Kronecker delta function) ។

ការពន្លាតអនុគមន៍

ចំពោះអនុគមន៍ $f(x)\in L_{\omega }^{2}$ ទំនាក់ទំនងអរតូកូណាល់អាចត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីពន្លាតអនុគមន៍ $f(x)$:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}R_{n}(x)$

ដែល

$F_{n}={\frac {2}{c_{n}\pi }}\int _{0}^{\infty }f(x)R_{n}(x)\omega (x)\,dx$

លំលៃពិសេស

$R_{0}(x)=1\,$

$R_{1}(x)={\frac {x-1}{x+1}}\,$

$R_{2}(x)={\frac {x^{2}-6x+1}{(x+1)^{2}}}\,$

$R_{3}(x)={\frac {x^{3}-15x^{2}+15x-1}{(x+1)^{3}}}\,$

$R_{4}(x)={\frac {x^{4}-28x^{3}+70x^{2}-28x+1}{(x+1)^{4}}}\,$