អាំងតេក្រាលប្តូរអថេរ

ក្នុងគណិតវិទ្យា ការ​ប្តូរ​អថេរ​គឺ​ជាវិធីសាស្រ្តជំនួស​អញ្ញត្តិ​ឬ​អនុគមន៍មួយដោយអញ្ញតិ្តមួយ ឬ អនុគមន៍មួយផ្សេងទៀត។ វា​ជា​វិធីសាស្រ្ត​ដ៏​ចំបង​ក្នុង​គណនា​អាំងតេក្រាល។

ក្បួន

នេះជាក្បួនគណនាអាំងតេក្រាលដោយ​ចាប់​ផ្តើម​ពី​ទ្រឹស្តីបទដេរីវេនៃអនុគមន៍បណ្តាក់ (ឬហៅថាក្បួនឆេន, Chain Rule) ។ គេមានពីរអនុគមន៍ដេរីវេ $\ f,g$ និងតាមនិយមន័យអាំងតេក្រាល

$\int f'(x)\mathrm {d} x=\int \mathrm {d} f(x)=f(x)+C$

គេបាន

$\int \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} g(x)}}f(g(x))\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}g(x)\right)\mathrm {d} x=\int \mathrm {d} [f\circ g(x)]=f\circ g(x)+C$

ឧទាហរណ៍

គណនាអាំងតេក្រាល

$\int _{-{\sqrt {\pi }}}^{2{\sqrt {\pi }}}2x\cos(x^{2})\mathrm {d} x$

ដោយការប្តូរអថេរ $\ u=x^{2}$ ហេតុនេះ $\ \mathrm {d} u=2x\mathrm {d} x$ ។ $\ x$ ប្រែប្រួលលើចន្លោះ $-{\sqrt {\pi }}$ និង $2{\sqrt {\pi }}$ គេបាន $\ u$ ប្រែប្រួលលើចន្លោះ $\ \pi$ និង $\ 4\pi$ ។

$\int _{-{\sqrt {\pi }}}^{2{\sqrt {\pi }}}2x\cos(x^{2})\mathrm {d} x=\int _{\pi }^{4\pi }\cos(u)\mathrm {d} u=[\sin(u)]_{\pi }^{4\pi }=\sin(4\pi )-\sin {\pi }=0-0=0$

ទ្រឹស្តីបទ

ពំនោលទ្រឹស្តីបទ

គេមាន $\ f$ ជាអនុគមន៍ជាប់ និង $\ \varphi$ ជាអនុគមន៍នៃថ្នាក់ $\ {\mathcal {C}}^{1}$ (អាចនិយាមបានថាជាអនុគមន៍មានដេរីវេ និង ដេរីវេរបស់វាជាអនុគមន៍ជាប់) នៅលើចន្លោះ$\ [a,b]$ នោះគេបានរូបភាពវាជាប់នៅលើដែនកំនត់នៃ $\ f$ ។ ហេតុនេះ

$\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(\varphi (t))\varphi '(t)\,\mathrm {d} t$

សំរាយបញ្ជាក់

គេមាន $\ f$ ជាអនុគមន៍ជាប់ និងមានព្រីមីទីវ $\ F$ លើដែនកំនត់ $\ D$ ។ អនុគមន៍ $\ F\circ \varphi$ ជាអនុគមន៍មានដេរីវេ​ ដែលជាបណ្តាក់នៃពីរអនុគមន៍ គេបាន

$(F\circ \varphi )'=(f\circ \varphi )\times \varphi '$

ដែល

$\int _{a}^{b}f(\varphi (t))\varphi '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}((f\circ \varphi )\times \varphi ')(t)\,\mathrm {d} t$

$=\int _{a}^{b}(F\circ \varphi )'(t)\,\mathrm {d} t$

$=\left[F\circ \varphi \right]_{a}^{b}$

$=F(\varphi (b))-F(\varphi (a))$

$=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)\,\mathrm {d} x$

វិធីសាស្ត្រប្តូរអថេរចំពោះអនុគមន៍អសនិទាន

ដើម្បីគណនា

$\int {f\left(x,{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+\mathrm {d} }}}\right)\mathrm {\mathrm {d} } x}$

ដែល $\ f$ ជាអនុគមន៍អសនិទាននៃពីរអថេរ។ n ជាចំនួនគត់ធម្មជាតិ និង a, b, c, d ជាចំនួនពិតគេអោយ។ គេតាង

$u={\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+\mathrm {d} }}}$

ករណីអាំងតេក្រាលច្រើនជាន់

គេមាន f ជាអនុគមន៍ច្រើនអថេរ ម្យ៉ាងវិញទៀតការប្តូរអថេរនៃដែនកំនត់អាំងតេក្រាល គេប្រើយ៉ាកូបីនៃបំលែងឡាប្លាសនៃ $\ \varphi '$ ។ យ៉ាកូបី​គឺជា​ដេទែមីណង់​នៃ​ម៉ាទ្រីសយ៉ាកូបី​។ គេអោយរូបមន្តអិចផ្លីស៊ីត (explicit) នៃការប្តូរអថេរ គេបាន

$\iint _{D}f(x,y)\;\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\iint _{T}f{\bigl (}\phi (u,v),\Psi (u,v){\bigr )}\left|{\frac {\partial (\phi ,\Psi )}{\partial (u,v)}}(u,v)\right|~\mathrm {d} u\mathrm {d} v$