អនុគមន៍ស៊ីនុស ជាប្រភេទមួយនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ គ្រឹះ។ តំលៃនៃអនុគមន៍ស៊ីនុសក្នុងដែនកំនត់ពិតគឺស្ថិតនៅចន្លោះ
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle \ [-1,1]}
។ ស៊ីនុសជាអនុគមន៍ខួប ដែលមានខួបស្មើនឹង
2
π
{\displaystyle \ 2\pi }
។ ចំពោះអាគុយម់ង់
(
4
n
+
1
)
π
2
{\displaystyle \ {\frac {(4n+1)\pi }{2}}}
(ដែល n ជាចំនួនគត់) អនុគមន៍មានតំលៃធំបំផុតស្មើនឹង ១ ។ ចំពោះអាគុយម៉ង់
(
4
n
+
3
)
π
2
{\displaystyle \ {\frac {(4n+3)\pi }{2}}}
អនុគមន៍មានតំលៃតូចបំផុតស្មើនឹង − ១ ។
ដំណើរនៃក្រាបនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស y = sin x (x គិតជារ៉ាដ្យង់) ដោយប្រើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ
ស៊ីនុសនៃមុំមួយ
(
θ
)
{\displaystyle \ (\theta )}
គឺជាផលធៀបរវាងរង្វាស់ប្រវែងនៃជ្រុងឈម និង រង្វាស់អ៊ីប៉ូតេនុស ។
យើងតាង
អ៊ីប៉ូតេនុស (AC) ដោយ
h
{\displaystyle \ h}
ជ្រុងឈម (BC) ដោយ
a
{\displaystyle \ a}
យើងបាន
sin
θ
=
B
C
A
C
=
a
h
{\displaystyle \sin \theta ={\frac {BC}{AC}}={\frac {a}{h}}}
sin
α
=
y
r
{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {y}{r}}}
ពន្លាតជាស៊េរីតេល័រ នៃអនុគមន៍ស៊ីនុស៖
sin
x
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
⋯
+
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\;x^{2n+1}}
sin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
{\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\;x^{2n+1}}
ក្រាបនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រក្នុងប្លង់ xy ដែលតំលៃនៅលើអ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រូវនឹង
π
{\displaystyle \pi }
រ៉ាដ្យង់ ដងនៃតំលៃនោះ។ អនុគមន៍ស៊ីនុសត្រូវបានគេហៅថា[ស៊ីនុយសូអ៊ីត
ក្រាបនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រក្នុងប្លង់ xy ដែលតំលៃនៅលើអ័ក្សអាប់ស៊ីសគិតជាដឺក្រេ
អនុគមន៍
sin
cos
tan
csc
sec
cot
sin
θ
=
{\displaystyle \sin \theta =}
sin
θ
{\displaystyle \sin \theta \ }
1
−
cos
2
θ
{\displaystyle {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}
tan
θ
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}
1
csc
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\csc \theta }}}
sec
2
θ
−
1
sec
θ
{\displaystyle {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}}
1
1
+
cot
2
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}
រូបមន្តស៊ីនុសនៃផលបូកនិងផលដករវាងមុំពីរ
sin
(
x
+
y
)
=
sin
x
cos
y
+
cos
x
sin
y
{\displaystyle \sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y}
sin
(
x
−
y
)
=
sin
x
cos
y
−
cos
x
sin
y
{\displaystyle \sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y}
sin
(
2
θ
)
=
2
sin
θ
cos
θ
{\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta \,}
sin
3
θ
=
3
sin
θ
−
4
sin
3
θ
{\displaystyle \sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta \,}
sin
θ
2
=
±
1
−
cos
θ
2
{\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\,}
រូបមន្តផលបូកនិងផលដកស៊ីនុស
sin
θ
+
sin
ϕ
=
2
sin
(
θ
+
ϕ
2
)
cos
(
θ
−
ϕ
2
)
{\displaystyle \sin \theta +\sin \phi =2\sin \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)}
sin
θ
−
sin
ϕ
=
2
cos
(
θ
+
ϕ
2
)
sin
(
θ
−
ϕ
2
)
{\displaystyle \sin \theta -\sin \phi =2\cos \left({\theta +\phi \over 2}\right)\sin \left({\theta -\phi \over 2}\right)\,}
រូបមន្តស៊ីនុសនិងតង់សង់កន្លះមុំ
sin
α
=
2
tan
α
2
1
+
tan
2
α
2
{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}
អាំងតេក្រាលដែលមានស៊ីនុស[ កែប្រែ ]
∫
sin
c
x
d
x
=
−
1
c
cos
c
x
{\displaystyle \int \sin cx\;dx=-{\frac {1}{c}}\cos cx\,\!}
∫
|
s
i
n
x
|
d
x
=
−
cos
x
{\displaystyle \int \ |sinx|\,dx=-\cos x\,\!}
∫
sin
n
c
x
d
x
=
−
sin
n
−
1
c
x
cos
c
x
n
c
+
n
−
1
n
∫
sin
n
−
2
c
x
d
x
{\displaystyle \int \sin ^{n}{cx}\;dx=-{\frac {\sin ^{n-1}cx\cos cx}{nc}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}cx\;dx\,\!}
(ចំពោះ
n
>
0
{\displaystyle \ n>0}
)
∫
sin
2
c
x
d
x
=
x
2
−
1
4
c
sin
2
c
x
=
x
2
−
1
2
c
sin
c
x
cos
c
x
{\displaystyle \int \sin ^{2}{cx}\;dx={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4c}}\sin 2cx={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2c}}\sin cx\cos cx\!}
∫
1
−
sin
x
d
x
=
∫
cvs
x
d
x
=
2
cos
x
2
+
sin
x
2
cos
x
2
−
sin
x
2
cvs
x
=
2
1
+
sin
x
{\displaystyle \int {\sqrt {1-\sin {x}}}\,dx=\int {\sqrt {\operatorname {cvs} {x}}}\,dx=2{\frac {\cos {\frac {x}{2}}+\sin {\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}-\sin {\frac {x}{2}}}}{\sqrt {\operatorname {cvs} {x}}}=2{\sqrt {1+\sin {x}}}}
∫
x
sin
c
x
d
x
=
sin
c
x
c
2
−
x
cos
c
x
c
{\displaystyle \int x\sin cx\;dx={\frac {\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x\cos cx}{c}}\,\!}
∫
x
n
sin
c
x
d
x
=
−
x
n
c
cos
c
x
+
n
c
∫
x
n
−
1
cos
c
x
d
x
{\displaystyle \int x^{n}\sin cx\;dx=-{\frac {x^{n}}{c}}\cos cx+{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}\cos cx\;dx\,\!}
(ចំពោះ
n
>
0
{\displaystyle \ n>0}
)
∫
−
a
2
a
2
x
2
sin
2
n
π
x
a
d
x
=
a
3
(
n
2
π
2
−
6
)
24
n
2
π
2
{\displaystyle \int _{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\sin ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\;dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\,\!}
(ចំពោះ
n
=
2
,
4
,
6
⋯
{\displaystyle n=2,4,6\cdots }
)
∫
sin
c
x
x
d
x
=
∑
i
=
0
∞
(
−
1
)
i
(
c
x
)
2
i
+
1
(
2
i
+
1
)
⋅
(
2
i
+
1
)
!
{\displaystyle \int {\frac {\sin cx}{x}}dx=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {(cx)^{2i+1}}{(2i+1)\cdot (2i+1)!}}\,\!}
∫
sin
c
x
x
n
d
x
=
−
sin
c
x
(
n
−
1
)
x
n
−
1
+
c
n
−
1
∫
cos
c
x
x
n
−
1
d
x
{\displaystyle \int {\frac {\sin cx}{x^{n}}}dx=-{\frac {\sin cx}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {c}{n-1}}\int {\frac {\cos cx}{x^{n-1}}}dx\,\!}
∫
d
x
sin
c
x
=
1
c
ln
|
tan
c
x
2
|
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|\tan {\frac {cx}{2}}\right|}
∫
d
x
sin
n
c
x
=
cos
c
x
c
(
1
−
n
)
sin
n
−
1
c
x
+
n
−
2
n
−
1
∫
d
x
sin
n
−
2
c
x
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{n}cx}}={\frac {\cos cx}{c(1-n)\sin ^{n-1}cx}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}cx}}\,\!}
(ចំពោះ
n
>
1
{\displaystyle \ n>1}
)
∫
d
x
1
±
sin
c
x
=
1
c
tan
(
c
x
2
∓
π
4
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1\pm \sin cx}}={\frac {1}{c}}\tan \left({\frac {cx}{2}}\mp {\frac {\pi }{4}}\right)}
∫
x
d
x
1
+
sin
c
x
=
x
c
tan
(
c
x
2
−
π
4
)
+
2
c
2
ln
|
cos
(
c
x
2
−
π
4
)
|
{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1+\sin cx}}={\frac {x}{c}}\tan \left({\frac {cx}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\cos \left({\frac {cx}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right|}
∫
x
d
x
1
−
sin
c
x
=
x
c
cot
(
π
4
−
c
x
2
)
+
2
c
2
ln
|
sin
(
π
4
−
c
x
2
)
|
{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1-\sin cx}}={\frac {x}{c}}\cot \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {cx}{2}}\right)+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\sin \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {cx}{2}}\right)\right|}
∫
sin
c
x
d
x
1
±
sin
c
x
=
±
x
+
1
c
tan
(
π
4
∓
c
x
2
)
{\displaystyle \int {\frac {\sin cx\;dx}{1\pm \sin cx}}=\pm x+{\frac {1}{c}}\tan \left({\frac {\pi }{4}}\mp {\frac {cx}{2}}\right)}
∫
sin
c
1
x
sin
c
2
x
d
x
=
sin
(
c
1
−
c
2
)
x
2
(
c
1
−
c
2
)
−
sin
(
c
1
+
c
2
)
x
2
(
c
1
+
c
2
)
{\displaystyle \int \sin c_{1}x\sin c_{2}x\;dx={\frac {\sin(c_{1}-c_{2})x}{2(c_{1}-c_{2})}}-{\frac {\sin(c_{1}+c_{2})x}{2(c_{1}+c_{2})}}\,\!}
(ចំពោះ
|
c
1
|
≠
|
c
2
|
{\displaystyle \ |c_{1}|\neq |c_{2}|}
)
0
{\displaystyle 0}
π
12
{\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}
π
6
{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}
5
π
12
{\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}}
sin
0
{\displaystyle 0}
6
−
2
4
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
3
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}
6
+
2
4
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}
មុំ
0
∘
{\displaystyle 0^{\circ }}
30
∘
{\displaystyle 30^{\circ }}
45
∘
{\displaystyle 45^{\circ }}
60
∘
{\displaystyle 60^{\circ }}
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }}
sin
0
2
=
0
{\displaystyle {\frac {\sqrt {0}}{2}}=0}
1
2
=
1
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {1}}{2}}={1 \over 2}}
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
3
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}
4
2
=
1
{\displaystyle {\frac {\sqrt {4}}{2}}=1}
ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសចំពោះគ្រប់ត្រីកោណ ABC ដែលមានរង្វាស់ a, b, c និង មុំ ឈមនឹងជ្រុងនិមួយៗរៀងគ្នា A, B, និង C សំដែងដោយ
sin
A
a
=
sin
B
b
=
sin
C
c
{\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}}
បើ R ជាកាំ នៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ABC នោះទ្រឹស្តីបទសំដែងដោយ៖
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
=
2
R
{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R}
ចំពោះសេចក្តីលំអិតបន្ថែម សូមមើលទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស ។