ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស

នៅក្នុងត្រីកោណមាត្រ ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស (ឬ​​ច្បាប់ស៊ីនុស ឬ​​រូបមន្តស៊ីនុស) ជា​ទ្រឹស្តីបទ​​សិក្សា​​អំពី​​ត្រីកោណ​នៅ​ក្នុង​ប្លង់។

ទ្រឹស្តីបទ

ត្រីកោណ ABC ដែលមានជ្រុង a, b, c, ក្រលាផ្ទៃ S រង្វង់ចារឹកក្រៅកាំ R និងមុំ A, B, C

គេមាន​ត្រីកោណ ABC ដែលមានជ្រុង a, b និង c និង A, B និង C ជាមុំឈមនៃជ្រុងទាំងនេះ(∠A=A, ∠B=B, ∠C=C) និង$R\,$ ជាកាំនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ABC នោះគេបាន​​ទ្រឹស្តីបទ​ស៊ីនុស​​បង្ហាញដូចខាងក្រោម

$\color {blue}{\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R$

ទ្រឹស្តីបទ​​នេះ​​ត្រូវ​បាន​គេ​​ប្រើប្រាស់​​ដើម្បី​​គណនា​​ជ្រុង​​នៃ​ត្រីកោណ​ដែលនៅសល់ ប្រសិនបើគេស្គាល់តំលៃនៃមុំ២ និង​ជ្រុង​មួយ។ វា​ក៏​អាច​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើ​បាន​ដែល នៅ​គេ​ស្គាល់​ជ្រុង​ពីរ និង​មុំ​មួយ។

${\begin{aligned}2R={\frac {abc}{2S}}&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}}\\&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}\end{aligned}}$

ដែល $S\,$ ជាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ និង $p\,$ ជាកន្លះបរិមាត្រ។

$p={\frac {a+b+c}{2}}$

សំរាយបញ្ជាក់

△ABC កំពស់ h គូសចេញពីកំពូល C

• សំរាយបញ្ជាក់ $\color {blue}{\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}$

គេមានត្រីកោណ ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុងរៀងគ្នា a, b, c និងមុំ A B C បង្ហាញដូចរូបខាងស្តាំ។ h ជា​កំពស់​គូស​ចេញ​ពី​កំពូល C មកជ្រុង AB ។ តាម​និយមន័យ​វា​ចែក​ត្រីកោណ ABC ជា​ពីរ​ត្រីកោណកែង​។ គេ​បាន

$\sin A={\frac {h}{b}}$   និង  $\sin B={\frac {h}{a}}$

$\Rightarrow h=b\,(\sin A)=a\,(\sin B)$

$\Rightarrow {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}\,\,\,(1)$

ដូចគ្នា​ដែរ​ចំពោះ​កំពស់​គូស​ចេញ​ពី​កំពូល A មក​ជ្រុង BC នៃ​ត្រីកោណ គេបាន

${\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}\,\,\,(2)$

$(1)\,$ និង $(2)\,$ យើង​បាន

$\color {blue}{\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}$

---

• សំរាយបញ្ជាក់ ${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=\color {magenta}2R$

គេមានត្រីកោណ ABC ចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R និង $BC=a,\quad \angle A=A$

(ក) - ករណី $0<\angle A<{\frac {\pi }{2}}$ (មុំ A ជាមុំស្រួច)

ករណីមុំ A ជាមុំស្រួច

BD ជា​អង្កត់ផ្ចិត​នៃរង្វង់ចារឹកក្រៅ​ត្រីកោណ នោះ​ចំនុច D គឺ​ស្ថិត​នៅ​លើ​រង្វង់ ។

នាំអោយ $BD=2R\,$ (R ជាកាំរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ)

ដោយ​យោង​តាម​ទ្រឹស្តីបទ​មុំចារឹកក្នុងរង្វង់ គេបាន

$\angle A=\angle D\,$ (មុំ A ស្មើមុំ D)

BD ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ នោះគេបាន

${\rm {BD}}=2R,\$ និង $\angle {\rm {BCD}}={\pi \over 2}\$

តាង $\angle {\rm {BDC}}=\angle D=D$ គេបាន

$\sin D={\frac {BC}{BD}}={a \over 2R}\qquad \Rightarrow {\frac {a}{\sin D}}=2R$

ដោយមុំ D = A គេបាន ${a \over \sin A}=2R$

តាមរយៈវិធីដូចគ្នាចំពោះផ្សេងទៀត (មុំ B និងមុំ C) គេបាន

${b \over \sin B}=2R$

${c \over \sin C}=2R$

ហេតុនេះ $\color {magenta}{a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=2R$

(ខ) - ករណី $\angle A={\frac {\pi }{2}}$ (មុំ A ជាមុំកែង)

ករណីមុំ A = ៩០^០

មុំ A ជាមុំកែង គេបាន BC ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ

$BC=2R=a\,$

$\Rightarrow \sin A=\sin {\frac {\pi }{2}}=1$

$\Rightarrow {\frac {a}{\sin A}}={\frac {2R}{1}}=2R\qquad \color {blue}(i)$

ABC ជាត្រីកោណកែង គេបាន

$\sin B={\frac {AC}{BC}}={\frac {b}{a}}={\frac {b}{2R}}\qquad {\frac {b}{\sin B}}=2R\qquad \color {blue}(ii)$

$\sin C={\frac {AB}{BC}}={\frac {c}{a}}={\frac {c}{2R}}\qquad {\frac {c}{\sin C}}=2R\qquad \color {blue}(iii)$

តាម$\color {blue}(i)\quad (ii)$ និង $\color {blue}\quad (iii)$ យើងបានទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស

$\color {magenta}{a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=2R$

(គ) - ករណី ${\frac {\pi }{2}}<\angle A<\pi$     (មុំ A ជាមុំទាល)

ករណីមុំ A ជាមុំទាល

ករណី BD ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ គេបានចំនុច D ស្ថិតនៅលើរង្វង់។ យោង​តាម​លក្ខណៈ​​រង្វង់ចារឹកក្រៅចតុកោណ (=ចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់)​​គេបាន

$A+D=\pi \qquad D=\pi -A\,$ (ដែល $A=\angle A,\quad D=\angle D\,$ )

$\Rightarrow \sin D=\sin(\pi -A)=\sin A$

BD ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ

$\Rightarrow BD=2R\,$

BCD ជាត្រីកោណកែង​ត្រង់ C គេបាន

$\sin A=\sin D={\frac {BC}{BD}}={\frac {a}{2R}}\qquad \Rightarrow {\frac {a}{\sin A}}=2R$

ធ្វើដូចគ្នាដែរចំពោះមុំផ្សេងទៀត (មុំ B និងមុំ C) គេបាន

${\frac {b}{\sin B}}=2R$

${\frac {c}{\sin C}}=2R$

ហេតុនេះ $\color {magenta}{a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=2R$

សនិដ្ឋាន: ដូចនេះគេបាន​ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស $\color {magenta}{a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=2R$ ផ្ទៀងផ្ទាត់គ្រប់ករណីទាំងបីខាងលើ។

បំណក​ស្រាយ​ទ្រឹស្តីបទ​ស៊ីនុស​ដោយប្រើ​ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

${\begin{aligned}a&=BH+HC\\&=AB\cdot \cos B+AC\cdot \cos C\\&={\color {blue}c\cos B+b\cos C}\\\Rightarrow b&=a\cos C+c\cos A\\\Rightarrow c&=a\cos B+b\cos A\end{aligned}}$

ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

${\begin{aligned}a^{2}&=b^{2}+c^{2}+2bc\cos {(B+C)}\\&=b^{2}+c^{2}+2bc\cos {B}\cos {C}-2bc\sin {B}\sin {C}\\&=(b\cos {C}+c\cos {B})^{2}+(b\sin {C}-c\sin {B})^{2}\\&=a^{2}+(b\sin {C}-c\sin {B})^{2}\\&\Rightarrow b\sin {C}-c\sin {B}=0\\&\Longleftrightarrow {\frac {b}{\sin {B}}}={\frac {c}{\sin {C}}}\qquad \color {MidnightBlue}(i)\end{aligned}}$

ដូចគ្នាដែរចំពោះ

$b^{2}=a^{2}+c^{2}+2ac\cos {(A+C)}\Rightarrow {\frac {a}{\sin {A}}}={\frac {c}{\sin {C}}}\qquad \color {MidnightBlue}(ii)$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\cos {(A+B)}\Rightarrow {\frac {a}{\sin {A}}}={\frac {b}{\sin {B}}}\qquad \color {MidnightBlue}(iii)$

ដូចនេះ តាម $\color {MidnightBlue}(i),\quad (ii)$ និង $\color {MidnightBlue}(iii)$ គេបាន

$\color {magenta}{\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}$

អនុវត្ត

គេមាន​ត្រីកោណ ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុង a, b​, c​ ចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R ។ ស្រាយបំភ្លឺថាៈ

$a\cos A+b\cos B+c\cos C={\frac {2S}{R}}$

ដែល $S\,$ ជាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ។

ដំណោះស្រាយ

តាមទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសនៃត្រីកោណ ABC ចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R

${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R\Rightarrow {\begin{cases}a=2RsinA\\b=2RsinB\\c=2RsinC\\\end{cases}}$

យើងបាន:

${\begin{aligned}acosA+bcosB+ccosC&=2RsinAcosA+2RsinBcosB+2RsinCcosC\\&=R(2sinAcosA+2sinBcosB+2sinCcosC)\\&=R(2sinAcosA+sin2B+sin2C)\\&=R[2sinAcosA+2sin(B+C)cos(B-C)]\\&=R[2sinAcosA+2sinAcos(B-C)]\\&(B+C=\pi -A\Rightarrow sin(B+C)=sin(\pi -A)=sinA)\\&=2RsinA[cos(B-C)-cos(B+C)]\\&(A=\pi -(B+C)\Rightarrow cosA=cos[\pi -(B+C)]=-cos(B+C)\\&=2RsinA\cdot 2sinBsinC\\&=4RsinA\cdot sinBsinC\\&=4R\cdot {\frac {a}{2R}}\cdot {\frac {b}{2R}}\cdot {\frac {c}{2R}}\\&={\frac {abc}{2R^{2}}}\,\,\,\,(1)\\\end{aligned}}$

$\ S$ ជាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R $\Rightarrow S={\frac {abc}{4R}}\Rightarrow abc=4RS$

ជំនួស abc ក្នុង $(1)\,$ យើងបាន

$acosA+bcosB+ccosC={\frac {4RS}{2R^{2}}}={\frac {2S}{R}}$

ដូចនេះ

$acosA+bcosB+ccosC={\frac {2S}{R}}$

ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសក្នុងត្រីកោណមាត្រស្វ៊ែរ

ត្រីកោណស្វ៊ែរ ABC

គេមានត្រីកោណស្វ៊ែរ ABC ស្ថិតនៅលើស្វ៊ែរដែលមានផ្ចិត O កាំ $\rho \,$ ដូចក្នុងរូបខាងស្តាំ នោះ​ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស​អាចសរសេរ

${{\sin a} \over {\sin A}}={{\sin b} \over {\sin B}}={{\sin c} \over {\sin C}}={\frac {6V_{\mathrm {OABC} }}{\rho ^{3}\sin a\,\sin b\,\sin c}}$

ដែល

• $\alpha =\angle A\,$
• $\beta =\angle B\,$
• $\gamma =\angle C\,$
• $V_{\mathrm {OABC} }\,$ ជាមាឌនៃតេត្រាអែត OABC ។

សូមមើលផងដែរ

• ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស
• អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ
• ទ្រឹស្តីបទតង់សង់