ក្នុងគណិតវិទ្យា កត្តាអាំងតេក្រាលគឺជាអនុគមន៍ដែលត្រូវបានគេជ្រើសរើសដើម្បីសំរួលដល់ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។
គេមានសមីការឌីផេរ៉ងស្យែលនៃទម្រង់
![{\displaystyle y'+a(x)y=b(x)\quad \quad \quad \color {magenta}(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9db2b7a08a7dc8205759d75211a8fbc317793982)
ដែល
ជាអនុគមន៍មិនស្គាល់នៃ
និង
និង
ជាអនុគមន៍ដែលគេអោយ។
វិធីសាស្រ្តកត្តាអាំងតេក្រាលដំណើរការដោយត្រលប់អង្គខាងធ្វេងទៅជាទម្រង់ដេរីវេនៃផលគុណ
ចាត់ទុកអនុគមន៍
។ យើងគុណអង្គទាំងសងខាងនឹងនៃ
ដោយ
យើងបាន
![{\displaystyle M(x)y'+M(x)a(x)y=M(x)b(x)\quad \quad \quad \color {magenta}(2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/645fd74a6fa17f77cf3e4ac60fb9d32b20e9989d)
យើងចង់អោយអង្គខាងធ្វេងទៅជាទម្រង់ដេរីវេនៃផលគុណ (សូមមើល ក្បួនផលគុណ) ។ តាមពិត ប្រសិនបើយើងសន្មតថាអង្គខាងធ្វេងនេះអាចសំដែងឡើងវិញជា
![{\displaystyle (M(x)y)'=M(x)b(x)\quad \quad \quad \color {magenta}(3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6d1666cda38fd54b5fed7911c4615433946ef76)
អង្គខាងឆ្វេងក្នុង
អាចត្រូវបានធ្វើអាំងតេក្រាលយ៉ាងងាយដោយប្រើទ្រឹស្តីបទគ្រឹះនៃការគណនា៖
![{\displaystyle y(x)M(x)=\int b(x)M(x)\,dx+C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8f4d6880db9047d6c502bade7d45d476e8964d)
ដែល
ជាចំនួនថេរ ។ យើងអាចដោះស្រាយសមីការចំពោះ
![{\displaystyle y(x)={\frac {\int b(x)M(x)\,dx+C}{M(x)}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64768323f54b9cf744d09638694e3c7327ce6f38)
ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ
យើងចាំបាច់រកកន្សោមមួយចំពោះ
។
សរសេរ
ឡើងវិញដោយប្រើក្បួនផលគុណ។
![{\displaystyle (M(x)y)'=M'(x)y+M(x)y'=M(x)b(x)\quad \quad \quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bcfa7c8dc2c4983247d851d4bdc70714f4506ae)
តួសមភាពក្នុង
គឺវាប្រាកដថា
គោរពតាមសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។
![{\displaystyle M'(x)=a(x)M(x)\quad \quad \quad \color {magenta}(4)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc187a6c051a8a377e65f3f85ce20434b2e42fda)
ដើម្បីទទួលបាន
ចែកអង្គទាំងពីរនឹង
គេបាន
![{\displaystyle {\frac {M'(x)}{M(x)}}-a(x)=0\quad \quad \quad \color {magenta}(5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95f8b900c340d8078972463ce4c75a3bfd1731a9)
សមីការ
គឺជាទម្រង់នៃដេរីវេលោការីត។ ដោយដោះស្រាយសមីការ
យើងបាន
![{\displaystyle M(x)=e^{\int a(x)\,dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a0889126bbc11a687e4db6d556ce171f8abb843)
យើងឃើញថាផលគុណនឹង
និងលក្ខណៈ
គឺមានសារៈសំខាន់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។
ហៅថាកត្តាអាំងតេក្រាល។
ដោះស្រាយសមីការសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល
![{\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee561be858232d5488f46aa0a9239cab563f953)
យើងអាចឃើញថាក្នុងករណីនេះ
![{\displaystyle M(x)=e^{\int a(x)\,dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a0889126bbc11a687e4db6d556ce171f8abb843)
(សំគាល់៖ យើងមិនចាំបាច់បញ្ចូលថេរអាំងតេក្រាលទេ យើងត្រូវការតែចំលើយមួយគត់ មិនមែនចម្លើយទូទៅទេ)
![{\displaystyle M(x)={\frac {1}{x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/390d70fb14a594a0a95a9afdbb9704cb271dac95)
ដោយគុណអង្គទាំងសងខាងនឹង
យើងបាន
![{\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e60982aace0946ad082e34f6c570908d6ec43222)
![{\displaystyle \left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47a0708192c9cd96d3489626cbc64252c3483316)
ឬ
![{\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}=C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e1478080566ed706f9fa0100b7eba498a9412d9)
ដូចនេះ
![{\displaystyle \ y(x)=Cx^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f0dacd2c20289c4df65406a3a206ed3c66a06f)
ពាក្យកត្តាអាំងតេក្រាលស្ទើរតែជាចម្លើយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទី១។ ឧទាហរណ៍ចំពោះសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរលំដាប់ទី២
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b82a4a72314fc7307a6d6d2e2c34e581a096725f)
អាចទទួលបាន
នូវកត្តាអាំងតេក្រាល
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {dy}{dt}}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dd2831f1694fd65cbeb64e39d13ad55af72c702)
ដើម្បីធ្វើអាំងតេក្រាល កត់សំគាល់ថាអង្គទាំងសងខាងនៃសមីការអាចសំដែងជាដេរីវេដោយត្រលប់ថយក្រោយវិញជាមួយនិងក្បួនឆេន (chain rule) (ឬហៅថាទ្រឹស្តីបទដេរីវេនៃអនុគមន៍បណ្តាក់)៖
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026f6fbe6bf6f42937ec9ba8256aa028126a3e24)
ហេតុនេះ
![{\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23d7133e2e903390ac86e98a0c110aa52197abc1)
ដោយប្រើវិធីបំបែកអថេរ គេបាន
![{\displaystyle \int {\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t+C_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a04d17824c6a37c72d06bff9568d7575712c55a7)
នេះជាដំណោះស្រាយអ៊ីមផ្លីស៊ីតដែលជាប់ទាក់ទង់និងអាំងតេក្រាលថ្នាក់ខ្ពស់។