ចំនួនកុំផ្លិច៖ គឺជាចំនួនដែលមានទម្រង់
ដែល
និង
ជាចំនួនពិត និង
ជាឯកតានិមិ្មត (
)។
- ឯកតានិមិ្មត
![{\displaystyle i={\sqrt {\color {Red}-1}},\quad i^{2}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf60c371bc40da67419a14ae4964151cf013c226)
![{\displaystyle Z=a+bi.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbb3ccc4fe38bd0cb9b35688200d925c1761fc8c)
- a ជាផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច Z (Real Part)
- b ជាផ្នែកនិម្មិតនៃចំនួនកុំផ្លិច Z (Imaginary part)
៖
- ផលបូក:
![{\displaystyle \,(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/badbe7f8ec444c24174d83c6f631b86d01eb691d)
- ផលដក:
![{\displaystyle \,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fc174387267216ce615df816b77fec8a3b7a1e4)
- ផលគុណ:
![{\displaystyle \,(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32ed644695ae41461727e40341172d44093203ec)
- ផលចែក:
![{\displaystyle \,{\frac {(a+bi)}{(c+di)}}=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}}\right)+\left({bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right)i\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f58ec02ee128bdc9a85f9e4e517c5a76ecf7cab3)
លក្ខណៈធរណីមាត្រនៃ
និងចំលាស់របស់វា
ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច
តំលៃដាច់ខាតនៃចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់
[កែប្រែ]
![{\displaystyle {\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/920da5ee5dc0a6bde6aac4dae309e99f3a76ed1f)
![{\displaystyle {\overline {z\cdot w}}={\bar {z}}\cdot {\bar {w}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a03704c7b71d7db948d04e62434e6d5a07a2c4c6)
![{\displaystyle {\overline {(z/w)}}={\bar {z}}/{\bar {w}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f2d510bafe6d1a8fc6f62954e75ba9c47e8055)
![{\displaystyle {\bar {\bar {z}}}=z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/985065f661facb60c670e7151145caa1eaac4236)
ប្រសិនបើ z ជាចំនួនពិតសុទ្ធ
ប្រសិនបើ z ជាចំនួននិម្មិតសុទ្ធ
![{\displaystyle |z|=|{\bar {z}}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dc16ad3e708d376fde3c4056298abf0b94c342e)
![{\displaystyle |z|^{2}=z\cdot {\bar {z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b47c90dde16b9da3b2d232487cae775bef85191)
ប្រសិនបើ z ខុសពីសូន្យ
![{\displaystyle {\begin{aligned}{a+bi \over c+di}&={(a+bi)(c-di) \over (c+di)(c-di)}={(ac+bd)+(bc-ad)i \over c^{2}+d^{2}}\\&=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}}\right)+i\left({bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right).\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ff1947c7358445fd056c0d20ee22d87d3ec0db)
កូអរដោនេប៉ូលែក្នុងតម្រុយដេកាត
![{\displaystyle x=r\cos \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ec84f3b8f3196698a3693a21f258e47f270302f)
![{\displaystyle y=r\sin \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/134779a8ff7881855e5fee80bf520c212414de56)
ផ្ទុយមកវិញ
![{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66fcac81cfac010069078ce8c999bd09f285567f)
![{\displaystyle \varphi =\arg(z)=arctan{\frac {y}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/235774ed024896b42c2cc0f7cb602a45355d8253)
![{\displaystyle x+iy=re^{i\varphi }\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9d8fc4f2fa506d958830962ea3107cb0d91f222)
ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ និង ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច
[កែប្រែ]
, ដែល
ជាម៉ូឌុលនៃ
។
ទ្រឹស្តីបទ៖
បើគេមានទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកំផ្លិច
និង
ដែល
និង
គេបាន
ក) ![{\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}[cos(\alpha _{1}+\alpha _{2})+isin(\alpha _{1}+\alpha _{2})]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f012127e31ef3da231009171afed189cb344bb15)
ខ) ![{\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}[cos(\alpha _{1}-\alpha _{2})+isin(\alpha _{1}-\alpha _{2})]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45457d95c24be129e0db2e20a798bbc967bdfa06)
ទ្រឹស្តីបទ៖
បើ
ជាចំនួនកុំផ្លិចគេបាន
។
លក្ខណៈ
គេឲ្យ
និង
ជាចំនួនកុំផ្លិចគេបាន
ក)
ខ) ![{\displaystyle |{\frac {w}{z}}|={\frac {|w|}{|z|}};z\neq 0\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269e8aacb52fdbcdef4d0c99cac4dfe7bb8307d4)
គ) ![{\displaystyle |w+z|\leq |w|+|z|\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a619e73e43cf80262c7ed8408bd26b56853d0240)
ស្វ័យគុណទី
នៃចំនួនកុំផ្លិច
[កែប្រែ]
គេមាន
។
តាមរូបមន្ត ![{\displaystyle Z_{1}Z_{2}=r_{1}r_{2}[cos(\alpha _{1}+\alpha _{2})+isin(\alpha _{1}+\alpha _{2})]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d34dd8049b3cd53bafd2273976550091add19192)
គេបាន ![{\displaystyle ZZ=rr[cos(\alpha +\alpha )+isin(\alpha +\alpha )]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a7377783c44f95202c9d393eb4eb6a4eca31075)
![{\displaystyle Z^{2}=r^{2}(cos2\alpha +isin2\alpha )\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee6197057b057668a37c94f7573f4fb33778c66e)
![{\displaystyle Z^{3}=Z^{2}\cdot Z=(r^{2}\cdot r)[cos(2\alpha +\alpha )+isin(2\alpha +\alpha )]=r^{3}(cos3\alpha +isin3\alpha )\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a36ac682b1ddc905ac13f0eb17db55c279aea7)
........................................................................................
![{\displaystyle Z^{n}=Z^{n-1}\cdot Z=r^{n}(cosn\alpha +isinn\alpha )\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f0f395576af5681ac476d89857a2ec31cf12602)
ជាទូទៅ៖
គ្រប់
គេទាញបាន
ហៅថា ទ្រឹស្តីបទដឺម័រ។
ឧទាហរណ៍: គណនា ![{\displaystyle (1+i)^{50}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80b22dae48868733ffc3757358d5e4e0feca128f)
តាង
គេបាន ![{\displaystyle z={\sqrt {2}}(cos{\frac {\pi }{4}}+isin{\frac {\pi }{4}})\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/177963bb1d401e95915d796c9ca394b50cbb3422)
តាមទ្រឹស្តីបទដឺម័រ
![{\displaystyle (i+i)^{50}={\sqrt {2}}^{50}[cos(50\cdot {\frac {\pi }{4}})+isin(50\cdot {\frac {\pi }{4}})]=2^{25}(cos{\frac {25\pi }{2}}+isin{\frac {25\pi }{2}})=2^{25}[cos(12\pi +{\frac {\pi }{2}})+isin(12\pi +{\frac {\pi }{2}})]=2^{25}(cos{\frac {\pi }{2}}+isin{\frac {\pi }{2}})\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa6f2c78b2ecea18a472dfaa616865227747f0ed)
ដូចនេះ
ឫសទី
នៃចំនួនកុំផ្លិច
[កែប្រែ]បើចំនួនកុំផ្លិចមិនសូន្យ Z មានឫសទី n គឺ W គេបាន
។ ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច Z និង W គឺ
និង ![{\displaystyle W=s(cos\alpha +isin\alpha )\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2fe2f941207916cd52c12384371a84bb11fd041)
គេបាន ![{\displaystyle W^{n}=s^{n}(cosn\alpha +isinn\alpha )\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd37f382fafce23f72b6350934e17580694de145)
ដោយ
គេបាន ![{\displaystyle s^{n}(cosn\alpha +isinn\alpha )=r(cos\theta +isin\theta )\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9039509a82ccf24d1b2bd4c0b53056d61800b45f)
ចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា ម៉ូឌុលរបស់វាក៏ស្មើគ្នាដែរ។
ដូចនេះ
។ ដោយ
និង
នាំឲ្យ
។
![{\displaystyle cosn\alpha +isinn\alpha =cos\theta +isin\theta \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fabb6c06b1b484ca966c07baacba09f47c99a86)
គេបាន
នាំឲ្យ
។
ជំនួស
និង
ក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច
គេបាន
។
បើគេជំនួស
គេបាន n ឫសទី n ផ្សេងៗគ្នានៃ Z ។
ទ្រឹស្តីបទ៖
បើ
ជាចំនួនកុំផ្លិចមិនសូន្យ ហើយ n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាននោះ Z មានឫសទី n គឺ :
បើ k=0;1;2;...;n-1 នោះ Z មានឫសទី n គឺ
។
ឧទាហរណ៍ : គណនាឫសទី 6 នៃ -1
តាង Z = -1 + 0i គេបាន
។
និង
នាំអោយ
។
![{\displaystyle Z=-1+0i=(cos\pi +isin\pi )\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1f71cec8f14ccb34050d77203726c6782b534dc)
n = 6 យើងគណនាឫសទី 6 នៃ Z = -1 + 0i ។
![{\displaystyle w_{k}=cos({\frac {\pi +2k\pi }{6}})+isin({\frac {\pi +2k\pi }{6}})\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd75aa1a4fa478c29f9586eb08691fd8419e4559)
បើ k=0;1;2;3;4;5 គេបាន
k=0 នាំឲ្យ ![{\displaystyle w_{0}=cos{\frac {\pi }{6}}+isin{\frac {\pi }{6}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/005b2bda7918eb56a65be56f4b34801006a79e03)
k=1 នាំឲ្យ ![{\displaystyle w_{1}=cos{\frac {\pi }{2}}+isin{\frac {\pi }{2}}=i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdcea6e3d6541b4c03b5fe5fb270aae06ec0f92b)
k=2 នាំឲ្យ ![{\displaystyle w_{2}=cos{\frac {5\pi }{6}}+isin{\frac {5\pi }{6}}=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b9a60a565922d1d875a83d99607683258dfac29)
k=3 នាំឲ្យ ![{\displaystyle w_{3}=cos{\frac {7\pi }{6}}+isin{\frac {7\pi }{6}}=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a66a4228f487df465a042ec4d18c914351552f)
k=4 នាំឲ្យ ![{\displaystyle w_{4}=cos{\frac {3\pi }{2}}+isin{\frac {3\pi }{2}}=-i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8c618688254bab452ccb630a9b5b6c50e4f7c8)
k=5 នាំឲ្យ