ទ្រឹស្តីបទគ្រីន

ក្នុងរូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្តីបទគ្រីន (Green`s theorem) ផ្តល់ទំនាក់ទំនងរវាងអាំងតេក្រាលខ្សែកោងបិទ $C\,$ និងអាំងតេក្រាលឌុបលើតំបន់$D\,$ដែលបិទដោយ $C\,$ ។ វាជាករណីពិសេសវិមាត្រ២នៃទ្រឹស្តីបទស្តូក(Stokes` theorem) ហើយវាត្រូបានដាក់ឈ្មោះតាមលោក ចច គ្រីន (George Green) ដែលជាអ្នកវិទ្យាសាស្រ្តជាតិអង់គ្លេស​ ។

តាង $C\,$ ជាខ្សែកោងមានទិសដៅ និងបិទជិតក្នុងប្លង់R² ហើយតាង $D\,$ ជាតំបន់ដែលបិទដោយ$C\,$ ។ បើ $L\,$ និង$M\,$ ជាអនុគមន៍នៃ (x, y) កំនត់លើប្លង់បើកដែលមាន$D\,$ ហើយមានដេរីវេជាប់ នោះគេបាន

$\int _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA$

ដែល $dA=dxdy\,$ ។

ពេលខ្លះខ្សែកោងតូចមួយត្រូបានគេដាក់លើសញ្ញាអាំងតេក្រាល$\left(\oint _{C}\right)$ ដើម្បីបង្ហាញថាខ្សែកោង $C\,$ គឺបិទ។

ការបង្ហាញនៅពេល$D\,$ជាតំបន់ធម្មតា

If D ជាតំបន់ធម្មតា ភ្ជាប់ជាមួយព្រំដែនរបស់វាដែលមាន C₁, C₂, C₃, C₄ ទ្រឹស្តីបទគ្រីនអាចត្រូវបានបង្ហាញ។

ខាងក្រោមនេះគឺជាការបង្ហាញនៃទ្រឹស្តីបទ ចំពោះផ្ទៃសមញ្ញ$D\,$ មានតំបន់ប្រភេទI ដែលC₂ និង C₄ ជាបន្ទាត់ឈរ។ ការបង្ហាញស្រដៀងគ្នាមានពេលដែល$D\,$គឺជាតំបន់ប្រភេទ II​ ដែលC₁ និង C₃ ជាបន្ទាត់ត្រង់។

បើវាអាចត្រូវបានបង្ហាញថា

$\int _{C}L\,dx=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(1)}$

និង

$\int _{C}M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(2)}$

គឺពិត នោះទ្រឹស្តីបទគ្រីនត្រូបានបង្ហាញក្នុងករណីដំបូង។

កំនត់តំបន់Dប្រភេទI ដូចរូបភាពនៅខាងស្តាំដោយ

$D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}$

ដែល g₁ និង g₂ ជាអនុគមន៍ជាប់លើ [a, b] ។ គណនាអាំងតេក្រាលឌុបក្នុង (1):

$\iint _{D}\left({\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA$	$=\int _{a}^{b}\!\!\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}\left[{\frac {\partial L}{\partial y}}(x,y)\,dy\,dx\right]$
	$=\int _{a}^{b}{\Big \{}L(x,g_{2}(x))-L(x,g_{1}(x)){\Big \}}\,dx\qquad \mathrm {(3)}$

ឥឡូវគណនាអាំតេក្រាលខ្សែកោងក្នុង(1)។ C អាចត្រូវគេសរសេរជាប្រជុំនៃខ្សែកោងបួន C₁, C₂, C₃, C₄ ។

ជាមួយ C₁ ប្រើសមីការប៉ារ៉ាមែត្រ : x = x, y = g₁(x), a ≤ x ≤ b ។ នោះគេបាន

$\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}{\Big \{}L(x,g_{1}(x)){\Big \}}\,dx$

ជាមួយ C₃ ប្រើសមីការប៉ារ៉ាមែត្រ : x = x, y = g₂(x), a ≤ x ≤ b ។ នោះគេបាន

$\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,dx$

អាំងតេក្រាលលើ C₃ គឺមិនមាន ព្រោះវាមានទិសដៅអវិជ្ជមាន b ទៅ a ខណះ C ត្រូវបានគេដៅអោយមានទិសដៅវិជ្ជមាន ។ លើ C₂ និង C₄ x រក្សាភាពថេរ មានន័យថា

$\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0$

ដូច្នេះ​

$\int _{C}L\,dx$	$=\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx$
	$=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,dx+\int _{a}^{b}[L(x,g_{1}(x))]\,dx\qquad \mathrm {(4)}$

ដោយបូកបញ្ចូល (3) ជាមួយ (4) យើងទទួលបាន​ (1)​ ។ ការគណនាស្រដៀងគ្នានេះគេនឹងទទួលបាន (2) ។

ទំនាក់ទំនងនឹងទ្រឹស្តីបទឌីវែរសង់(divergence theorem)

ទ្រឹស្តីបទគ្រីន គឺស្មើនឹងទ្រឹស្តីបទឌីវែរសង់អាណាឡូកដែលមានវិមាត្រ២ដូចខាងក្រោម នៃទ្រឹស្តីបទឌីវែរសង់ :

$\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds,$

ដែល $\mathbf {\hat {n}}$ ជាវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ឯកតាដែលចង្អុលចេញក្រៅលើព្រំដែន ។

ដើម្បីឃើញវា កំនត់ណរម៉ាល់ឯកតានៅក្នុងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ។ ដោយ $d\mathbf {r} =\langle dx,dy\rangle$ ជាវ៉ិចទ័រដែលចង្អុលប៉ះតាមខ្សែកោង ហើយខ្សែកោង C ត្រូវបានដាក់ជាខ្សែកោងអោយមានទិសដៅវិជ្ជមានតាមព្រំដែន នោះវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ជាវ៉ិទ័រចង្អុលមុះ 90° ទៅខាងស្តាំ ដែលគួរតែ $\langle dy,-dx\rangle$ ។ ប្រវែងរបស់វ៉ិចទ័រនេះ គឺ ${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds$ ។ ដូចនេះ $\mathbf {\hat {n}} \,ds=\langle dy,-dx\rangle$​ ។​

ឥឡូវតាង $\mathbf {F} =\langle P,Q\rangle$​ ។ នោះផ្នែកដៃខាងស្តាំទៅជា

$\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds=\int _{C}Pdy-Qdx$

ដែលតាមរយះទ្រឹស្តីបទគ្រីន ទៅជា

$\int _{C}-Qdx+Pdy=\iint _{D}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)\,dA=\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA$