ក្នុងរូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្តីបទគ្រីន (Green`s theorem) ផ្តល់ទំនាក់ទំនងរវាងអាំងតេក្រាលខ្សែកោងបិទ
និងអាំងតេក្រាលឌុបលើតំបន់
ដែលបិទដោយ
។ វាជាករណីពិសេសវិមាត្រ២នៃទ្រឹស្តីបទស្តូក(Stokes` theorem) ហើយវាត្រូបានដាក់ឈ្មោះតាមលោក ចច គ្រីន (George Green) ដែលជាអ្នកវិទ្យាសាស្រ្តជាតិអង់គ្លេស ។
តាង
ជាខ្សែកោងមានទិសដៅ និងបិទជិតក្នុងប្លង់R2 ហើយតាង
ជាតំបន់ដែលបិទដោយ
។ បើ
និង
ជាអនុគមន៍នៃ (x, y) កំនត់លើប្លង់បើកដែលមាន
ហើយមានដេរីវេជាប់ នោះគេបាន
![{\displaystyle \int _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64858b2232ce531d3511866f963d924bfdd4efa9)
ដែល
។
ពេលខ្លះខ្សែកោងតូចមួយត្រូបានគេដាក់លើសញ្ញាអាំងតេក្រាល
ដើម្បីបង្ហាញថាខ្សែកោង
គឺបិទ។
ការបង្ហាញនៅពេល
ជាតំបន់ធម្មតា
[កែប្រែ]
If D ជាតំបន់ធម្មតា ភ្ជាប់ជាមួយព្រំដែនរបស់វាដែលមាន C1, C2, C3, C4 ទ្រឹស្តីបទគ្រីនអាចត្រូវបានបង្ហាញ។
ខាងក្រោមនេះគឺជាការបង្ហាញនៃទ្រឹស្តីបទ ចំពោះផ្ទៃសមញ្ញ
មានតំបន់ប្រភេទI ដែលC2 និង C4 ជាបន្ទាត់ឈរ។ ការបង្ហាញស្រដៀងគ្នាមានពេលដែល
គឺជាតំបន់ប្រភេទ II ដែលC1 និង C3 ជាបន្ទាត់ត្រង់។
បើវាអាចត្រូវបានបង្ហាញថា
![{\displaystyle \int _{C}L\,dx=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(1)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e99a57aa06101a0958d3dcf50586ce6c1756063f)
និង
![{\displaystyle \int _{C}M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(2)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/261bcc7e91768e2b918c9fb9043a414487f07bba)
គឺពិត នោះទ្រឹស្តីបទគ្រីនត្រូបានបង្ហាញក្នុងករណីដំបូង។
កំនត់តំបន់Dប្រភេទI ដូចរូបភាពនៅខាងស្តាំដោយ
![{\displaystyle D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c65b670fe127102c6957f70f93660fbb5a45a99)
ដែល g1 និង g2 ជាអនុគមន៍ជាប់លើ [a, b] ។ គណនាអាំងតេក្រាលឌុបក្នុង (1):
|
|
|
|
ឥឡូវគណនាអាំតេក្រាលខ្សែកោងក្នុង(1)។ C អាចត្រូវគេសរសេរជាប្រជុំនៃខ្សែកោងបួន C1, C2, C3, C4 ។
ជាមួយ C1 ប្រើសមីការប៉ារ៉ាមែត្រ : x = x, y = g1(x), a ≤ x ≤ b ។ នោះគេបាន
![{\displaystyle \int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}{\Big \{}L(x,g_{1}(x)){\Big \}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7b373cd21fc7429a70920190d0c6abc5f7ec777)
ជាមួយ C3 ប្រើសមីការប៉ារ៉ាមែត្រ : x = x, y = g2(x), a ≤ x ≤ b ។ នោះគេបាន
![{\displaystyle \int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dd61291b902710db8e544ab93247ee4eb404731)
អាំងតេក្រាលលើ C3 គឺមិនមាន ព្រោះវាមានទិសដៅអវិជ្ជមាន b ទៅ a ខណះ C ត្រូវបានគេដៅអោយមានទិសដៅវិជ្ជមាន ។ លើ C2 និង C4 x រក្សាភាពថេរ មានន័យថា
![{\displaystyle \int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/639eb9fd46bd240925f584a3aa50f041448c538a)
ដូច្នេះ
|
|
|
|
ដោយបូកបញ្ចូល (3) ជាមួយ (4) យើងទទួលបាន (1) ។ ការគណនាស្រដៀងគ្នានេះគេនឹងទទួលបាន (2) ។
ទំនាក់ទំនងនឹងទ្រឹស្តីបទឌីវែរសង់(divergence theorem)
[កែប្រែ]
ទ្រឹស្តីបទគ្រីន គឺស្មើនឹងទ្រឹស្តីបទឌីវែរសង់អាណាឡូកដែលមានវិមាត្រ២ដូចខាងក្រោម នៃទ្រឹស្តីបទឌីវែរសង់ :
![{\displaystyle \iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0d12f06887849c528669bfe6dc1d863fa3eb330)
ដែល
ជាវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ឯកតាដែលចង្អុលចេញក្រៅលើព្រំដែន ។
ដើម្បីឃើញវា កំនត់ណរម៉ាល់ឯកតានៅក្នុងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ។ ដោយ
ជាវ៉ិចទ័រដែលចង្អុលប៉ះតាមខ្សែកោង ហើយខ្សែកោង C ត្រូវបានដាក់ជាខ្សែកោងអោយមានទិសដៅវិជ្ជមានតាមព្រំដែន នោះវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ជាវ៉ិទ័រចង្អុលមុះ 90° ទៅខាងស្តាំ ដែលគួរតែ
។ ប្រវែងរបស់វ៉ិចទ័រនេះ គឺ
។ ដូចនេះ
។
ឥឡូវតាង
។ នោះផ្នែកដៃខាងស្តាំទៅជា
![{\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds=\int _{C}Pdy-Qdx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/286363d9254073db0eec8ea630e777d7aaa7effa)
ដែលតាមរយះទ្រឹស្តីបទគ្រីន ទៅជា
![{\displaystyle \int _{C}-Qdx+Pdy=\iint _{D}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)\,dA=\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c0d491a121409fdd4b3123c6be5a4a26e44ea01)