ពហុធាប៊ែរនូយី

ក្នុងគណិតវិទ្យា ពហុធាប៊ែរនូយី (Bernoulli polynomials) លេចឡើងក្នុងការសិក្សាផ្នែកជាច្រើននៃអនុគមន៍ និង ជាពិសេស​អនុគមន៍ហ្សេតារីម៉ាន (Riemann zeta function)​ ។

និយមន័យ

ពហុធា​ប៊ែរនូយីគឺជាស្វ៊ីតពហុធាតែមួយគត់ $\left(B_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ ដែល

• $B_{0}=1$
• $\forall n\in \mathbb {N} ,B'_{n+1}=(n+1)B_{n}$
• $\forall n\in \mathbb {N^{*}} ,\int _{0}^{1}B_{n}(x)dx=0$

អនុគមន៍តំនពូជ

អនុគមន៍តំនពូជ (Generating function) ចំពោះពហុធាប៊ែរនូយីគឺ

${\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\,$.

អនុគមន៍តំនពូជ (Generating function) ចំពោះពហុធាអយល័រ (Euler polynomials) គឺ

${\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\,$.

ផលបូកនៃស្វ័យគុណទី p

យើងមាន

$\sum _{k=0}^{x}k^{p}={\frac {B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}}$

ចំពោះសេចក្តីលំអិតអំពីរូបមន្តនេះ សូមមើល​រូបមន្តហ្វូលហាប័រ (Faulhaber's formula)

ចំនួនអយល័រ និង ចំនួនប៊ែរនូយី

• ចំនួនប៊ែរនូយី​អោយដោយ $B_{n}=B_{n}(0)\,$ ។
• ចំនួនអយល័រ​អោតយដោយ $E_{n}=2^{n}E_{n}(1/2)\,$ ។

កន្សោមអិចភ្លីស៊ីតចំពោះលំដាប់ទាប

ពហុធាប៊ែរនូយី​ដំបូង​មួយចំនួន

$B_{0}(x)=1\,$

$B_{1}(x)=x-1/2\,$

$B_{2}(x)=x^{2}-x+1/6\,$

$B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x\,$

$B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}}\,$

$B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x\,$

$B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}\,$

ពហុធាអយល័រ​ដំបូង​មួយចំនួន

$E_{0}(x)=1\,$

$E_{1}(x)=x-1/2\,$

$E_{2}(x)=x^{2}-x\,$

$E_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{4}}\,$

$E_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x\,$

$E_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}\,$

$E_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x\,$

ផលសង

ពហុធាប៊ែរនូយី និង ពហុធាអយល័រ​គោរពតាមទំនាក់ទំនងជាច្រើនពី​ការការគណនានិមិត្តរូប (umbral calculus ឬ symbolic calculus)

$B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1}\,$

$E_{n}(x+1)+E_{n}(x)=2x^{n}\,$

ដេរីវេ

$B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x)\,$

$E_{n}'(x)=nE_{n-1}(x)\,$

ការបកប្រែ

$B_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k}\,$

$E_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}E_{k}(x)y^{n-k}\,$

ស៊ីមេទ្រី

$B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x)\,$

$E_{n}(1-x)=(-1)^{n}E_{n}(x)\,$

$(-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}\,$

$(-1)^{n}E_{n}(-x)=-E_{n}(x)+2x^{n}\,$

លក្ខណៈផ្សេងទៀតនៃពហុធាប៊ែរនូយី

$\forall n\in \mathbb {N} ,B_{n}(x)=2^{n-1}\left(B_{n}\left({\frac {x}{2}}\right)+B_{n}\left({\frac {x+1}{2}}\right)\right)$

តំលៃពិសេស

$\forall n>1,B_{n}(0)=B_{n}(1)$

$\forall p\in \mathbb {N} ^{*},B_{2p+1}(0)=B_{2p+1}(1)=0$

$\forall p\in \mathbb {N} ^{*},B_{2p}\left({\frac {1}{2}}\right)=\left({\frac {1}{2^{2p-1}}}-1\right)B_{2p}(0),B_{2p+1}\left({\frac {1}{2}}\right)=0$

ស៊េរីហ្វួរា

ស៊េរីហ្វួរា (Fourier series) នៃពហុធាប៊ែរនូយី​ក៏ជា​ស៊េរីឌីរិចឡេ​​អោយដោយការពន្លាត

$B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{k\not =0}{\frac {e^{2\pi ikx}}{k^{n}}}$

នេះជាករណីពិសេសនៃទំរង់អាណាឡូក (analogous form) ចំពោះ​អនុគមន៍ហ្សេតាហឺវីត (Hurwitz zeta function)

$B_{n}(x)=-\Gamma (n+1)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{(2\pi ikx)}+e^{(2\pi ik(1-x))}}{(2\pi ik)^{n}}}\,$

ការពន្លាតនេះគឺត្រឹមត្រូវតែចំពោះ 0 ≤ x ≤ 1 ដែល n ≥ 2 និងត្រឹមត្រូវចំពោះ 0 < x < 1ដែល n = 1 ។

ស៊េរីហ្វួរា​នៃ​ពហុធាអយល័រ​​អាចគណនាបានផងដែរ ។ កំនត់អនុគមន៍

$C_{\nu }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}$

និង

$S_{\nu }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}$

ចំពោះ $\ \nu >1$ ពហុធាអយល័រ​មានស៊េរីហ្វួរា

$C_{2n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{4(2n-1)!}}\pi ^{2n}E_{2n-1}(x)$

និង

$S_{2n+1}(x)={\frac {(-1)^{n}}{4(2n)!}}\pi ^{2n+1}E_{2n}(x)$

សំគាល់ថា $\ C_{\nu }$ និង $\ S_{\nu }$ គឺអនុគមន៍សេស​និងគូរៀងគ្នា

$\ C_{\nu }(x)=-C_{\nu }(1-x)$

និង

$\ S_{\nu }(x)=S_{\nu }(1-x)$

អនុគមន៍ទាំងនេះមានទំនាក់ទំនងនឹង​អនុគមន៍ឈីឡឺហ្សង់ (Legendre chi function) $\ \chi _{\nu }$ ជា

$\ C_{\nu }(x)={\mbox{Re}}\chi _{\nu }(e^{ix})$

និង

$\ S_{\nu }(x)={\mbox{Im}}\chi _{\nu }(e^{ix}).$

ទ្រឹស្តីបទផលគុណ

ទ្រឹស្តីបទផលគុណ (Multiplication theorems) ត្រូវបានផ្តល់អោយដោយ Joseph Ludwig Raabe ក្នុងឆ្នាំ ១៨៥១

$B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{k=0}^{m-1}B_{n}\left(x+{\frac {k}{m}}\right)$

$E_{n}(mx)=m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}(-1)^{k}E_{n}\left(x+{\frac {k}{m}}\right)$    ចំពោះ $m=1,3,\dots$

$E_{n}(mx)={\frac {-2}{n+1}}m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}(-1)^{k}B_{n+1}\left(x+{\frac {k}{m}}\right)$    ចំពោះ $m=2,4,\dots$

អាំងតេក្រាល

អាំងតេក្រាលមិនកំនត់

$\int _{a}^{x}B_{n}(t)\,dt={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}$

$\int _{a}^{x}E_{n}(t)\,dt={\frac {E_{n+1}(x)-E_{n+1}(a)}{n+1}}$

អាំងតេក្រាលកំនត់

$\int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad {\mbox{ for }}m,n\geq 1$

$\int _{0}^{1}E_{n}(t)E_{m}(t)\,dt=(-1)^{n}4(2^{m+n+2}-1){\frac {m!n!}{(m+n+2)!}}B_{n+m+2}$