អាំងតេក្រាលកំនត់

និយមន័យ

members.dirtgame.net

• គេមានអនុគមន៍ f(x) ដែលជាប់នៅចន្លោះ [a, b], គេចែកចន្លោះ[a, b] ជា n ផ្នែកស្មើៗគ្នាតាមលំដាប់ x₀(=a), x₁, x₂, ..., x_n(=b) និង តាង ${\frac {b-a}{n}}=\bigtriangleup x$ នោះគេបាន

$\int _{-a}^{b}f(x)\,dx\,\!=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n-1}f(x_{k})\bigtriangleup x=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\bigtriangleup x$

• ប្រសិនបើ b=a នោះគេបាន

$\int _{a}^{a}f(x)\,dx\,\!=0$

ប្រសិនបើ b < a នោះគេបាន

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,\!=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx$

រូបមន្ត Newton-Leibnitz

គេអោយអនុគមន៍ f(x) ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់លើ [a, b] និង F(x) ជាព្រីមីទីវនៃអនុគមន៍ f(x)។ គេបាន $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,\!=[F(x)]{_{a}^{b}}=F(b)-F(a)\!$

លក្ខណៈនៃអាំងតេក្រាលកំនត់

គ្រប់ចំនួនពិត C គេបាន

1. $\int _{a}^{b}Cf(x)\,dx\,\!=C\int _{a}^{b}f(x)\,dx$
2. $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,\!=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx$
3. $\int _{a}^{b}{(f(x)\pm g(x))}\,dx\,\!=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\pm \int _{a}^{b}g(x)\,dx$
4. ប្រសិនបើ f(x) ≤ g(x) នៅចន្លោះ [a, b] គេបាន $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,\!\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx$
5. $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,\!=\int _{a}^{b}f(u)\,du=\int _{a}^{b}f(t)\,dt$
6. f(x) ជាអនុគមន៍ជាប់ នោះគេបាន ${\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,\!=f(x)$

អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក

1. គេអោយ u=u(x) និង v=v(x) ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់លើចន្លោះ [a, b] នោះគេបាន $\int _{a}^{b}u\,dv\,\!=[u.v]{_{a}^{b}}-\int _{a}^{b}v\,du$

   $\int _{a}^{b}f(x).g'(x)\,dx\,\!=[f(x).g(x)]{_{a}^{b}}-\int _{a}^{b}f'(x).g(x)\,dx$

   $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,\!=[x.f(x)]{_{a}^{b}}-\int _{a}^{b}x.f'(x)\,dx$

វិធីសាស្ត្រគណនាអាំងតេក្រាលកំនត់មួយចំនួន

ក) គណនាអាំងតេក្រាលដែលមានរាង $\color {blue}I=\int _{a}^{b}{\frac {U(x)}{\ {U(x)+V(x)}}}\,dx$

-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេតាង $\color {Red}J=\int _{a}^{b}{\frac {V(x)}{\ {U(x)+V(x)}}}\,dx$

គេបាន I + J = b - a និង I - J = ...? រួចគណនា I ដោយដោះស្រាយប្រព័ន្ធ ${\begin{cases}I+J=b-a\\I-J=...?\end{cases}}$

សំគាល់: គេប្រើវិធីសាស្រ្តនេះគណនាអាំងតេក្រាលដែលមានរាង

$\color {blue}I=\int _{a}^{b}{\frac {U(sinx)}{\ {U(sinx)+U(cosx)}}}\,dx$    និង $\color {blue}J=\int _{a}^{b}{\frac {U(cosx)}{\ {U(sinx)+U(cosx)}}}\,dx$ ដែល $a+b={\frac {\pi }{2}}$

រឺ $\color {blue}I=\int _{a}^{b}{\frac {U(tanx)}{\ {U(tanx)+U(cotx)}}}\,dx$    និង $\color {blue}J=\int _{a}^{b}{\frac {U(cotx)}{\ {U(tanx)+U(cotx)}}}\,dx$ ដែល $a+b={\frac {\pi }{2}}$

-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេតាង $t={\frac {\pi }{2}}-x$ រួចគណនា I, J ដោយដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ ${\begin{cases}I+J=b-a\\I=J\end{cases}}$

ខ) គេអោយ f ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់លើ [-a, a]។ គេតាង $\color {Red}I=\int _{-a}^{a}f(x)\,dx$

1. បង្ហាញថាបើ f ជាអនុគមន៍គូលើ [-a, a] នោះគេបាន $I=2\int _{0}^{a}f(x)\,dx$
2. បង្ហាញថាបើ f ជាអនុគមន៍សេសលើ [-a, a] នោះគេបាន I = 0

-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេមាន $\color {blue}I=\int _{-a}^{0}f(x)\,dx+\int _{0}^{a}f(x)\,dx$

ចំពោះ$\color {blue}\int _{-a}^{0}f(x)\,dx$ គេតាង $t=-x$

គ) គេអោយ f ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់លើ [a, b]។ គេបាន $\color {blue}\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(a+b-x)\,dx$

-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេតាង $t=a+b-x$

សំគាល់: គេច្រើនប្រើវិធីសាស្រ្តនេះដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដែល:

$a+b=\pi$ រឺ $a+b={\frac {\pi }{2}}$ រឺ $a+b={\frac {\pi }{4}}$

ឃ) គេអោយ f ជាអនុគមន៍ជាប់ និងជាអនុគមន៍ខួបមានខួប T។ បង្ហាញថា $\color {blue}\int _{a}^{a+T}f(x)\,dx=\int _{a-T}^{a}f(x)\,dx$

-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេតាង t = x - T

ង) គេអោយ f ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់។ បង្ហាញថា: $\color {blue}\int _{a}^{2a}f(x)\,dx=\int _{0}^{a}[f(x)+f(2a-x)]\,dx$

-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេមាន $\int _{a}^{2a}f(x)\,dx=\int _{0}^{a}f(x)\,dx+\int _{a}^{2a}f(x)\,dx$

ចំពោះ $\int _{a}^{2a}f(x)\,dx$ គេតាង t = 2a - x

ច) គេអោយ f ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ f(a+b-x) = f(x)ដែល a, b ជាចំនួនគេស្គាល់ជាមុន។ បង្ហាញថា $\int _{a}^{b}xf(x)\,dx={\frac {a+b}{2}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេតាង t = a + b -x

ឆ) គេអោយ b ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន និង f ជាអនុគមន៍ជាប់និងជាអនុគមន៍គូលើ[-a, a]។ បង្ហាញថា $\int _{-a}^{a}{\frac {f(x)}{b^{x}+1}}\,dx=\int _{0}^{a}f(x)\,dx$

-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេមាន $\int _{-a}^{a}{\frac {f(x)}{b^{x}+1}}\,dx=\int _{-a}^{0}{\frac {f(x)}{b^{x}+1}}\,dx+\int _{0}^{a}{\frac {f(x)}{b^{x}+1}}\,dx$

ចំពោះ $\int _{-a}^{0}{\frac {f(x)}{b^{x}+1}}\,dx$ គេតាង t = -x

អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមួយចំនួន

គេមាន n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន

1. $\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}sin^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}cos^{n}x\,dx$
2. ក). ប្រសិនបើ n ជាចំនួនគូ នោះគេបាន

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}sin^{n}x\,dx={\frac {n-1}{n}}.{\frac {n-3}{n-2}}.......{\frac {3}{4}}.{\frac {1}{2}}.{\frac {\pi }{2}}$

    ខ). ប្រសិនបើ n ជាចំនួនសេស នោះគេបាន

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}sin^{n}x\,dx={\frac {n-1}{n}}.{\frac {n-3}{n-2}}.......{\frac {2}{3}}.1$

សំរាយបញ្ជាក់

1. តាង $x={\frac {\pi }{2}}-t,\quad {\frac {dx}{dt}}=-1$ នោះគេបាន $t={\frac {\pi }{2}}$ នៅពេល $x=0\,$ និង $t=0\,$ នៅពេល $x={\frac {\pi }{2}}$

$\therefore \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}dx=\int _{\frac {\pi }{2}}^{0}\sin ^{n}({\frac {\pi }{2}}-t)(-1)dt=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}({\frac {\pi }{2}}-t)dt=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}tdt=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}xdx$

2. តាង $I_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}xdx\quad$ ចំពោះ $n\geq 2\quad$ គេបាន

${\begin{aligned}I_{n}&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-1}x(-\cos x)'dx=[\sin ^{n-1}x(-\cos x)]_{0}^{\frac {\pi }{2}}+(n-1)\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-2}x\cdot \cos ^{2}xdx\\&=(n-1)\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-2}x(1-\sin ^{2}x)dx=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}\end{aligned}}$

$\therefore nI_{n}=(n-1)I_{n-2}\qquad \Rightarrow I_{n}={\frac {n-1}{n}}\cdot I_{n-2}\qquad \circledast$

គេបាន $I_{1}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin xdx=-[\cos x]_{0}^{\frac {\pi }{2}}=1,\quad I_{0}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}dx={\frac {\pi }{2}}$

ដូចនេះគេបាន$\circledast \qquad$ កំនត់ដោយ

• ប្រសិនបើ n ជាចំនួនគូ គេបាន       $I_{n}={\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n-3}{n-2}}\cdots \cdots {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}$
• ប្រសិនបើ n ជាចំនួនសេស គេបាន $I_{n}={\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n-3}{n-2}}\cdots \cdots {\frac {2}{3}}\cdot 1$

ឧទាហរណ៍៖ $\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{5}xdx={\frac {4}{5}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {8}{15}},\qquad \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{4}xdx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{4}xdx={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}={\frac {3}{16}}\pi$

សូមមើលផងដែរ

• អាំងតេក្រាលមិនកំនត់
• អាំងតេក្រាលឌុប
• អាំងតេក្រាលត្រីគុណ
• អាំងតេក្រាលខ្សែកោង
• អាំងតេក្រាលផ្ទៃ