អាំងតេក្រាលមិនកំនត់

អាំងតេក្រាល (​បារាំង: Intégral; អង់គ្លេស: Integral) ហៅ​ជា អនុកល ក៏​បាន គឺ​ជាគន្លឹះ​ដ៏​សំខាន់​នៅ​ក្នុង​គណិត​វិទ្យា ។ បើ​និយាយ​ឱ្យ​ស្រួល​ស្តាប់​ទៅ អាំងតេក្រាល គឺ​ជាអនុគមន៍​មុន​ពេល​ធ្វើ​ដេរីវេ ។

រូបមន្តអាំងតេក្រាលមិនកំណត់មួយចំនួន

C​ ជាចំនួនពិត

រូបមន្តអាំងតេក្រាលមិនកំនត់សំខាន់ៗ

        $(1).\int e^{x}\,dx\,\!=e^{x}+C$
        $(2).\int a^{x}\,dx\,\!={\frac {1}{\ lna}}~a^{x}+C$
        $(3).\int {\frac {1}{\ x}}~dx=ln|x|+C$
        $(4).\int x^{p}\,dx\,\!={\frac {1}{\ p+1}}x^{p+1}+C\quad ($ដែល​ p​ ជាចំនួនពិត)
        $(5).\int {\frac {1}{\ {x^{2}-a^{2}}}}\,dx\,\!={\frac {1}{\ {2a}}}ln|{\frac {x^{2}-a^{2}}{x^{2}+a^{2}}}|+C\quad (a\neq 0)$
        $(6).\int {\frac {1}{\ {x^{2}+a^{2}}}}\,dx\,\!={\frac {1}{\ {a}}}tan^{-1}{\frac {x}{a}}+C\quad (a\neq 0)$

        $(7).\int sinx\,dx\,\!=-cosx+C$
        $(8).\int cosx\,dx\,\!=sinx+C$
        $(9).\int {\frac {1}{\ cos^{2}x}}\,dx\,\!=tanx+C$
        $(10).\int {\frac {1}{\ sin^{2}x}}\,dx\,\!=-cotx+C$
        $(11).\int tanx\,dx\,\!=-ln|cosx|+C$
        $(12).\int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx\,\!=sin^{-1}{\frac {x}{a}}+C\quad (a>0)$
        $(13).\int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-A}}}\,dx\,\!=ln|x+{\sqrt {x^{2}+A}}|+C\quad (A\neq 0)$
        $(14).\int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx\,\!={\frac {1}{\ {2}}}(x{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+a^{2}sin^{-1}{\frac {x}{a}})+C\quad (a>0)$
        $(15).\int {\sqrt {x^{2}+A}}\,dx\,\!={\frac {1}{\ {2}}}(x{\sqrt {x^{2}+A}}+Aln|x+{\sqrt {x^{2}+A}}|)+C$

អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក

$(1).\int f(x)g'(x)\,dx\,\!=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx\,\!$
$(2).\int f(x)\,dx\,\!=xf(x)-\int xf'(x)\,dx\,\!$
$(3).\int lnx\,dx\,\!=xlnx-x+C$

ឧទាហរណ៏ៈគណនាអាំងតេក្រាល
$(1)\int xsinx\,dx\,\!$

• របៀបគិត: តាង $\color {Red}f(x)=x,g'(x)=sinx$ រួចប្រើរូបមន្តអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក គេបាន
  

$\int xsinx\,dx\,\!=\int x(-cosx)'\,dx\,\!=x(-cosx)-\int (x)'(-cosx)\,dx\,\!$
                $=-xcosx+\int cosx\,dx\,\!=-xcosx+sinx+C$

$(2)\int xlnx\,dx\,\!$
តាង​ $\color {Red}f(x)=lnx,g'(x)=x$ គេបាន
$\int xlnx\,dx\,\!=\int lnx({\frac {1}{2}}x^{2})'\,dx\,\!=lnx({\frac {1}{2}}x^{2})-\int (lnx)'({\frac {1}{2}}x^{2})\,dx\,\!$
                $={\frac {1}{2}}x^{2}lnx-{\frac {1}{2}}\int x\,dx\,\!={\frac {1}{2}}x^{2}lnx-{\frac {1}{4}}x^{2}+C$

អាំងតេក្រាលប្តូរអថេរ

គេមានអនុគមន៏ $\varphi (x)=t$ គេបាន
$\color {blue}\int f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx\,\!=\int f(t){\frac {dt}{dx}}\,dx\,\!=\int f(t)\,dt\,\!$

ឧទាហរណ៏ៈគណនាអាំងតេក្រាល
$(1)\int sin^{2}xcosx\,dx\,\!$

វិធីសាស្រ្តកំណត់មេគុណ

• ក/ ករណីធម្មតា

• របៀបទី១

ឧទាហរណ៍ ${\frac {1}{(x+3)(x+2)(x+5)}}\,\!={\frac {A}{x+3}}\,\!+{\frac {B}{x+2}}\,\!+{\frac {C}{x+5}}\,\!$

តម្រូវភាគបែង រួចប្រៀបធៀបមេគុណរួមដឺក្រេនៃ $x\!$

• ​​ របៀបទី២

គុណអង្គទាំងពីរនឹង $x+3\!$ រួចយក $x=-3\!$ គេបាន $A=-{\frac {1}{2}}\!$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង $x+2\!$ រួចយក $x=-2\!$ គេបាន $B={\frac {1}{3}}\!$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង $x+5\!$ រួចយក $x=-5\!$ គេបាន $C={\frac {1}{6}}\!$

• ខ/ ករណីភាគបែងមានឫសពិត

ឧទាហរណ៍ ${\frac {x^{2}+1}{(x+1)(x-2)(x+7)}}\,\!={\frac {A}{x+1}}\,\!+{\frac {B}{x-2}}\,\!+{\frac {C}{x+7}}\,\!$

គុណអង្គទាំងពីរនឹង $x+1\!$ រួចយក $x=-1\!$ គេបាន $A=-{\frac {1}{9}}\!$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង $x-2\!$ រួចយក $x=2\!$ គេបាន $B={\frac {5}{27}}\!$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង $x+7\!$ រួចយក $x=-7\!$ គេបាន $C={\frac {25}{27}}\!$

• គ/ ករណីភាគបែងមានឫសលំដាប់ខ្ពស់

ឧទាហរណ៍ ${\frac {x+2}{(x+3)^{3}(x-1)}}\,\!={\frac {A}{(x+3)^{3}}}\,\!+{\frac {B}{(x+3)^{2}}}\,\!+{\frac {C}{x+3}}\,\!+{\frac {D}{x-1}}\,\!$
យក$x=0\!$ គេបាន​$B=-{\frac {3}{16}}\,\!$

គុណអង្គទាំងពីរនឹង $(x+3)^{3}\!$ រួចយក $x=-3\!$ គេបាន $A={\frac {1}{4}}\!$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង $x-1\!$ រួចយក $x=1\!$ គេបាន $D={\frac {3}{64}}\!$
គុណអង្គទាំងពីរនឹង $x+3\!$ រួចយក $x\to +\infty \,\!$
គេបាន $0=C+D;C=-{\frac {3}{64}}\,\!$

យក $x=0\!$ គេបាន $B=-{\frac {3}{16}}\,\!$

• ឃ/​ ករណីភាគបែងមានឫសកុំផ្លិច

ឧទាហរណ៍ ${\frac {x+1}{(x-2)(x^{2}+1)}}\,\!={\frac {A}{x-2}}\,\!+{\frac {Bx+C}{x^{2}+1}}\,\!$

គុណអង្គទាំង២ នឹង $x-2\!$ គេបាន $A={\frac {3}{5}}\,\!$
គុណអង្គទាំង២​ នឹង $x^{2}+1\!$ រួចយក​ $x=i\!$

គេបាន $B=-{\frac {3}{5}}\,\ ;\,C=-{\frac {1}{5}}\,\!$

• ង/​ ករណីភាគបែងមានឫសកុំផ្លិចលំដាប់ខ្ពស់

ឧទាហរណ៍ ${\frac {4}{x^{4}+1}}\,\!={\frac {Ax+B}{x^{2}-{\sqrt {2}}x+1}}\,\!+{\frac {Cx+D}{x^{2}+{\sqrt {2}}x+1}}\,\!$
ដោយ $f(x)={\frac {4}{x^{4}+1}}\,\!$ ជាអនុគមន៍គូ គេបាន

${\frac {Ax+B}{x^{2}-{\sqrt {2}}x+1}}\,\!+{\frac {Cx+D}{x^{2}+{\sqrt {2}}x+1}}\,\!={\frac {-Ax+B}{x^{2}+{\sqrt {2}}x+1}}\,\!+{\frac {-Cx+D}{x^{2}-{\sqrt {2}}x+1}}\,\!$

គេបាន​ $A=-C\ ;\,B=D\!$
គុណអង្គទាំង២នឹង $x^{2}-{\sqrt {2}}x+1\!$ រួចយក $x=i\!$ គេបាន $A=-{\sqrt {2}}\,\ ;\,C={\sqrt {2}}\!$

យក $x=0\!$ គេបាន $B=D=2\!$

វិធីសាស្រ្ត OSTROGRADSKI

ប្រើសម្រាប់​គណនាអាំងតេក្រាលអនុគមន៍ប្រភាគសនិទានដែលភាគបែងមានឫសលំដាប់ខ្ពស់ ។

• បើ ${\frac {P(x)}{Q(x)}}\!$ មានឫសលំដាប់ខ្ពស់ច្រើន គេបាន៖

$\color {blue}\int {\frac {P(x)}{Q(x)}}\,dx\,\!={\frac {X(x)}{R(x)}}\,\!+\int {\frac {Y(x)}{S(x)}}\,dx\,\!$
ដែល $R(x)=PGCD[Q(x);Q^{'}(x)]\!$
$S(x)={\frac {Q(x)}{R(x)}}\!$
$X(x)\!$​ និង $Y(x)\!$ ជាពហុធាមានមេគុណត្រូវកំណត់ហើយមានដឺក្រេរៀងគ្នា តូចជាង $R(x)\!$ និង $S(x)\!$ មួយឯកតា

ឧទាហរណ៍​ : គណនា $I=\int {\frac {1}{(x^{3}-1)^{2}}}\,dx\,\!$

• ក/ តាមប្រភាគសនិទាន

${\frac {1}{(x^{3}-1)^{2}}}\,\!={\frac {1}{(x-1)^{2}(x^{2}+x+1)^{2}}}\,\!={\frac {A}{(x-1)^{2}}}\,\!+{\frac {B}{x-1}}\,\!+{\frac {Cx+D}{(x^{2}+x+1)^{2}}}\,\!+{\frac {Ex+F}{x^{2}+x+1}}\,\!$

• ខ/​ តាម OSTROGRADSKI

គេបាន​ $Q(x)=(x^{3}-1)^{2};Q^{'}(x)=6x^{2}(x^{3}-1);R(x)=PGCD[Q(x);Q^{'}(x)]=x^{3}-1;S(x)={\frac {Q(x)}{R(x)}}\,\!={\frac {(x^{3}-1)^{2}}{x^{3}-1}}\,\!=x^{3}-1\!$

$\Rightarrow I=\int {\frac {1}{(x^{3}-1)^{2}}}\,dx\,\!={\frac {ax^{2}+bx+c}{x^{3}-1}}\,\!+\int {\frac {a^{'}x^{2}+b^{'}x+c^{'}}{x^{3}-1}}\,dx\,\!$
ដេរីវេអង្គទាំង២ គេបាន ${\frac {1}{(x^{3}-1)^{2}}}\,\!={\frac {(2ax+b)(x^{3}-1)-3x^{2}(ax^{2}+bx+c)}{(x^{3}-1)^{2}}}\,\!+{\frac {(a^{'}x^{2}+b^{'}x+c^{'})(x^{3}-1)}{(x^{3}-1)^{2}}}\,\!$
តម្រូវភាគបែង រួចប្រៀបធៀបមេគុណរួមដឺក្រេនៃ$x\!$ គេបាន​​ $a=0;b=-{\frac {1}{3}}\,\!;c=0;a^{'}=0;b^{'}=0;c^{'}=-{\frac {2}{3}}\!$
$\Rightarrow I=\int {\frac {1}{(x^{3}-1)^{2}}}\,dx\,\!={\frac {-{\frac {1}{3}}\,\!x}{x^{3}-1}}\,\!+\int {\frac {-{\frac {2}{3}}\,\!}{x^{3}-1}}\,dx\,\!$

អាំងតេក្រាលអនុគមន៍អសនិទាន

• ១/​ អាំងតេក្រាលរាង

$\color {blue}I=\int f(x^{\frac {m}{n}}\,\!;x^{\frac {p}{q}}\,\!;......)\,dx\,\!$
គេត្រូវតាង $x=t^{k}\!$ ដែល $k\!$ ជាភាគបែងរួមនៃប្រភាគ ${\frac {m}{n}}\,\!;{\frac {p}{q}}\,\!;......\!$

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int {\frac {\sqrt[{3}]{x}}{{\sqrt {x}}\,\!+{\sqrt[{4}]{x}}}}\,dx\,\!=\int {\frac {x^{\frac {1}{3}}}{x^{\frac {1}{2}}\,\!+x^{\frac {1}{4}}}}\,\!$
តាង $x=t^{12}\!$

• ២/ អាំងតេក្រាលរាង

$\color {blue}I=\int f\left[\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\,\!\right)^{\frac {m}{n}}\,\!;\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\,\!\right)^{\frac {p}{q}}\,\!;......\right]\,dx\,\!$
គេតាង ${\frac {ax+b}{cx+d}}\,\!=t^{k}\!$ ដែល $k\!$ ជាភាគបែងរួមនៃប្រភាគ ${\frac {m}{n}}\,\!;{\frac {p}{q}}\,\!;......\!$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int {\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\,dx\,\!=\int \left({\frac {1-x}{1+x}}\right)^{\frac {1}{2}}\,dx\,\!$
តាង ${\frac {1-x}{1+x}}\,=\,t^{2}\,\!\Leftrightarrow \,x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\!$

វិធីសាស្រ្តប្តូរអថេរEULER

សម្រាប់​អាំងតេក្រាលមានរាង

$\color {blue}I=\int f\left(x;{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)\,dx\,\!$

• ក/ បើ Δ<0 ; a>0 តាង ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\,=\,{\sqrt {a}}x+t\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-x+3}}}}\,dx\,\!$
តាង ${\sqrt {x^{2}-x+3}}\,=\,x+t\,\Rightarrow x={\frac {3-t^{2}}{1+2t}}\,\!$

• ខ/ បើ Δ<0 ; c >0 តាង ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\,=\,xt+{\sqrt {c}}\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int {\frac {(1-{\sqrt {1+x+x^{2}}})^{2}}{x^{2}{\sqrt {1+x+x^{2}}}}}\,dx\,\!$
តាង ${\sqrt {1+x+x^{2}}}\,=\,xt+1\Rightarrow x={\frac {1-2t}{t^{2}-1}}\,\!$

• គ/ បើ Δ>0 គេបាន ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\,=\,{\sqrt {a(x-x_{1})(x-x_{2})}}\,\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int {\frac {\sqrt {x^{2}+2x}}{x}}\,dx\,\!$
តាង ${\sqrt {x^{2}+2x}}\,=\,xt\Rightarrow x={\frac {2}{t^{2}-1}}\,\!$

អាំងតេក្រាលរាង$\color {blue}I=\int {\frac {P_{n}(x)}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}\,dx\,\!$

គេបំលែង $\color {Red}I=\int {\frac {P_{n}(x)}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}\,dx\,=\,P_{n-1}(x){\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\,+\,\lambda \int {\frac {1}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}\,dx\,\!$
$P_{n-1}(x)\!$ ជាពហុធាដឺក្រេ $n-1\!$ មានមេគុណត្រូវកំណត់ ហើយគេអាចគណនាមេគុណទាំងនោះ​ ដោយដេរីវេអង្គទាំងពីរ រួចប្រៀបធៀមេគុណរួមដឺក្ររេនៃះ$x\!$ ។

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int {\frac {x^{3}+2x^{2}+3x+4}{\sqrt {x^{2}+2x+2}}}\,dx\,\!$
គេបាន : $I=\int {\frac {x^{3}+2x^{2}+3x+4}{\sqrt {x^{2}+2x+2}}}\,dx\,=\,(ax^{2}+bx+c){\sqrt {x^{2}+2x+2}}\,+\,\lambda \int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+2x+2}}}\,dx\,\!$

អាំងតេក្រាលអនុគមន៍ទ្វេធាឌីផេរ៉ង់ស្យែល

$\color {blue}I=\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\,dx\,\!$
គេអាចគណនាតាមបីករណី៖

• ករណីទី១​:

បើ $p\in \mathbb {Z} \!$
តាង​ $x=t^{k}\!$ ដែល $k\!$ ជាភាគបែងរួមនៃប្រភាគ $m;n\!$

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int {\frac {1}{{\sqrt {x}}({\sqrt[{4}]{x}}+1)^{10}}}\,dx\,=\,\int x^{-{\frac {1}{2}}}(x^{\frac {1}{4}}+1)^{-10}\,dx\,\!$
តាង $x=t^{4}\!$

• ករណីទី២:

បើ $p\not \in \mathbb {Z} \,;{\frac {m+1}{n}}\in \mathbb {Z} \,\!$
តាង $a+bx^{n}=t^{k};k\!$ ជាភាគបែងរួមនៃ$p\!$

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int {\frac {\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{4}]{x}}}}{\sqrt {x}}}\,dx\,=\,\int x^{-{\frac {1}{2}}}(1+x^{\frac {1}{4}})^{\frac {1}{3}}\,dx\,\!$
តាង $1+x^{\frac {1}{4}}=t^{3}\,\Leftrightarrow x=(t^{3}-1)^{4}\,\!$

• ករណីទី៣:

បើ​ $p\not \in \mathbb {Z} \,;{\frac {m+1}{n}}\not \in \mathbb {Z} \,;{\frac {m+1}{n}}+p\in \mathbb {Z} \,\!$

តាង $a+bx^{-n}=t^{k}\!$​​ ឬ ${\frac {a+bx^{n}}{x^{m}}}\!$ ដែល​ $k\!$ ជាភាគបែងរួមនៃ$p\!$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $\int {\frac {1}{x^{4}{\sqrt {1+x^{2}}}}}\,dx\,=\,\int x^{-4}(1+x^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\,dx\,\!$
តាង $1+x^{-2}=t^{2}\,\Leftrightarrow x=(t^{2}-1)^{-{\frac {1}{2}}}\,\!$

អាំងតេក្រាលដោយផ្នែកដែលមាន៤រាង

ប្រើរូបមន្តអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក $\int udv\,=\,uv\,-\,\int vdu\!$

• ១/ រាង $\color {blue}\int P(x)sinaxdx\,;\,\int P(x)cosaxdx\,;\,\int P(x)e^{ax}dx\,\!$
  

ដែល $P(x)\!$ ជាពហុធា​ $;\,a$​ ជាចំនួនថេរ គេតាង $u=P(x)\!$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $\int xsin2xdx\!$ តាង $u=x\Rightarrow du=dx\!$

• ២/ រាង $\color {blue}\int P(x)log_{a}x\!dx$ តាង $u=log_{a}x\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $\int x^{2}log_{2}xdx\!$ តាង $u=log_{2}x\!$

• ៣/​ រាង $\color {blue}\int e^{ax}sinaxdx\,;\,\int e^{ax}cosaxdx\!$
  តាង $u=e^{ax}\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $\int e^{x}cos3xdx\!$ តាង $u=e^{x}\!$

• ៤/ រាង $\color {blue}\int P(x)arcsinxdx\ ;\,\int P(x)arccosxdx\,;\,\int P(x)arctanxdx\!$ តាង $u=arcsinx\,;\,u=arccosx\,;u=arctanx\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $\int xarctanxdx\!$ តាង $u=arctanx\Rightarrow \,du={\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\,\!$

• ៥/ រាង $\color {blue}\int cosmxcosnxdx\,;\,\int sinmxsinnxdx\,;\,\int sinmxcosnxdx\!$
  

ប្រើរូបមន្ត នូឌុប

$cosacosb\,=\,{\frac {1}{2}}[cos(a+b)+cos(a-b)]\!$
$sinasinb\,=\,{\frac {1}{2}}[cos(a-b)-cos(a+b)]\!$
$sinacosb\,=\,{\frac {1}{2}}[sin(a+b)+sin(a-b)]\!$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $\int sin4xsin3xdx\!$

អាំងតេក្រាលរាង​ $\color {blue}I=\int sin^{m}xcos^{n}xdx\,;\,(m;n\in \mathbb {N} ^{*})\!$

• ១/​ បើ $m\!$ សេស តាង $t=cosx\!$
  
• ២/ បើ $n\!$​ សេស តាង $t=sinx\!$
  
• ៣/ បើ $m\,;\,n\!$ គូ ប្រើវិធីបន្ថយដឺក្រេ $cos^{2}x={\frac {1+cos2x}{2}}\,;\,sin^{2}x={\frac {1-cos2x}{2}}\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int sin^{3}xcos^{4}xdx\!$ តាង $t=cosx\!$

អាំងតេក្រាលរាង$\color {blue}I=\int sin^{m}xcos^{n}xdx\,;\,(m<0;n<0)\!$

គេតាង​ $t=tanx\Rightarrow \,dt=(1+tan^{2}x)dx\,\Leftrightarrow dx={\frac {1}{1+t^{2}}}\,dt\!$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int sin^{-{\frac {3}{2}}}xcos^{-1}xdx\,=\,\int {\frac {1}{sin^{\frac {3}{2}}cosx}}\,dx\,\!$
បំលែង​ ${\frac {1}{sin^{{\frac {3}{2}}{cosx}}}}\,=\,(1+{\frac {1}{tan^{2}x}})^{\frac {3}{4}}(1+tan^{2})^{\frac {1}{2}}\!$
តាង $t=tanx\,\Leftrightarrow dx={\frac {1}{1+t^{2}}}\,dt\,\!$ គេបាន $I=\int t^{-{\frac {3}{2}}}(1+t^{2})^{\frac {1}{4}}\,dt\!$
តាង $1+t^{-2}=k^{4}\!$

អាំងតេក្រាលរាង$\color {blue}I=\int cos^{m}xdx\,;\,\int sin^{n}xdx\!$

• បើ $m\!$ សេស $(\!$រៀង$n\!$​សេស$)\!$​ ចូរប្រើរូបមន្ត $cos^{2}x+sin^{2}x=1\!$
  
• បើ $m\!$ គូ $(\!$រៀង$n\!$គូ$)\!$ ចូរប្រើរូបមន្ត $cos^{2}x={\frac {1+cos2x}{2}}\ ;\,sin^{2}x={\frac {1-cos2x}{2}}\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int cos^{5}xdx\,=\,\int cos^{4}xcosxdx\,=\,\int (1-sin^{2}x)^{2}cosxdx\!$
តាង $t=sinx\!$

អាំងតេក្រាលរាង$\color {blue}I=\int tan^{m}xdx\ ;\,J=\int cot^{n}xdx\!$

គេប្រើវីធីបន្ថយដឺក្រេ ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int tan^{5}xdx\,=\,\int tan^{3}xtan^{2}xdx\,=\,\int [tan^{3}x(tan^{2}x+1)-tan^{3}x]dx\!$

អាំងតេក្រាលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ $\color {blue}I=\int R(sinx\,;\,cosx)\,dx\,\!$

ជាទូទៅ គេតាង$t=tan{\frac {x}{2}}\Rightarrow x=2arctant\Rightarrow dx={\frac {2}{1+t^{2}}}dt\!$
$sinx={\frac {2t}{1+t^{2}}}\,;\,cosx={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\,;\,tanx={\frac {2t}{1-t^{2}}}\!$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int {\frac {1}{1+sinx}}\,dx\,\!$
តាង​ $t=tan{\frac {x}{2}}\!$

• ករណីពិសេស

• ក/​ បើ $\color {blue}R(-sinx;cosx)=-R(sinx;cosx)\!$ តាង $t=cosx\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int {\frac {sin^{3}x}{cosx+sin^{2}x+1}}\,dx\,\!$
$t=cosx\Rightarrow dt=-sinxdx\!$

• ខ/ បើ $\color {blue}R(sinx;-cosx)=-R(sinx;cosx)\!$ តាង​ $t=sinx\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int {\frac {cos^{5}x}{sin^{3}x+cos^{2}x-sinx}}\,dx\,\!$
$t=sinx\Rightarrow dt=cosxdx\!$

• គ/ បើ $\color {blue}R(-sinx;-cosx)=R(sinx;cosx)\!$ តាង​ $t=tanx\Rightarrow x=arctant\Rightarrow dx={\frac {1}{1+t^{2}}}dt\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int {\frac {cos^{2}x}{sin^{2}x+4sinxcosx}}\,dx\,\!$
តាង $t=tanx\!$

វិធីប្តូរអថេរត្រីកោណមាត្រ

• ក/​ បើអនុគមន៍ក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាលមានរ៉ាឌីកាល់${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\!$ គេត្រូវ តាង$x=acost\!$ ឬ $x=asint\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int {\sqrt {2-x^{2}}}\,dx\,=\,\int {\sqrt {{\sqrt {2^{2}}}-x^{2}}}\,dx\,\!$
តាង $x={\sqrt {2}}sint\Rightarrow dx={\sqrt {2}}costdt\,;\,t=arcsin{\frac {x}{\sqrt {2}}}\!$

• ខ/ បើអនុគមន៍ក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាលមានរ៉ាឌីកាល់​ ${\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\!$ គេត្រូវតាង​ $x={\frac {a}{cost}}\!$ ឬ $x={\frac {a}{sint}}\!$
  

ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int {\frac {x^{3}}{\sqrt {x^{2}-4}}}\,dx\,\!$
តាង $x={\frac {2}{cost}}\Rightarrow dx={\frac {2sint}{cos^{2}t}}dt\,;\ t=arccos{\frac {2}{x}}\!$

អាំងតេក្រាលរាង $\color {Blue}I=\int {\frac {a^{'}sinx+b^{'}cosx}{asinx+bcosx}}\,dx\,\!$

គេត្រូវបំលែង​ : $\color {Red}a^{'}sinx+b^{'}cosx=A(asinx+bcosx)+B(acosx-bsinx)\!$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int {\frac {sinx-cosx}{sinx+2cosx}}\,dx\,\!$
ដោយ $sinx-cosx=A(sinx+2cosx)+B(cosx-2sinx)=(A-2B)sinx+(2A+B)cosx\!$
$\Rightarrow A=-{\frac {1}{5}}\,;\,B=-{\frac {3}{5}}\!$

អាំងតេក្រាលរាង​ $\color {Blue}I=\int {\frac {a^{'}sinx+b^{'}cosx}{(asinx+bcosx)^{2}}}\,dx\,\!$

គេត្រូវបំលែង $\color {Red}a^{'}sinx+b^{'}cosx=A(asinx+bcosx)+B(acosx-bsinx)\!$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int {\frac {sinx-cosx}{(2sinx+cosx)^{2}}}\,dx\,\!$
ដោយ $sinx-cosx=A(2sinx+cosx)+B(2cosx-sinx)=(2A-B)sinx+(A+2B)cosx\!$
គេបាន $A={\frac {1}{5}}\,;\,B=-{\frac {3}{5}}\!$

អាំងតេក្រាលរាង​ $\color {Blue}I=\int {\frac {a^{'}sinx+b^{'}cosx+c^{'}}{asinx+bcosx+c}}\,dx\,\!$

គេត្រូវបំលែង $\color {Red}a^{'}sinx+b^{'}cosx+c^{'}\,=\,A(asinx+bcosx+c)+B(acosx-bsinx)+C\!$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $\color {Blue}I=\int {\frac {sinx-2cosx+3}{sinx+2cosx-3}}\,dx\,\!$
ដោយ $sinx-2cosx+3\,=\,A(sinx+2cosx-3)+B(cosx-2sinx)+C\,=\,(A-2B)sinx+(2A+B)cosx-3A+C\!$
គេបាន $A=-{\frac {3}{5}}\,;\,B=-{\frac {4}{5}}\,;\,C={\frac {6}{5}}\!$

អាំតេក្រាលរាង$\color {blue}I=\int {\frac {a^{'}sin^{2}x+2b^{'}sinxcosx+c^{'}cos^{2}x}{asinx+bcosx}}\,dx\,\!$

គេត្រូវបំលែង $\color {Red}a^{'}sin^{2}x+2b^{'}sinxcosx+c^{'}cos^{2}x\,=\,(asinx+bcosx)(Asinx+Bcosx)+C(sin^{2}x+cos^{2}x)\!$
ឧទាហរណ៍ : គណនា $I=\int {\frac {sin^{2}x-2sinxcosx+3cos^{2}x}{sinx-cosx}}\,dx\,\!$
ដោយ $sin^{2}x-2sinxcosx+3cos^{2}x\,=\,(sinx-cosx)(Asinx+Bcosx)+C(sin^{2}x+cos^{2}x)\,=\,(A+C)sin^{2}x+(B-A)sinxcosx+(C-B)cos^{2}x\!$
គេបាន $A=0\,;\,B=-2\,;\,C=1\!$

មើលផងដែរ

• អាំងតេក្រាលកំណត់
• អាំងតេក្រាលឌុប
• អាំងតេក្រាលត្រីគុណ
• អាំងតេក្រាលខ្សែកោង
• អាំងតេក្រាលផ្ទៃ