រូបមន្តដឺម័រ

រូបមន្តដឺម័រ (De Moivre's formula) ត្រូវបានគេហៅដោយយកតាមឈ្មោះរបស់លោក អាប្រាហាម ដឺ ម័រ (Abraham de Moivre) ដែលជាជនជាតិបារាំង ដោយបានចែងថាចំពោះគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច (និងជាពិសេសចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត) x និង គ្រប់ចំនួនគត់ n គេបាន

$\color {blue}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)\,$

រូបមន្តនេះមានសារៈសំខាន់ពីព្រោះវាភ្ជាប់ចំនួនកុំផ្លិច (i តំណាងអោយឯកតានិម្មិត) និង ត្រីកោណមាត្រ ។ កន្សោម $\cos x+i\sin x\,$ គឺជួនការត្រូវបានគេសរសេរកាត់ជា $cisx\,$ ។

ការទាញយករូបមន្តដឺម័រ

រូមមន្តដឺម័រអាចត្រូវបានទាញចេញដោយងាយដោយប្រើរូបមន្តអយល័រ

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\,$

និងតាមទ្រឹស្តីបទអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

$\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}\,$ ។

តាមរូបមន្តអយល័រ គេបាន

$e^{i(nx)}=\cos(nx)+i\sin(nx)\,$ ។

សំរាយបញ្ជាក់រូបមន្ត

គេមាន $x\in \mathbb {R}$

យើងសិក្សា៣ករណី

(១). ករណី $n>0\,$ យើងបកស្រាយប្រើវិចារកំនើន។ នៅពេល $n=1\,$ លទ្ធផលគឺពិតជាត្រឹមត្រូវ។ តាមសម្មតិកម្ម យើងសន្មតថាលទ្ធផល​គឺពិតចំពោះ​គ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន $k\,$ គឺថា

$\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)\,$

យើងបាន

• ចំពោះ $n=1;\quad \Rightarrow (\cos x+i\sin x)^{1}=\cos(1\cdot x)+i\sin(1\cdot x)\qquad \,$    ពិត
• ចំពោះ $n=2\,;$
  ${\begin{aligned}\Rightarrow (\cos x+i\sin x)^{2}&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x+2i\cos x\sin x\\&=\cos(2\cdot x)+i\sin(2\cdot x)\qquad \\\end{aligned}}$
  សមីការផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះ n = 2 ដែរ

• ឧបមាថាវាពិតដល់ $n=k+1\;$ គេបាន

${\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)\right]\left(\cos x+i\sin x\right)&&\qquad \\&=\cos \left(kx\right)\cos x-\sin \left(kx\right)\sin x+i\left[\cos \left(kx\right)\sin x+\sin \left(kx\right)\cos x\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\sin \left[\left(k+1\right)x\right]&&\qquad \end{alignedat}}$

យើងសន្និដ្ឋានថាលទ្ធផលពិតចំពោះ $n=k+1\,$ នៅពេលដែល $n=k\,$ ។ តាមគោលការណ៍វិចារកំនើនគណិតវិទ្យា លទ្ធផលពិតចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n\geq 1\,$

(២). ករណី $n=0\,$ រូបមន្តពិតព្រោះ $\cos(0x)+i\sin(0x)=1+i0=1\,$, គេអាចសន្មត $z^{0}=1$ ។

(៣). ករណី $n<0\,$ យើងសន្មតមានចំនួនពិតវិជ្ជមាន $m\,$ ដែល $n=-m\,$ ។ ដូចនេះ

${\begin{aligned}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{-m}\\&={\frac {1}{\left(\cos x+i\sin x\right)^{m}}}\\&={\frac {1}{\left(\cos mx+i\sin mx\right)}}\\&=\cos \left(mx\right)-i\sin \left(mx\right)\\&=\cos \left(-mx\right)+i\sin \left(-mx\right)\\&=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)\end{aligned}}$

ដូចនេះរូបមន្តពិតចំពោះគ្រប់តំលៃជាចំនួនគត់នៃ n ។

លក្ខណៈទូទៅ

ប្រសិនបើ z និង w' គឺជាចំនួនកុំផ្លិច នោះគេបាន

$\left(\cos z+i\sin z\right)^{w}$

គឺជាអនុគមន៍មានតំលៃច្រើន ដែល

$\cos(wz)+i\sin(wz)\,$

មិនមែន។ ដូចនេះគេអាចពោលថា

$\cos(wz)+i\sin(wz)\,$   គឺជាតំលៃមួយនៃ   $\left(\cos z+i\sin z\right)^{w}\,$

គំនូសមនៅលើ ប្លង់កុំផ្លិចនៃរឹសគូបនៃ១

អនុវត្ត

រូបមន្តនេះអាចត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីរករឹសទី n នៃចំនួនកុំផ្លិច។ ប្រសិនបើ z ជាចំនួនកុំផ្លិច សរសេរក្នុងទំរង់ប៉ូលែរជា

$z=r\left(\cos x+i\sin x\right)\,$

គេបាន

$z^{{}^{\frac {1}{n}}}=\left[r\left(\cos x+i\sin x\right)\right]^{{}^{\frac {1}{n}}}=r^{{}^{\frac {1}{n}}}\left[\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right]$

ដែល k ជាចំនួនគត់។ ដើម្បីទទួល n រឹសផ្សេងៗគ្នានៃ z ចាំបាច់ត្រូវការអោយតំលៃនៃ k ពី 0 ដល់ n-1 ។

សូមមើលផងដែរ

• រូបមន្តអយល័រ (Euler's formula)
• ចំនួនកុំផ្លិច