រូបមន្តអយល័រ
រូបមន្តអយល័រ (Euler's formula) យកឈ្មោះតាមលោក លេអុនហាដ អយល័រ (Leonhard Euler) គឺជារូបមន្តគណិតវិទ្យាក្នុងការគណនាកុំផ្លិចដែលបង្ហាញទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និតរវាងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និង អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលកុំផ្លិច។
រូបមន្តអយល័រពោលថាចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត
គេបាន

ដែល
រូបមន្តអយល័រនៅតែពិតបើទោះបីជា
ជាចំនួនកុំផ្លិចក៏ដោយ។
រូបមន្តអយល័រត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ដំបូងដោយ រ៉ូចឺ កូត្ស Roger Cotes ក្នុងឆ្នាំ ១៧១៤ ជារាង

(ដែល ln តំណាងអោយលោការីតនេពែ (ឬហៅម្យ៉ាងទៀតថាលោការីតធម្មជាតិ) មានន័យថាជាលោការីត log ដែលមានគោល e)
លោកអយល័រជាអ្នកបោះពុម្ពរូបមន្តជារាងបច្ចប្បន្ននេះនៅឆ្នាំ១៧៤៨ ដែលជាមូលដ្ឋានគ្រឹះសំរាប់សំរាយបញ្ជាក់របស់គាត់ចំពោះស៊េរីអនន្តពីរស្មើគ្នា។ អ្នកទាំងពីរមិនបានបង្ហាញតំណាងធរណីមាត្រនៃរូបមន្តទេៈ តំណាងនៃចំនួនកុំផ្លិចជាចំនុចនៅក្នុងប្លង់កុំផ្លិចបានលេចឡើងនៅ៥០ឆ្នាំក្រោយមក។ លោក អយល័របានចាត់ទុកវាជាធម្មតាដើម្បីណែនាំទៅកាន់សិស្សរបស់គាត់អំពីចំនួនកុំផ្លិចមានភាពស្រួលច្រើនជាងអ្វីដែលពួកយើងធ្វើសព្វថ្ងៃ។ នៅក្នុងសៀវភៅពិជគណិតថ្នាក់ដំបូងរបស់គាត់ (elementary algebra text book) គាត់បានណែនាំអំពីចំនួនទាំងនេះយ៉ាងហោចណាស់ម្តង និងបានប្រើប្រាស់ពួកវាតាមរយៈវិធីសាស្រ្តធម្មតា។
ការអនុវត្តក្នុងទ្រឹស្តីចំនួនកុំផ្លិច
[កែប្រែ]

គូសជារង្វង់ត្រីកោណមាត្រក្នុងប្លង់កុំផ្លិច
រូបមន្តនេះអាចត្រូវបានគេបកស្រាយដោយនិយាយថា អនុគមន៍
គូសជារង្វង់ត្រីកោណមាត្រក្នុងប្លង់កុំផ្លិចជា
រ៉ាដ្យង់តាមរយះចំនួនពិត ។ ទីនេះ
គឺជាមុំដែលបន្ទាត់មួយភ្ជាប់គល់តំរុយជាមួយចំនុចមួយនៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្របង្កើតជាមួយអ័ក្សពិតផ្នែកវិជ្ជមានតាមទិសដៅដូចទ្រនិចនាឡិកានិងគិតជារ៉ាដ្យង់។
សំរាយបញ្ជាក់ដើមគឺពឹងផ្អែកទៅលើការពន្លាតជាស៊េរីតេល័រនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
(ដែល
ជាចំនួនកុំផ្លិច) និងការពន្លាតជាស៊េរីតេល័រនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស
និង កូស៊ីនុស
ចំពោះចំនួនពិត
។ តាមពិតសំរាយបញ្ជាក់ដូចគ្នាបង្ហាញថារូបមន្តអយល័រពិតផងដែរចំពោះគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច
។
ចំនុចមួយនៅក្នុងប្លង់កុំផ្លិចអាចត្រូវបានបង្ហាញជាចំនួនកុំផ្លិចដៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដេកាត។ រូបមន្តអយល័រផ្តល់នូវតំលៃមធ្យមនៃគំលាតរវាងកូអរដោនេដេកាត និង កូអរដោនេប៉ូលែរ។ ទំរង់ប៉ូលែរបន្ថយចំនួណតួពីពីរទៅមួយ ដែលសំរួលក្នុងគណិតវិទ្យានៅពេលដែលវាត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ក្នុងប្រមាណវិធីគុណឬស្វ័យគុណនៃចំនួនកុំផ្លិច។ ចំនួនកុំផ្លិច
អាចសរសេរជា


ដែល
គឺជាផ្នែកពិត
គឺជាផ្នែកនិម្មិត
គឺជាម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច
ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ 
គឺជាអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច
គឺជាអាគុយម៉ងនៃចំនួនកុំផ្លិច មានន័យថាគឺជាមុំរវាងអ័ក្សពិត
និង វ៉ិចទ័រ
វាស់ក្នុងទិសដៅស្របនឹងទ្រនិចនាឡិកានិងគិតជារ៉ាដ្យង់។
យើងអាចប្រើរូបមន្តអយល័រដើម្បីកំនត់លោការីតនៃចំនួនកុំផ្លិចមួយ។ យើងក៏អាចប្រើនិយមន័យនៃលោការីត (ជាឆ្លាស់នៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល) ដែល

និង

ទំនាក់ទំនងទាំងពីរពិតចំពោះគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច a និង b ។ ហេតុនេះយើងអាចសរសេរ

ចំពោះ
។ បំលាក់លោការីតលើអង្គទាំងសងខាង យើងបាន

តាមពិតទំនាក់ទំនងនេះអាចត្រូវបានគេប្រើដើម្បីកំនត់និយមន័យសំរាប់កុំផ្លិចលោការីត។ លោការីតនៃចំនួនកុំផ្លចមួយគឺជាអនុគមន៍មានពហុតំលៃ ពីព្រោះ
មានពហុតំលៃ (មានតំលៃច្រើន) ។
ចុងក្រោយ រូបមន្តអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់
រួមជាមួយរូបមន្តអយល័រ ដែលជាប់ទាក់ទងផងដែរនូវរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និង រូបមន្តដឺម័រ។
ទំនាក់ទំនងចំពោះត្រីកោណមាត្រ
[កែប្រែ]


សមីការទាំងពីរខាងលើអាចទាញបានដោយការបូកឬដករូបមន្តអយល័រ៖


រូបមន្តទាំងនេះផ្តល់និយមន័យអោយអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រចំពោះអាគុយម៉ង់
នៃចំនួនកុំផ្លិច ។
ឧទាហរណ៍៖ តាង
គេបាន


អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលកុំផ្លិចអាចសំរួលជាត្រីកោណមាត្រ ពីព្រោះវាងាយស្រួលសំរួលជាងស៊ីនុយសូអ៊ីត។ គេអាចបំលែងស៊ីនុយសូអ៊ីតជាកន្សោមអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ ឧទាហរណ៍៖

គេអាចបំលែងស៊ីនុយសូអ៊ីតជាផ្នែកពិតនៃកន្សោមចំនួនកុំផ្លិច និង សរសេរជាកន្សោមនៃចំនួនកុំផ្លិច។ ឧទាហរណ៍៖

រូបមន្តនេះត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីបង្កើតរបត់ស៊ីនុយសូអ៊ីតនៅចន្លោះ x រ៉ាដ្យង់។
ការពន្លាតជាស៊េរីនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមានអថេរជាចំនួនពិត x អាចសរសេរ

និងអាចបន្លាយដល់ចំនួនកុំផ្លិច x ។
ពន្លាតជាស៊េរីតេល័រចំពោះអនុគមន៍ស៊ីនុស និង កូស៊ីនុសគឺ


ដើម្បីសំរួលសមីការនេះ យើងប្រើលក្ខណៈគ្រឹះខាងក្រោម

ជាទូទៅចំពោះគ្រប់អិចស្ប៉ូសង់ជាចំនួនគត់ n គេបាន

ចំពោះចំនួនកុំផ្លិច z យើងកំនត់អនុគមន៍និមួយៗទាំងនេះដោយស៊េរីខាងលើ ជំនួសអថេរពិត x ដោយអថេរកុំផ្លិច z ។ យើងបាន

ដូចនេះគេបានរូបមន្តអយល័រ ដូចដែលបានពោល៖

គេមានអនុគមន៍
(អាចជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិច) នៃអថេរ x កំនត់ដោយ

ដោយយោងតាមរូបមន្តផលគុណ និង ផលចែកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍
គេបានដេរីវេនៃអនុគមន៍
កំនត់ដោយ
ហេតុនេះ
ជាអនុគមន៍ថេរ។ គេបាន


ដូចនេះ

តាងអនុគមន៍
យើងបាន






- នោះ

- រកតម្លៃ
ដោយយក 
- នាំឲ្យ

ដូចនេះ
។
គេមានអនុគមន៍
ដែល

ដោយចាត់ទុក
គឺជាចំនួនថេរ ដេរីវេទី១ និង ទី២ នៃ
គឺ

(ពីព្រោះ
)
ចេញពីទំនាក់ទំនងនេះគេអាចបង្កើតសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនែអ៊ែរលំដាប់២

ឬ

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់២ មានចំលើយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរចំនួនពីរដែលផ្ទៀងផ្ទាត់វា៖


ទាំង
និង
គឺជាអនុគមន៍ពិតដែលដេរីវេទី២គឺមានសញ្ញាអវិជ្ជមាននៃអនុគមន៍ខ្លួនវា។ បន្សំលីនេអ៊ែរនៃចំលើយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអូម៉ូសែនក៏ជាចំលើយមួយផងដែរ។ ចំលើយទូទៅនៃសមីការគឺ

ដែល A និង B គឺជាចំនួនថេរ។ ប៉ុន្តែមិនមែនគ្រប់តំលៃទាំងអស់នៃចំនួនថេរទាំងពីរនេះសុទ្ធតែផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌដើមដែលគេស្គាល់ចំពោះ
ទេ៖


តំលៃនៃលក្ខខណ្ឌដើមជំនួសក្នុងចំលើយទូទៅ


គេបាន


និងចុងក្រោយ

គឺជារូបមន្តអយល័រ។