រូបមន្តអយល័រ

រូបមន្តអយល័រ (Euler's formula) យកឈ្មោះតាមលោក លេអុនហាដ អយល័រ (Leonhard Euler) គឺជារូបមន្តគណិតវិទ្យាក្នុងការគណនាកុំផ្លិចដែលបង្ហាញទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និតរវាងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និង អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលកុំផ្លិច។

រូបមន្តអយល័រពោលថាចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $\ x$ គេបាន

\color {blue}e^{ix}=\cos x+i\;\sin x

ដែល

$\ e$ គឺជាគោលនៃលោការីតនេពែ (លោការីតធម្មជាតិ)
$\ i$ គឺជាឯកតានិម្មិត (ឬហៅថាចំនួននិម្មិត)
$\ \sin$ និង $\ \cos$ គឺជាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

រូបមន្តអយល័រនៅតែពិតបើទោះបីជា $\ x$ ជាចំនួនកុំផ្លិចក៏ដោយ។

ប្រវត្តិ

រូបមន្តអយល័រត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ដំបូងដោយ រ៉ូចឺ កូត្ស Roger Cotes ក្នុងឆ្នាំ ១៧១៤ ជារាង

\ln(\cos x+i\sin x)=ix\

(ដែល ln តំណាងអោយលោការីតនេពែ (ឬហៅម្យ៉ាងទៀតថាលោការីតធម្មជាតិ) មានន័យថាជាលោការីត log ដែលមានគោល e)

លោកអយល័រជាអ្នកបោះពុម្ពរូបមន្តជារាងបច្ចប្បន្ននេះនៅឆ្នាំ១៧៤៨ ដែលជាមូលដ្ឋានគ្រឹះសំរាប់សំរាយបញ្ជាក់របស់គាត់ចំពោះស៊េរីអនន្តពីរស្មើគ្នា។ អ្នកទាំងពីរមិនបានបង្ហាញតំណាងធរណីមាត្រនៃរូបមន្តទេៈ តំណាងនៃចំនួនកុំផ្លិចជាចំនុចនៅក្នុងប្លង់កុំផ្លិចបានលេចឡើងនៅ៥០ឆ្នាំក្រោយមក។ លោក អយល័របានចាត់ទុកវាជាធម្មតាដើម្បីណែនាំទៅកាន់សិស្សរបស់គាត់អំពីចំនួនកុំផ្លិចមានភាពស្រួលច្រើនជាងអ្វីដែលពួកយើងធ្វើសព្វថ្ងៃ។ នៅក្នុងសៀវភៅពិជគណិតថ្នាក់ដំបូងរបស់គាត់ (elementary algebra text book) គាត់បានណែនាំអំពីចំនួនទាំងនេះយ៉ាងហោចណាស់ម្តង និងបានប្រើប្រាស់ពួកវាតាមរយៈវិធីសាស្រ្តធម្មតា។

ការអនុវត្តក្នុងទ្រឹស្តីចំនួនកុំផ្លិច

រូបមន្តនេះអាចត្រូវបានគេបកស្រាយដោយនិយាយថា អនុគមន៍ $\ e^{ix}$ គូសជារង្វង់ត្រីកោណមាត្រក្នុងប្លង់កុំផ្លិចជា $\ x$ រ៉ាដ្យង់តាមរយះចំនួនពិត ។ ទីនេះ $\ x$ គឺជាមុំដែលបន្ទាត់មួយភ្ជាប់គល់តំរុយជាមួយចំនុចមួយនៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្របង្កើតជាមួយអ័ក្សពិតផ្នែកវិជ្ជមានតាមទិសដៅដូចទ្រនិចនាឡិកានិងគិតជារ៉ាដ្យង់។

សំរាយបញ្ជាក់ដើមគឺពឹងផ្អែកទៅលើការពន្លាតជាស៊េរីតេល័រនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល $\ e^{z}$ (ដែល $\ z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច) និងការពន្លាតជាស៊េរីតេល័រនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស $\ \sin x$ និង កូស៊ីនុស $\ \cos$ ចំពោះចំនួនពិត $\ x$ ។ តាមពិតសំរាយបញ្ជាក់ដូចគ្នាបង្ហាញថារូបមន្តអយល័រពិតផងដែរចំពោះគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច $\ z$ ។

ចំនុចមួយនៅក្នុងប្លង់កុំផ្លិចអាចត្រូវបានបង្ហាញជាចំនួនកុំផ្លិចដៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដេកាត។ រូបមន្តអយល័រផ្តល់នូវតំលៃមធ្យមនៃគំលាតរវាងកូអរដោនេដេកាត និង កូអរដោនេប៉ូលែរ។ ទំរង់ប៉ូលែរបន្ថយចំនួណតួពីពីរទៅមួយ ដែលសំរួលក្នុងគណិតវិទ្យានៅពេលដែលវាត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ក្នុងប្រមាណវិធីគុណឬស្វ័យគុណនៃចំនួនកុំផ្លិច។ ចំនួនកុំផ្លិច $\ z=x+iy$ អាចសរសេរជា

z=x+iy=|z|(\cos \theta +i\sin \theta )=|z|e^{i\theta }=re^{i\theta }\,

{\bar {z}}=x-iy=|z|(\cos \theta -i\sin \theta )=|z|e^{-i\theta }=re^{-i\theta }\,

ដែល

x=\mathrm {Re} \{z\}\,

គឺជាផ្នែកពិត

y=\mathrm {Im} \{z\}\,

គឺជាផ្នែកនិម្មិត

|z|=r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}

គឺជាម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច

\ {\bar {z}}

ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ

\ z

\theta =\arctan({\frac {y}{x}})

គឺជាអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច

$\ \theta$ គឺជាអាគុយម៉ងនៃចំនួនកុំផ្លិច មានន័យថាគឺជាមុំរវាងអ័ក្សពិត $\ x$ និង វ៉ិចទ័រ $\ z$ វាស់ក្នុងទិសដៅស្របនឹងទ្រនិចនាឡិកានិងគិតជារ៉ាដ្យង់។

យើងអាចប្រើរូបមន្តអយល័រដើម្បីកំនត់លោការីតនៃចំនួនកុំផ្លិចមួយ។ យើងក៏អាចប្រើនិយមន័យនៃលោការីត (ជាឆ្លាស់នៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល) ដែល

a=e^{\ln(a)}\,

និង

e^{a}e^{b}=e^{a+b}\,

ទំនាក់ទំនងទាំងពីរពិតចំពោះគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច a និង b ។ ហេតុនេះយើងអាចសរសេរ

z=|z|e^{i\theta }=e^{\ln |z|}e^{i\theta }=e^{\ln |z|+i\theta }\,

ចំពោះ $z\neq 0$ ។ បំលាក់លោការីតលើអង្គទាំងសងខាង យើងបាន

\ln z=\ln |z|+i\theta \,

តាមពិតទំនាក់ទំនងនេះអាចត្រូវបានគេប្រើដើម្បីកំនត់និយមន័យសំរាប់កុំផ្លិចលោការីត។ លោការីតនៃចំនួនកុំផ្លចមួយគឺជាអនុគមន៍មានពហុតំលៃ ពីព្រោះ $\theta \,$ មានពហុតំលៃ (មានតំលៃច្រើន) ។

ចុងក្រោយ រូបមន្តអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

(e^{a})^{k}=e^{ak}\,

ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ $\ k$ រួមជាមួយរូបមន្តអយល័រ ដែលជាប់ទាក់ទងផងដែរនូវរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និង រូបមន្តដឺម័រ។

ទំនាក់ទំនងចំពោះត្រីកោណមាត្រ

\cos x=\mathrm {Re} \{e^{ix}\}={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}

\sin x=\mathrm {Im} \{e^{ix}\}={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}

សមីការទាំងពីរខាងលើអាចទាញបានដោយការបូកឬដករូបមន្តអយល័រ៖

e^{ix}=\cos x+i\sin x\;

e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\;

រូបមន្តទាំងនេះផ្តល់និយមន័យអោយអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រចំពោះអាគុយម៉ង់ $\ x$ នៃចំនួនកុំផ្លិច ។

ឧទាហរណ៍៖ តាង $\ x=iy$ គេបាន

\cos(iy)={e^{-y}+e^{y} \over 2}=\cosh(y)

\sin(iy)={e^{-y}-e^{y} \over 2i}=-i\sinh(y)

អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលកុំផ្លិចអាចសំរួលជាត្រីកោណមាត្រ ពីព្រោះវាងាយស្រួលសំរួលជាងស៊ីនុយសូអ៊ីត។ គេអាចបំលែងស៊ីនុយសូអ៊ីតជាកន្សោមអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ ឧទាហរណ៍៖

{\begin{aligned}\cos x\cdot \cos y&={\frac {(e^{ix}+e^{-ix})}{2}}\cdot {\frac {(e^{iy}+e^{-iy})}{2}}\\&={\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{4}}\\&={\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(-x-y)}}{4}}+{\frac {e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}}{4}}\\&={\frac {\cos(x+y)}{2}}+{\frac {\cos(x-y)}{2}}\end{aligned}}

គេអាចបំលែងស៊ីនុយសូអ៊ីតជាផ្នែកពិតនៃកន្សោមចំនួនកុំផ្លិច និង សរសេរជាកន្សោមនៃចំនួនកុំផ្លិច។ ឧទាហរណ៍៖

{\begin{aligned}\cos(nx)+\cos((n-2)x)&=\mathrm {Re} \{\quad e^{inx}+e^{i(n-2)x}\quad \}\\&=\mathrm {Re} \{\quad e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix}+e^{-ix})\quad \}\\&=\mathrm {Re} \{\quad e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos x\quad \}\\&=2\cos((n-1)x)\cos x\end{aligned}}

រូបមន្តនេះត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីបង្កើតរបត់ស៊ីនុយសូអ៊ីតនៅចន្លោះ x រ៉ាដ្យង់។

សំរាយបញ្ជាក់

សំរាយបញ្ជាក់ដោយប្រើស៊េរីតេល័រ

ការពន្លាតជាស៊េរីនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមានអថេរជាចំនួនពិត x អាចសរសេរ

e^{x}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+...=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}

និងអាចបន្លាយដល់ចំនួនកុំផ្លិច x ។

ពន្លាតជាស៊េរីតេល័រចំពោះអនុគមន៍ស៊ីនុស និង កូស៊ីនុសគឺ

\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}

ដើម្បីសំរួលសមីការនេះ យើងប្រើលក្ខណៈគ្រឹះខាងក្រោម

i^{0}=1,\qquad i^{1}=i,\qquad i^{2}=-1,\qquad i^{3}=-i,\qquad i^{4}=1,\ldots

ជាទូទៅចំពោះគ្រប់អិចស្ប៉ូសង់ជាចំនួនគត់ n គេបាន

i^{\,4n}=1,\qquad i^{\,4n+1}=i,\qquad i^{\,4n+2}=-1,\qquad i^{\,4n+3}=-i

ចំពោះចំនួនកុំផ្លិច z យើងកំនត់អនុគមន៍និមួយៗទាំងនេះដោយស៊េរីខាងលើ ជំនួសអថេរពិត x ដោយអថេរកុំផ្លិច z ។ យើងបាន

{\begin{aligned}e^{iz}&{}=1+iz+{\frac {(iz)^{2}}{2!}}+{\frac {(iz)^{3}}{3!}}+{\frac {(iz)^{4}}{4!}}+{\frac {(iz)^{5}}{5!}}+{\frac {(iz)^{6}}{6!}}+{\frac {(iz)^{7}}{7!}}+{\frac {(iz)^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=1+iz-{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {iz^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {iz^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-{\frac {iz^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=\left(1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&{}=\cos z+i\sin z\end{aligned}}

ដូចនេះគេបានរូបមន្តអយល័រ ដូចដែលបានពោល៖

\color {blue}e^{ix}=\cos x+i\;\sin x

សំរាយបញ្ជាក់ដោយប្រើដេរីវេ

គេមានអនុគមន៍ $\ f$ (អាចជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិច) នៃអថេរ x កំនត់ដោយ

f(x)={\frac {\cos x+i\sin x}{e^{ix}}}\

ដោយយោងតាមរូបមន្តផលគុណ និង ផលចែកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ $\ f(x)$ គេបានដេរីវេនៃអនុគមន៍ $\ f(x)$ កំនត់ដោយ

${\begin{aligned}f'(x)&=\displaystyle {\frac {(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix}-(\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^{2}}}\\&=\displaystyle {\frac {-\sin x\cdot e^{ix}-i^{2}\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^{2}}}\\&=\displaystyle {\frac {-\sin x-i^{2}\sin x}{e^{ix}}}\\&=\displaystyle {\frac {-\sin x-(-1)\sin x}{e^{ix}}}\\&=\displaystyle {\frac {-\sin x+\sin x}{e^{ix}}}\\&=0\end{aligned}}$

ហេតុនេះ $\ f$ ជាអនុគមន៍ថេរ។ គេបាន

f(x)=f(0)={\frac {\cos 0+i\sin 0}{e^{0}}}=1

\Rightarrow {\frac {\cos x+i\sin x}{e^{ix}}}=1

ដូចនេះ

\color {blue}e^{ix}=\cos x+i\;\sin x

សំរាយបញ្ជាក់ដោយប្រើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលបែបងាយ

តាងអនុគមន៍ $f(x)=\cos x+i\sin x\,\!$

យើងបាន

f'(x)=-\sin x+i\cos x=i\cdot \left(i\sin x+\cos x\right)

f'(x)=i\cdot f(x)

{\frac {f'(x)}{f(x)}}=i

\int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx}=\int {i\cdot dx}

\ln \left(f(x)\right)=ix+c

f(x)={e}^{ix+c}\,\!

នោះ

{{e}^{ix+c}}=\cos x+i\sin x\,\!

រកតម្លៃ

c\,\!

ដោយយក

x=0\,\!

នាំឲ្យ

{{e}^{c}}=\cos 0+i\sin 0=1\,\!

\Rightarrow c=0

ដូចនេះ

{{e}^{ix}}=\cos x+i\sin x\,\!

។

សំរាយបញ្ជាក់ដោយប្រើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលបែបម្យ៉ាងទៀត

គេមានអនុគមន៍ $\ g(x)$ ដែល

\ g(x)=e^{ix}

ដោយចាត់ទុក $\ i$ គឺជាចំនួនថេរ ដេរីវេទី១ និង ទី២ នៃ $\ g(x)$ គឺ

g'(x)=ie^{ix}\

g''(x)=i^{2}e^{ix}=-e^{ix}\

(ពីព្រោះ

\ i^{2}=-1

)

ចេញពីទំនាក់ទំនងនេះគេអាចបង្កើតសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនែអ៊ែរលំដាប់២

g''(x)=-g(x)\

ឬ

g''(x)+g(x)=0\

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់២ មានចំលើយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរចំនួនពីរដែលផ្ទៀងផ្ទាត់វា៖

g_{1}(x)=\cos x\

g_{2}(x)=\sin x\

ទាំង $\ \cos$ និង $\ \sin$ គឺជាអនុគមន៍ពិតដែលដេរីវេទី២គឺមានសញ្ញាអវិជ្ជមាននៃអនុគមន៍ខ្លួនវា។ បន្សំលីនេអ៊ែរនៃចំលើយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអូម៉ូសែនក៏ជាចំលើយមួយផងដែរ។ ចំលើយទូទៅនៃសមីការគឺ