រូបមន្តអយល័រ
រូបមន្តអយល័រ (Euler's formula) យកឈ្មោះតាមលោក លេអុនហាដ អយល័រ (Leonhard Euler) គឺជារូបមន្តគណិតវិទ្យាក្នុងការគណនាកុំផ្លិចដែលបង្ហាញទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និតរវាងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និង អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលកុំផ្លិច។
រូបមន្តអយល័រពោលថាចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត
គេបាន
![{\displaystyle \color {blue}e^{ix}=\cos x+i\;\sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f368b7941d924487ba476a0be26c668ed4fe8124)
ដែល
រូបមន្តអយល័រនៅតែពិតបើទោះបីជា
ជាចំនួនកុំផ្លិចក៏ដោយ។
រូបមន្តអយល័រត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ដំបូងដោយ រ៉ូចឺ កូត្ស Roger Cotes ក្នុងឆ្នាំ ១៧១៤ ជារាង
![{\displaystyle \ln(\cos x+i\sin x)=ix\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803a8a3fc5ed9dbca3f8e67c2ef3aea0b4b6fff8)
(ដែល ln តំណាងអោយលោការីតនេពែ (ឬហៅម្យ៉ាងទៀតថាលោការីតធម្មជាតិ) មានន័យថាជាលោការីត log ដែលមានគោល e)
លោកអយល័រជាអ្នកបោះពុម្ពរូបមន្តជារាងបច្ចប្បន្ននេះនៅឆ្នាំ១៧៤៨ ដែលជាមូលដ្ឋានគ្រឹះសំរាប់សំរាយបញ្ជាក់របស់គាត់ចំពោះស៊េរីអនន្តពីរស្មើគ្នា។ អ្នកទាំងពីរមិនបានបង្ហាញតំណាងធរណីមាត្រនៃរូបមន្តទេៈ តំណាងនៃចំនួនកុំផ្លិចជាចំនុចនៅក្នុងប្លង់កុំផ្លិចបានលេចឡើងនៅ៥០ឆ្នាំក្រោយមក។ លោក អយល័របានចាត់ទុកវាជាធម្មតាដើម្បីណែនាំទៅកាន់សិស្សរបស់គាត់អំពីចំនួនកុំផ្លិចមានភាពស្រួលច្រើនជាងអ្វីដែលពួកយើងធ្វើសព្វថ្ងៃ។ នៅក្នុងសៀវភៅពិជគណិតថ្នាក់ដំបូងរបស់គាត់ (elementary algebra text book) គាត់បានណែនាំអំពីចំនួនទាំងនេះយ៉ាងហោចណាស់ម្តង និងបានប្រើប្រាស់ពួកវាតាមរយៈវិធីសាស្រ្តធម្មតា។
ការអនុវត្តក្នុងទ្រឹស្តីចំនួនកុំផ្លិច
[កែប្រែ]
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Euler%27s_formula.svg/220px-Euler%27s_formula.svg.png)
គូសជារង្វង់ត្រីកោណមាត្រក្នុងប្លង់កុំផ្លិច
រូបមន្តនេះអាចត្រូវបានគេបកស្រាយដោយនិយាយថា អនុគមន៍
គូសជារង្វង់ត្រីកោណមាត្រក្នុងប្លង់កុំផ្លិចជា
រ៉ាដ្យង់តាមរយះចំនួនពិត ។ ទីនេះ
គឺជាមុំដែលបន្ទាត់មួយភ្ជាប់គល់តំរុយជាមួយចំនុចមួយនៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្របង្កើតជាមួយអ័ក្សពិតផ្នែកវិជ្ជមានតាមទិសដៅដូចទ្រនិចនាឡិកានិងគិតជារ៉ាដ្យង់។
សំរាយបញ្ជាក់ដើមគឺពឹងផ្អែកទៅលើការពន្លាតជាស៊េរីតេល័រនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
(ដែល
ជាចំនួនកុំផ្លិច) និងការពន្លាតជាស៊េរីតេល័រនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស
និង កូស៊ីនុស
ចំពោះចំនួនពិត
។ តាមពិតសំរាយបញ្ជាក់ដូចគ្នាបង្ហាញថារូបមន្តអយល័រពិតផងដែរចំពោះគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច
។
ចំនុចមួយនៅក្នុងប្លង់កុំផ្លិចអាចត្រូវបានបង្ហាញជាចំនួនកុំផ្លិចដៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដេកាត។ រូបមន្តអយល័រផ្តល់នូវតំលៃមធ្យមនៃគំលាតរវាងកូអរដោនេដេកាត និង កូអរដោនេប៉ូលែរ។ ទំរង់ប៉ូលែរបន្ថយចំនួណតួពីពីរទៅមួយ ដែលសំរួលក្នុងគណិតវិទ្យានៅពេលដែលវាត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ក្នុងប្រមាណវិធីគុណឬស្វ័យគុណនៃចំនួនកុំផ្លិច។ ចំនួនកុំផ្លិច
អាចសរសេរជា
![{\displaystyle z=x+iy=|z|(\cos \theta +i\sin \theta )=|z|e^{i\theta }=re^{i\theta }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a2b8832e4672e813c680ca82bf18c20bc451d22)
![{\displaystyle {\bar {z}}=x-iy=|z|(\cos \theta -i\sin \theta )=|z|e^{-i\theta }=re^{-i\theta }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba1393f4c78aa6bff5c77e36c8fdef48a46ec65)
ដែល
គឺជាផ្នែកពិត
គឺជាផ្នែកនិម្មិត
គឺជាម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច
ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ ![{\displaystyle \ z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a522bd614b3334de0d76eecf06ec007d9f9c7d7)
គឺជាអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច
គឺជាអាគុយម៉ងនៃចំនួនកុំផ្លិច មានន័យថាគឺជាមុំរវាងអ័ក្សពិត
និង វ៉ិចទ័រ
វាស់ក្នុងទិសដៅស្របនឹងទ្រនិចនាឡិកានិងគិតជារ៉ាដ្យង់។
យើងអាចប្រើរូបមន្តអយល័រដើម្បីកំនត់លោការីតនៃចំនួនកុំផ្លិចមួយ។ យើងក៏អាចប្រើនិយមន័យនៃលោការីត (ជាឆ្លាស់នៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល) ដែល
![{\displaystyle a=e^{\ln(a)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9602e2b3c1c2e88f840fd238b57cafe88011e9b)
និង
![{\displaystyle e^{a}e^{b}=e^{a+b}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b98330587e63df886d7bac928df29fe0f04d540)
ទំនាក់ទំនងទាំងពីរពិតចំពោះគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច a និង b ។ ហេតុនេះយើងអាចសរសេរ
![{\displaystyle z=|z|e^{i\theta }=e^{\ln |z|}e^{i\theta }=e^{\ln |z|+i\theta }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/569939c1f69c2d40fd6beb89bf622cc6ebb46ee3)
ចំពោះ
។ បំលាក់លោការីតលើអង្គទាំងសងខាង យើងបាន
![{\displaystyle \ln z=\ln |z|+i\theta \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/830f87b4c6a5b6691f33f88a0d0a9440cc2b0447)
តាមពិតទំនាក់ទំនងនេះអាចត្រូវបានគេប្រើដើម្បីកំនត់និយមន័យសំរាប់កុំផ្លិចលោការីត។ លោការីតនៃចំនួនកុំផ្លចមួយគឺជាអនុគមន៍មានពហុតំលៃ ពីព្រោះ
មានពហុតំលៃ (មានតំលៃច្រើន) ។
ចុងក្រោយ រូបមន្តអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
![{\displaystyle (e^{a})^{k}=e^{ak}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cbcc915ac8533bc8d7bb2bfbb4d16e0c4545bf3)
ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់
រួមជាមួយរូបមន្តអយល័រ ដែលជាប់ទាក់ទងផងដែរនូវរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និង រូបមន្តដឺម័រ។
ទំនាក់ទំនងចំពោះត្រីកោណមាត្រ
[កែប្រែ]
![{\displaystyle \cos x=\mathrm {Re} \{e^{ix}\}={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7c4328fb7f9d5ffb7f37be1ed642aee83269b4a)
![{\displaystyle \sin x=\mathrm {Im} \{e^{ix}\}={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4108296698b3481b5eb9f6e5d5a265829924e51d)
សមីការទាំងពីរខាងលើអាចទាញបានដោយការបូកឬដករូបមន្តអយល័រ៖
![{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d284528ef8e17d30b833cd22fb0fe8390431fcba)
![{\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d44655f01875e2d9491ddc3f75086349278329eb)
រូបមន្តទាំងនេះផ្តល់និយមន័យអោយអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រចំពោះអាគុយម៉ង់
នៃចំនួនកុំផ្លិច ។
ឧទាហរណ៍៖ តាង
គេបាន
![{\displaystyle \cos(iy)={e^{-y}+e^{y} \over 2}=\cosh(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4168768d909f716f91aafb98041163fe68a0a35d)
![{\displaystyle \sin(iy)={e^{-y}-e^{y} \over 2i}=-i\sinh(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d69a9bfcc23afcc67c8a33835c4b25eac588aa9e)
អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលកុំផ្លិចអាចសំរួលជាត្រីកោណមាត្រ ពីព្រោះវាងាយស្រួលសំរួលជាងស៊ីនុយសូអ៊ីត។ គេអាចបំលែងស៊ីនុយសូអ៊ីតជាកន្សោមអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ ឧទាហរណ៍៖
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos x\cdot \cos y&={\frac {(e^{ix}+e^{-ix})}{2}}\cdot {\frac {(e^{iy}+e^{-iy})}{2}}\\&={\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{4}}\\&={\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(-x-y)}}{4}}+{\frac {e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}}{4}}\\&={\frac {\cos(x+y)}{2}}+{\frac {\cos(x-y)}{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95459823145ec230ebedaccf8e155b56de15de5d)
គេអាចបំលែងស៊ីនុយសូអ៊ីតជាផ្នែកពិតនៃកន្សោមចំនួនកុំផ្លិច និង សរសេរជាកន្សោមនៃចំនួនកុំផ្លិច។ ឧទាហរណ៍៖
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(nx)+\cos((n-2)x)&=\mathrm {Re} \{\quad e^{inx}+e^{i(n-2)x}\quad \}\\&=\mathrm {Re} \{\quad e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix}+e^{-ix})\quad \}\\&=\mathrm {Re} \{\quad e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos x\quad \}\\&=2\cos((n-1)x)\cos x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/850466dce47ca6f4e9c87bc4d71360dd541c43b4)
រូបមន្តនេះត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីបង្កើតរបត់ស៊ីនុយសូអ៊ីតនៅចន្លោះ x រ៉ាដ្យង់។
ការពន្លាតជាស៊េរីនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមានអថេរជាចំនួនពិត x អាចសរសេរ
![{\displaystyle e^{x}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+...=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bea0ff6846bccc8bfcb8ce2beb69153b18d436c5)
និងអាចបន្លាយដល់ចំនួនកុំផ្លិច x ។
ពន្លាតជាស៊េរីតេល័រចំពោះអនុគមន៍ស៊ីនុស និង កូស៊ីនុសគឺ
![{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a7d98b5f3eb7e4ceed5071b93f7816e7d63b841)
![{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e515a0a76194f152ae639b0e0fbeb2b275558458)
ដើម្បីសំរួលសមីការនេះ យើងប្រើលក្ខណៈគ្រឹះខាងក្រោម
![{\displaystyle i^{0}=1,\qquad i^{1}=i,\qquad i^{2}=-1,\qquad i^{3}=-i,\qquad i^{4}=1,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/696b3330aa81592692f9671d64bc8ce75054962c)
ជាទូទៅចំពោះគ្រប់អិចស្ប៉ូសង់ជាចំនួនគត់ n គេបាន
![{\displaystyle i^{\,4n}=1,\qquad i^{\,4n+1}=i,\qquad i^{\,4n+2}=-1,\qquad i^{\,4n+3}=-i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/056b57a546e21a9e07974b059e06a2021990338e)
ចំពោះចំនួនកុំផ្លិច z យើងកំនត់អនុគមន៍និមួយៗទាំងនេះដោយស៊េរីខាងលើ ជំនួសអថេរពិត x ដោយអថេរកុំផ្លិច z ។ យើងបាន
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{iz}&{}=1+iz+{\frac {(iz)^{2}}{2!}}+{\frac {(iz)^{3}}{3!}}+{\frac {(iz)^{4}}{4!}}+{\frac {(iz)^{5}}{5!}}+{\frac {(iz)^{6}}{6!}}+{\frac {(iz)^{7}}{7!}}+{\frac {(iz)^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=1+iz-{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {iz^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {iz^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-{\frac {iz^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=\left(1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&{}=\cos z+i\sin z\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14cc6e94d4cb9db103322d9cff63dc8ba42242b8)
ដូចនេះគេបានរូបមន្តអយល័រ ដូចដែលបានពោល៖
![{\displaystyle \color {blue}e^{ix}=\cos x+i\;\sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f368b7941d924487ba476a0be26c668ed4fe8124)
គេមានអនុគមន៍
(អាចជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិច) នៃអថេរ x កំនត់ដោយ
![{\displaystyle f(x)={\frac {\cos x+i\sin x}{e^{ix}}}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4589d8504a952408ae2e0812f5408827b8a05dab)
ដោយយោងតាមរូបមន្តផលគុណ និង ផលចែកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍
គេបានដេរីវេនៃអនុគមន៍
កំនត់ដោយ
ហេតុនេះ
ជាអនុគមន៍ថេរ។ គេបាន
![{\displaystyle f(x)=f(0)={\frac {\cos 0+i\sin 0}{e^{0}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/076e02ddc93b452927f15700e4e878aef861dafe)
![{\displaystyle \Rightarrow {\frac {\cos x+i\sin x}{e^{ix}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e76f822e9ed558a8e4bfd7ab9a860355ab59937e)
ដូចនេះ
![{\displaystyle \color {blue}e^{ix}=\cos x+i\;\sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f368b7941d924487ba476a0be26c668ed4fe8124)
តាងអនុគមន៍
យើងបាន
![{\displaystyle f'(x)=-\sin x+i\cos x=i\cdot \left(i\sin x+\cos x\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecbd397bd80ea45c4db070e645eb103f46f36770)
![{\displaystyle f'(x)=i\cdot f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c41e622ccbc3fc2c7dac43d9d686fb5716c4e1)
![{\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b0ed4e7ed5ac572f3346aabd9a369c15e1c4ec)
![{\displaystyle \int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx}=\int {i\cdot dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b6db75bdacaf13ec6e8acaf7cb4c8020a7dc85)
![{\displaystyle \ln \left(f(x)\right)=ix+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc7f0e7a82427ace1274d97448c34f38efd37bf6)
![{\displaystyle f(x)={e}^{ix+c}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6b3b871a479750b7b7f095ec539419804af1bcf)
- នោះ
![{\displaystyle {{e}^{ix+c}}=\cos x+i\sin x\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a2d3438f6f48288d3e8be206d3cdfcd99009fc4)
- រកតម្លៃ
ដោយយក ![{\displaystyle x=0\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74984fb7d01b7a2698aea0cd81b45324a04f070)
- នាំឲ្យ
![{\displaystyle \Rightarrow c=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d4f1690db93703638419460c249b11ac232ba32)
ដូចនេះ
។
គេមានអនុគមន៍
ដែល
![{\displaystyle \ g(x)=e^{ix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0c410a6ab6b8ad51c93a8afc22f8e6da5e070db)
ដោយចាត់ទុក
គឺជាចំនួនថេរ ដេរីវេទី១ និង ទី២ នៃ
គឺ
![{\displaystyle g'(x)=ie^{ix}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6b52c3c329d5d2ac7f35ab57d360c0469d827ca)
(ពីព្រោះ
)
ចេញពីទំនាក់ទំនងនេះគេអាចបង្កើតសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនែអ៊ែរលំដាប់២
![{\displaystyle g''(x)=-g(x)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1a75c177a3f0dbc6da683f4e407891aef83f830)
ឬ
![{\displaystyle g''(x)+g(x)=0\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8218b2fda35a5e69600cb6b8bfa6db919ac76c27)
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់២ មានចំលើយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរចំនួនពីរដែលផ្ទៀងផ្ទាត់វា៖
![{\displaystyle g_{1}(x)=\cos x\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2b57edc452690cd9ee5084458ed2c98fb733d24)
![{\displaystyle g_{2}(x)=\sin x\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e14894430d6de79013e759a3ec5f437c010a2e5)
ទាំង
និង
គឺជាអនុគមន៍ពិតដែលដេរីវេទី២គឺមានសញ្ញាអវិជ្ជមាននៃអនុគមន៍ខ្លួនវា។ បន្សំលីនេអ៊ែរនៃចំលើយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអូម៉ូសែនក៏ជាចំលើយមួយផងដែរ។ ចំលើយទូទៅនៃសមីការគឺ
![{\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&=Ag_{1}(x)+Bg_{2}(x)\\&=A\cos x+B\sin x\ \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d4d170ccd97bc8434effdc6e6f8dfdacb525f4)
ដែល A និង B គឺជាចំនួនថេរ។ ប៉ុន្តែមិនមែនគ្រប់តំលៃទាំងអស់នៃចំនួនថេរទាំងពីរនេះសុទ្ធតែផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌដើមដែលគេស្គាល់ចំពោះ
ទេ៖
![{\displaystyle g(0)=e^{i0}=1\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41f2d118389e7fa6161fc680da86c5bdfd9088c2)
![{\displaystyle g'(0)=ie^{i0}=i\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397448c1e0812ab853b6818867a0246566d4021e)
តំលៃនៃលក្ខខណ្ឌដើមជំនួសក្នុងចំលើយទូទៅ
![{\displaystyle g(0)=A\cos 0+B\sin 0=A\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62127d527819a26ed2f7774ee846ed7d213e2a7b)
![{\displaystyle g'(0)=-A\sin 0+B\cos 0=B\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e14d87d036b95de211caf46bc6f052a2d1840c75)
គេបាន
![{\displaystyle g(0)=A=1\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b803e5fd7878c3a55baad66801922db372d94e7e)
![{\displaystyle g'(0)=B=i\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f947ef120b5d5a282d9108c3b3c7b0cc47aeeb6f)
និងចុងក្រោយ
![{\displaystyle g(x)=e^{ix}=\cos x+i\sin x\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb8325b94862b275cdbfdfc2228ec1136744ba16)
គឺជារូបមន្តអយល័រ។