សមីការកូស៊ី-អយល័រ

ក្នុងគណិតវិទ្យា សមីការកូស៊ី-អយល័រ ឬ សមីការអយល័រ-កូស៊ី គឺជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរអូម៉ូសែនដែលមានមេគុណជាអថេរ​។

សមីការ

តាង $\ y^{(n)}(x)$ គឺជាដេរីវេទី n នៃអនុគមន៍មិនស្គាល់ $\ y(x)$ ។ នោះសមីការកូស៊ី-អយល័រលំដាប់ n មានរាង

$x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0$

ដោយជំនួស $\ x=e^{u}$ ដើម្បី​បន្ថយ​ស្វ័យគុណ​នៃសមីការ​នេះទៅជា​សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ​ដែលមាន​មេគុណ​ជាចំនួនថេរ។

លំដាប់២

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=0\,$

យើងសន្មតតាង

$y=x^{m}\,$

ដោយធ្វើដេរីវេ (ឌីផេរ៉ង់ស្យែល) យើងបាន

${\frac {dy}{dx}}=mx^{m-1}\,$

និង

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=m(m-1)x^{m-2}\,$

ជំនួសវាចូលក្នុងសមីការដើម យើងបាន

$x^{2}(m(m-1)x^{m-2})+ax(mx^{m-1})+b(x^{m})=0\,$

តំរៀបឡើងវិញ យើងបាន

$m^{2}+(a-1)m+b=0\,$

យើងអាចដោះស្រាយសមីការនេះចំពោះ m ។​ មានបីករណីពិសេស

1. ករណីទី១៖ ឫសពីរផ្សេងគ្នា $\ m_{1}$ និង $\ m_{2}$
2. ករណីទី២៖ ឫសឌុប $\ m$
3. ករណីទី៣៖ ឫសជាចំនួនកុំផ្លិច $\ \alpha \pm i\beta$

• ករណីទី១៖​ ចំលើយផ្តល់អោយដោយ

$y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}\,$

• ករណីទី២៖ ចំលើយផ្តល់អោយដោយ

$y=c_{1}x^{m}\ln(x)+c_{2}x^{m}\,$

• ករណីទី៣៖ ចំលើយផ្តល់អោយដោយ

$y=c_{1}x^{\alpha }\cos(\beta \ln(x))+c_{2}x^{\alpha }\sin(\beta \ln(x))\,$

សមីការនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយជាមួយនឹងបំលែង $\ x=e^{t}$ ។

ឧទាហរណ៍

គេអោយសមីការ

$x^{2}u''-3xu'+3u=0\,$

យើងជំនួសចំលើយងាយ $\ x^{\alpha }$

$x^{2}(\alpha (\alpha -1)x^{\alpha -2})-3x(\alpha (x^{\alpha -1}))+3(x^{\alpha })=\alpha (\alpha -1)x^{\alpha }-3\alpha x^{\alpha }+3x^{\alpha }\,$

$=(\alpha (\alpha -1)-3\alpha +3)x^{\alpha }\,$

យើងបាន $\ \alpha =1$ និង $\ \alpha =3$ ។ ចំលើយទូទៅនៃសមីការគឺ

$u=Ax+Bx^{3}\,$