សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលប៊ែរនូយី

ក្នុងគណិតវិទ្យា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលមានទំរង់

$\color {blue}y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,$

ត្រូវបានគេហៅថាសមីការឌីផេរ៉ងស្យែលប៊ែនូរយី (Bernoulli differential equation) ឬ សមីការប៊ែរនូយី ដែល $n\neq 1;\quad 0$ ។

ដោយចែកអង្គទាំងពីរនៃសមីការនឹង $\ y^{n}$ គេបាន

${\frac {y'}{y^{n}}}+{\frac {P(x)}{y^{n-1}}}=Q(x)$

ដោយការប្តូរអញ្ញត្តិ​ដើម្បីបំលែង​សមីការទៅជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនែអ៊ែរលំដាប់ទី១។

តាង $u={\frac {1}{y^{n-1}}}\quad \Rightarrow \quad u'={\frac {(1-n)}{y^{n}}}y'$

សមីការក្លាយជា

${\frac {u'}{1-n}}+P(x)u=Q(x)$

ឬ

$\ u'+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x)$

គេអាចដោះស្រាយបំលែងចុងក្រោយនេះដោយប្រើកត្តាអាំងតេក្រាល

$M(x)=e^{(1-n)\int P(x)dx}$

ឧទាហរណ៍

ដោះស្រាយសមីការប៊ែរនូយីខាងក្រោម

$y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}$

ដោយចែកសមីការនឹង $\ y^{2}$ គេបាន

$y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}$

ដោយប្តូរអថេរ សមីការក្លាយជា

${\begin{aligned}u={\frac {1}{y}}&\quad \Rightarrow \quad u'={\frac {-y'}{y^{2}}}\\&\quad \Rightarrow \quad u'+{\frac {2}{x}}u=x^{2}\qquad (i)\end{aligned}}$

ដែលអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើកត្តាអាំងតេក្រាល

$M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}dx}=x^{2}$

ដោយគុណសមីការ (i) នឹង $\ M(x)$ គេបាន

$u'x^{2}+2xu=x^{4}\,$

ដោយ $\ (ux^{2})'=u'x^{2}+2xu$ គេបាន

${\begin{aligned}(ux^{2})'&=x^{4}\\\int (ux^{2})'dx&=\int x^{4}dx\\ux^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\\{\frac {1}{y}}x^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\end{aligned}}$

ដូចនេះចំលើយនៃសមីការគឺ $y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}$