ក្នុងគណិតវិទ្យា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលមានទំរង់
![{\displaystyle \color {blue}y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f8478e6dd46f332dd42f6db763560164edbfdc1)
ត្រូវបានគេហៅថាសមីការឌីផេរ៉ងស្យែលប៊ែនូរយី (Bernoulli differential equation) ឬ សមីការប៊ែរនូយី ដែល
។
ដោយចែកអង្គទាំងពីរនៃសមីការនឹង
គេបាន
![{\displaystyle {\frac {y'}{y^{n}}}+{\frac {P(x)}{y^{n-1}}}=Q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a55a13db683d4bc3b735fb3388f76277f04886f)
ដោយការប្តូរអញ្ញត្តិដើម្បីបំលែងសមីការទៅជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនែអ៊ែរលំដាប់ទី១។
តាង
សមីការក្លាយជា
![{\displaystyle {\frac {u'}{1-n}}+P(x)u=Q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1199d890d447b078be4ab579a0ce8012806952d5)
ឬ
![{\displaystyle \ u'+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43050af1bf5a2f60b279a221befdcf04f75af4ae)
គេអាចដោះស្រាយបំលែងចុងក្រោយនេះដោយប្រើកត្តាអាំងតេក្រាល
![{\displaystyle M(x)=e^{(1-n)\int P(x)dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7655c4c8bef93315dcc6ce5493de574a5066529)
ដោះស្រាយសមីការប៊ែរនូយីខាងក្រោម
![{\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cca686bd3aaa1d121ec7d1581f169cabd4270b44)
ដោយចែកសមីការនឹង
គេបាន
![{\displaystyle y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203415497210f92b207e3857194da7873db4493d)
ដោយប្តូរអថេរ សមីការក្លាយជា
![{\displaystyle {\begin{aligned}u={\frac {1}{y}}&\quad \Rightarrow \quad u'={\frac {-y'}{y^{2}}}\\&\quad \Rightarrow \quad u'+{\frac {2}{x}}u=x^{2}\qquad (i)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af82d8209253a5b9a628de6f79ad7eeb9a0f7bb1)
ដែលអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើកត្តាអាំងតេក្រាល
![{\displaystyle M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}dx}=x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50bee96920a9f40bdbabf1f10d76302ad7afecd4)
ដោយគុណសមីការ (i) នឹង
គេបាន
![{\displaystyle u'x^{2}+2xu=x^{4}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c57a5894f1f825285d921be91aba2a06d126002)
ដោយ
គេបាន
![{\displaystyle {\begin{aligned}(ux^{2})'&=x^{4}\\\int (ux^{2})'dx&=\int x^{4}dx\\ux^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\\{\frac {1}{y}}x^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd48db047a55bc84e9326e15ebe01b199cb6d814)
ដូចនេះចំលើយនៃសមីការគឺ