អនុគមន៍ហ្គុឌែរម៉ាន់

អនុគមន៍ហ្គុឌែរម៉ាន់ដែលមានអាស៊ីមតូត $y=\pm {\frac {\pi }{2}}$ គូសជាពណ៌ខៀវ

អនុគមន៍ហ្គុឌែរម៉ាន់ (Gudermannian Function) ត្រូវបានគេយកឈ្មោះតាមអ្នកគណិតវិទ្យាជនជាតិអាល្លឺម៉ង់ ឈ្មោះគ្រីស្តុប ហ្គុឌែរម៉ាន់ (Christoph Gudermann) (១៧៩៨ - ១៨៥២) ។ អនុគមន៍នេះផ្តល់នូវទំនាកទំនងរវាងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និង អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក ដោយមិនប្រើប្រាស់ចំនួនកុំផ្លិច។

វាកំនត់ដោយ

${\begin{aligned}{\rm {gd}}(x)&=\int _{0}^{x}{\frac {dp}{\cosh(p)}}\\&=\arcsin \left(\tanh(x)\right)={\mbox{arccsc}}\left(\coth(x)\right)\\&=\arccos \left({\mbox{sech}}(x)\right)={\mbox{arcsec}}\left(\cosh(x)\right)\\&=\arctan \left(\sinh(x)\right)={\mbox{arccot}}\left({\mbox{csch}}(x)\right)\\&=2\arctan \left(\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)\right)=2\arctan(e^{x})-{\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}\,\!$

សញ្ញាណខាងក្រោមក៍ផ្ទៀងផ្ទាត់៖

${\begin{aligned}{\color {white}{\dot {\color {black}\sin({\mbox{gd}}(x))}}}&=\tanh(x);\quad \csc({\mbox{gd}}(x))=\coth(x);\\\cos({\mbox{gd}}(x))&={\mbox{sech}}(x);\quad \,\sec({\mbox{gd}}(x))=\cosh(x);\\\tan({\mbox{gd}}(x))&=\sinh(x);\quad \,\cot({\mbox{gd}}(x))={\mbox{csch}}(x);\\{}_{\color {white}.}\tan \left({\frac {{\mbox{gd}}(x)}{2}}\right)&=\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)\end{aligned}}\,\!$

អនុគមន៍ហ្គុឌែរម៉ាន់ច្រាស់

អនុគមន៍ហ្គុឌែរម៉ាន់ច្រាស់ កំនត់ដោយ

${\begin{aligned}{\mbox{arcgd}}(x)&={\rm {gd}}^{-1}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dp}{\cos(p)}}\\&={}{\mbox{arccosh}}(\sec(x))={\mbox{arctanh}}(\sin(x))\\&={}\ln \left(\sec(x)(1+\sin(x))\right)\\&={}\ln(\tan(x)+\sec(x))=\ln \tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)\\&={}{\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+\sin(x)}{1-\sin(x)}}\end{aligned}}\,\!$

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ហ្គុឌែរម៉ាន់ និង អនុគមន៍ច្រាស់របស់វាគឺ

${\frac {d}{dx}}\;{\mbox{gd}}(x)={\mbox{sech}}(x);\quad {\frac {d}{dx}}\;{\mbox{arcgd}}(x)=\sec(x)\,\!$